海明检验码（Hamming Code）是一种用于错误检测和纠正的编码方法，由理查德·海明（Richard Hamming）于1950年提出。它通过增加冗余位到数据中，能检测并纠正单比特错误。以下是对海明检验码的介绍：
原理
海明码的基本思想是通过增加冗余校验位，使得任何单比特错误导致的不同码字之间的汉明距离至少为3，这样可以检测并纠正单比特错误。
例子
1. 选择数据位
假设我们有4位数据需要传输：1011。
2. 确定校验位数量
我们需要找到合适的校验位数量 r，使得满足公式：
2r≥k+r+1
其中 k 是数据位的数量。在这个例子中， k=4。
我们尝试不同的 r 值：
- r=2 ： 22=4 ，不满足 4≥4+2+1=7
- r=3 ： 23=8 ，满足 8≥4+3+1=8
所以我们需要3个校验位。
3. 决定数据位和校验位的位置
我们将校验位放在2的幂次位置（1，2，4，……），数据位放在其他位置：
- 第1位：校验位 P1
- 第2位：校验位 P2
- 第3位：数据位 D1
- 第4位：校验位 P4
- 第5位：数据位 D2
- 第6位：数据位 D3
- 第7位：数据位 D4
所以，位置应该是：_ _ D1 _ D2 D3 D4。
4. 插入数据位
将数据位（1011）插入相应位置：
- 第1位： P1
- 第2位： P2
- 第3位： 1
- 第4位： P4
- 第5位： 0
- 第6位： 1
- 第7位： 1
暂时得到：_ _ 1 _ 0 1 1
5. 计算校验位（若不懂请看最后）
校验位的计算涉及到覆盖特定位的奇偶校验：
-
P1 覆盖位置 1, 3, 5, 7：
-
P2 覆盖位置 2, 3, 6, 7：
-
P4 覆盖位置 4, 5, 6, 7：
6. 插入校验位
将计算得到的校验位插入相应位置：
- 第1位： 0
- 第2位： 1
- 第3位： 1
- 第4位： 0
- 第5位： 0
- 第6位： 1
- 第7位： 1
最终得到的海明码为：0110011
7. 检测和纠正错误
假设传输过程中接收到的码是：0110011
我们重新计算校验位来检测错误：
-
检查 P1 ：
- 位置 1, 3, 5, 7： 0⊕1⊕0⊕1=0（正确）
-
检查 P2 ：
- 位置 2, 3, 6, 7： 1⊕1⊕1⊕1=0（正确）
-
检查 P4 ：
- 位置 4, 5, 6, 7： 0⊕0⊕1⊕1=0（正确）
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大家可能对p_=D_+D_+D_怎么来的不太懂，现在来解释下：
| 位置 | 二进制表示 | 说明 |
|---|
| 1 | 0001 | P1 |
| 2 | 0010 | P2 |
| 3 | 0011 | D1 |
| 4 | 0100 | P4 |
| 5 | 0101 | D2 |
| 6 | 0110 | D3 |
| 7 | 0111 | D4 |
校验位的覆盖范围举例
再详细看看校验位 P1 的覆盖范围：
- P1 需要覆盖所有位置的二进制表示中第1位为1的位。
- 位置1（二进制：0001），第1位为1。
- 位置3（二进制：0011），第1位为1。
- 位置5（二进制：0101），第1位为1。
- 位置7（二进制：0111），第1位为1。
所以，P1 覆盖位置1, 3, 5, 7。
类似地，校验位 P2 覆盖所有位置的二进制表示中第2位为1的位：
- 位置2（二进制：0010），第2位为1。
- 位置3（二进制：0011），第2位为1。
- 位置6（二进制：0110），第2位为1。
- 位置7（二进制：0111），第2位为1。
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