【数据结构】13.二叉搜索树

来源：百家汽车网

一、二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者有以下性质：
• 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
• 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
• 左右子树也分别为二叉搜索树
• 二叉搜索树中支持插入相等的值，也支持插入不相等的值，具体看使用场景定义，后续我们学习map/set/multimap/multiset 系列容器底层就是二叉搜索树，其中map/set不支持插入相等值，multimap/multiset支持插入相等值

二、二叉搜索树的性能分析

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其高度为：log2 N
最差情况下，⼆叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其高度为：N
所以综合而言⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N)，这样的效率显然是无法满足我们需求的，我们后续讲解二叉搜索树的变形：AVL树和红黑树，才能适用于我们在内存中存储和搜索数据。

这里也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。

三、二叉搜索树的实现

3.1 二叉搜索树的框架

//树的节点
template<class K>
struct BSTreeNode
{
	K _key;
	BSTreeNode* _left;
	BSTreeNode* _right;

	BSTreeNode(const K& key=K()):_key(key),
								_left(nullptr),
								_right(nullptr)
								{}
};

//树的主体
template<class K>
class BSTree
{
	typedef BSTreeNode<K> Node;
public:

private:
	Node* _root=nullptr;
};

3.2 二叉搜索树的查找

• 从根开始比较，查找key，key比根的值大则往右边查找，key比根值小则往左边查找。这样最多查找高度次，走到空，还没找到，这个值不存在。
• 如果不支持插入相等的值，找到key即可返回；如果支持插入相等的值，意味着有多个key存在，一般要求查找中序的第一个key。如下图，查找3，要找到1的右孩子的那个3返回。

//查找
bool find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	while (cur!=nullptr)
	{
		if (key > cur->_key)
		{
			cur = cur->_right;
		}
		else if (key < cur->_key)
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return true;
		}
	}
	return false;
}

3.3 二叉搜索树的插入

插入的具体过程如下：
• 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
• 树不空，按二叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左走，找到空位置，插入新结点。
• 如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左左，找到空位置，插入新结点。（要注意的是要保持逻辑一致性，插入相等的值不要一会往右走，一会往左走）

//插入——相同元素不插入
bool insert(const K& key)
{
	//当一个元素都没有时
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(key);
		return true;
	}
	//用来解决插入时的链接问题
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur != nullptr)
	{
		if (key > cur->_key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (key < cur->_key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}
	cur = new Node(key);
	if (key<parent->_key)
		parent->_left = cur;
	else
		parent->_right = cur;
	return true;
}

3.4 二叉搜索树的删除

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回false。
如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）
• 要删除结点N左右孩子均为空

bool erase(const K& key)
{
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur != nullptr)
	{
		if (key > cur->_key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (key < cur->_key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			//至少左右孩子有一个为空
			if (cur->_left == nullptr || cur->_right == nullptr)
			{
				//左不为空
				if (cur->_left)
				{
					//判断删除根节点的情况
					if (cur == _root)
					{
						_root = cur->_left;
					}
					else
					{
						if (cur == parent->_left)
							parent->_left = cur->_left;
						else
							parent->_right = cur->_left;
					}
					delete cur;
				}
				//左右全空，或者右不为空
				else
				{
					if (cur == _root)
					{
						_root = cur->_right;
					}
					else
					{
						if (cur == parent->_left)
							parent->_left = cur->_right;
						else
							parent->_right = cur->_right;
					}
					delete cur;
				}
			}
			//左右孩子都不为空
			else
			{
				//我们这里使用左子树的最大节点来接替删除节点
				Node* parent = cur;
				Node* LeftMax = cur->_left;
				while (LeftMax->_right)
				{
					parent = LeftMax;
					LeftMax = LeftMax->_right;
				}
				//交换值
				cur->_key = LeftMax->_key;
				//删除多余节点，此时的LeftMax只有左子树可能不为空，右子树已经为空了
				if (LeftMax == parent->_left)
					parent->_left = LeftMax->_left;
				else
					parent->_right = LeftMax->_left;
					
				delete LeftMax;
			}
			return true;
		}
	}
	return false;
}

3.5 二叉搜索树实现代码

#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;

//树的节点
template<class K>
struct BSTreeNode
{
	K _key;
	BSTreeNode* _left;
	BSTreeNode* _right;

	BSTreeNode(const K& key=K()):_key(key),_left(nullptr),_right(nullptr){}
};
//树的主体
template<class K>
class BSTree
{
private:
	typedef BSTreeNode<K> Node;
	Node* copy(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return nullptr;

		Node* newnode = new Node(root->_key);
		newnode->_left = copy(root->_left);
		newnode->_right = copy(root->_right);
		return newnode;
	}
	void destory(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;
		//必须后续销毁节点
		destory(root->_left);
		destory(root->_right);
		delete root;
		root = nullptr;
	}
public:
	//构造
	BSTree() = default;
	//拷贝构造
	BSTree(const BSTree& bst)
	{
		_root=copy(bst._root);
	}
	BSTree(initializer_list<K> il)
	{
		for (const auto& e : il)
		{
			insert(e);
		}
	}
	//赋值重载
	BSTree& operator=(const BSTree& bst)
	{
		//现代写法
		BSTree temp(bst);
		std::swap(_root, temp._root);
		return *this;
	}
	// 析构
	~BSTree()
	{
		destory(_root);
		_root = nullptr;
	}
	//查找
	bool find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur!=nullptr)
		{
			if (key > cur->_key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (key < cur->_key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return true;
			}
		}
		return false;
	}
	//插入——相同元素不插入
	bool insert(const K& key)
	{
		//当一个元素都没有时
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(key);
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;//用来解决插入时的链接问题
		Node* cur = _root;
		while (cur != nullptr)
		{
			if (key > cur->_key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (key < cur->_key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(key);
		if (key<parent->_key)
			parent->_left = cur;
		else
			parent->_right = cur;
		return true;
	}
	//删除
	bool erase(const K& key)
	{
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur != nullptr)
		{
			if (key > cur->_key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (key < cur->_key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				//至少左右孩子有一个为空
				if (cur->_left == nullptr || cur->_right == nullptr)
				{
					//左不为空
					if (cur->_left)
					{
						//判断删除根节点的情况
						if (cur == _root)
						{
							_root = cur->_left;
						}
						else
						{
							if (cur == parent->_left)
								parent->_left = cur->_left;
							else
								parent->_right = cur->_left;
						}
						delete cur;
					}
					//左右全空，或者右不为空
					else
					{
						if (cur == _root)
						{
							_root = cur->_right;
						}
						else
						{
							if (cur == parent->_left)
								parent->_left = cur->_right;
							else
								parent->_right = cur->_right;
						}
						delete cur;
					}
				}
				//左右孩子都不为空
				else
				{
					//我们这里使用左子树的最大节点来接替删除节点
					Node* parent = cur;
					Node* LeftMax = cur->_left;
					while (LeftMax->_right)
					{
						parent = LeftMax;
						LeftMax = LeftMax->_right;
					}
					//交换值
					cur->_key = LeftMax->_key;
					//删除多余节点，此时的LeftMax只有左子树可能不为空，右子树已经为空了
					if (LeftMax == parent->_left)
						parent->_left = LeftMax->_left;
					else
						parent->_right = LeftMax->_left;
					delete LeftMax;
				}
				return true;
			}
		}
		return false;
	}
	//中序查找
	void inorder()
	{
		_inorder(_root);
	}
private:
	void _inorder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;

		_inorder(root->_left);
		cout << root->_key << " ";
		_inorder(root->_right);
	}
	
	Node* _root=nullptr;
};

四、二叉搜索树key和key/value使用场景

4.1 key搜索场景

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的二叉树搜索树支持增删查，但是不支持修改，因为修改key破坏搜索树结构了。
场景1：小区无人值守车库，小区车库买了车位的业主车才能进小区，那么物业会把买了车位的业主的车牌号录入后台系统，车辆进入时扫描车牌在不在系统中，在则抬杆，不在则显示非本小区车辆，无法进入。
场景2：检查⼀篇英文文章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入⼆叉搜索树，读取文章中的单词，查找是否在二叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。

4.2 key/value搜索场景

每一个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字走二叉搜索树的规则进行比较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树支持修改，但是不支持修改key，修改key破坏搜索树性质了，可以修改value。
场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英文)和vlaue(中文)，搜索时输入英文，则同时查找到了英文对应的中文。
场景2：商场无人值守车库，入口进场时扫描车牌，记录车牌和入场时间，出口离场时，扫描车牌，查找入场时间，用当前时间-入场时间计算出停车时长，计算出停车费用，缴费后抬杆，车辆离场。

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