基于Black—Scholes模型的期权定价应用研究

摘要：Black—scholes模型是近年来期权定价方面的重要模型之一，这一模型

推动了美国期权市场的性变化。本文将介绍源于Black—scholes模型的期权定价，重点分析使用该模型求解在风险中性的条件欧式看涨和看跌期权的解析解，并且结合maltab程序具体分析欧式和美式期权的定价并求解精确解。该模型对我国期权市场的发展具有重要的意义。

关键词：Black—scholes模型 欧式期权 美式期权 风险中性定价

期权是为了套期保值而创造出来的一种金融衍生工具，理论上，只要人们合理选择其手中持有的证劵和基于该证劵的衍生工具，就可以通过套期保值获得无风险收益。Black—Scholes模型基于标的资产价格的运动服从几何布朗运动的假定，通过构造相应的标的资产和衍生产品组合从而消除模型中的随机变量，从而得出在风险中性条件下的期权定价模型。该模型存在以下几个假设：（1）无风险利率r为常数，且对任何到期日均相同；（2）标的资产价格S服从对数正态分布，即dS，其中波动率2为常数，Z服从维纳过程即dZdt，SdtSdZ（3）在期权有效期内无红利支付；（4）套期保值无交易成本；（5）~N(0,1)；无套利机会，标的资产可以连续交易，可以细分，并且允许卖空。

一、Black—Scholes模型的基本原理

Black—Scholes模型是以风险中性为前提的，并以标的资产服从对数正态分布为条件。根据Ito过程有，dx，其中dz是一个维纳过程，a(x,t)dtb(x,t)dza和b均是x和t的函数变量的漂移率为a，方差率为b2，由Ito引理知道x和

2GG1GG2t的函数G遵循：dG，由于标的资产的价格(a2b)bdzxt2xx，由此可以得出S和t的函数G遵循测过程为：dSSdtSdZ2GG1GG22（一），在此S和G都受到同一个不确dG(S2S)SdzSt2SSlnS，定性来源dz的影响。对此过程应用于标的资产价格的对数变化，即取G2G12G1G由于带入上述方程（一）有dG，，2，0，()dtdzSSSS2t22将此结果离散化有GlnSlnSG()tz，又由于ttt，所以可以

22()tzStt2得出ln，又因dZdt，()tz，由此可得SSttteS2t2离散化后有Szt且~N(0,1)，所以SttteSSTte()(Tt)Tt22()tt22，取tTt有

T，同时取对数的ln，SlnS()(t)Tt2Tt2在这个等式中只有是一个标准正态分布，所以

T。 lnSlnS~N[()(t),(Tt)]22Tt2 另一方面，由于期权都是其对应的标的资产和时间的函数，假设f是基于某个看涨期权或其他衍生证劵的价格，则变量f一定是S和t的函数，因此根据

2ff1f22fIto引理有：df，其离散形式为(S2S)dtSdzSt2tS2ff1f22f（二），现在构造一个标的资产和一f(S2S)tSzSt2SS个对应期权的证劵组合以期望消除在上述过程中的不确定性即dz。因为（三），根据（二）、（三）两式我们可以选择的证劵组合为：卖SStSz空一份期权和买入

ff份标的资产，并由此定义组合证劵的价值为fS SSf则，将上述（二）、（三）两式带入（四）中有：fS(四）S2f1f22(2S)t，次方程就消除随机项。又因为风险中性假设前提，t2Srt，其中则该证劵组合的收益应该和它的短期无风险收益率相同，即2ff122fr为无风险利率，这样就可以得到：，此即为rSS2rftS2S 2

Black—Scholes微分方程。

下面我们运用Black—Scholes模型对欧式看涨期权进行定价。由于在风险中性世界中，欧式看涨期权的到期日的期望价值为E其中X为期权的[max(SX,0)T执行价，欧式看涨期权的价值是该期望值在无风险利率条件下的贴现的结果，记

r(Tt)为C，即C，由上述知道eE[max(SX,0]T，且SSelnSlnS~N[(r)(Tt),(Tt)]22Tt2Tt(r)(Tt)Tt22，所以当

22SSlnt(r)(Tt)lnt(r)(Tt)X2X2，记m，所以STX是有TtTt2E[max(SX,0)](SeTtm(r)(Tt)Tt212，积分得： X)ed22r(Tt)，其中N(.)为累计正E[max(SX,0)]Se[1N(mTt)]X[1N(m)]Ttr(Tt)态分布函数，由此得到C，又S[1N(mTt)]Xe[1N(m)]t2SS2ttln(r)(Tt)ln(r)(Tt)X22，则m,且根据累计mTtXTtTtr(Tt)正态分布函数的性质有N，所以C，其SN(d)XeN(d)(x)[1N(x)]t12中

2Stln(r)(Tt)2d(mTt)X1Tt2Stln(r)(Tt)X2另外根据看涨期权和看跌期权的平价关ddTt，21Ttr(Tt)系亦可得出看跌期权的价格：P XeN(d)SN(d)2t1 以上即是利用Black—Scholes模型对欧式看涨期权和看跌期权定价的基本原理。

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二、Black—Scholes模型中标的资产波动率的估计

为了使用Black—Scholes模型对衍生证劵进行定价，波动率的估计是一个前提条件。为此我们在此利用标的资产的历史变动数据估计其波动率。标的资产的价格走势中抽取n个价格，并假设Si为标的资产在第i个时间间隔末的价格，则令uilnSiui，即S，所以ui为第i个时间间隔后的连续复利收益。所eiSi1Si11n以ui的标准差的一般估计为：s(u)，其中u为ui的均值。根据在iun1i1Black—Scholes模型的说明中有ui的标准差为Tt，并且由于s2是ui的方差的无偏估计，故有变量s是Tt的估计值，从而的估计为

sTt。

三、基于Black—Scholes模型的期权定价的实例

1、欧式期权定价

我们通过运用Matlab程序并结合Black—Scholes模型的基本原理确定一个欧式期权的价值。下面以一个股票为标的资产、期限为一年的期权为例。已知该股票现行市场价格为50元，期权确定的行权价格为47元，并且利用上述估计技术知道标的资产价格的波动率为30%，利用短期国债的利率作为无风险利率，即为5%。分别计算该期权的看涨和看跌的价格。由于T-t=1

22500.3St(0.05)ln(r)(Tt)ln22 dX470.522310.3Tt ddTt0.222321查标准正态分布表有：N； (d)N(0.5223)0.6981 N(d)N(0.2223)0.5872故看涨期权的价格为：

r(Tt)0.05， CSN(d)XeN(d)50*0.6947e*0.58748.6t12r(Tt)根据看涨与看跌期权的平价关系有：P，又因为XeN(d)SN(d)2t1 4

，所以看跌期权的价格为：N(d)1N(d);N(d)1N(d)1122r(Tt)0.05 PXeN(d)SN(d)47*e*(10.5874)50*(10.69)3.32t1 上述根据期权的定价公式所求解得到期权价值与运用Matlab程序所得到的解及其相近，这其中的误差主要是由于在期权定价中的累计正态分布的查表所得到的值是一个近似数。故由此可以认为上述欧式期权的定价是合理的。 2、美式期权定价

通常来说，没有红利支付的情况下看涨期权不应该提前执行，即表明，在有红利的情况下，只有在标的资产支付红利前的瞬时时刻执行那个才是最优的。我们假设预计有n个除权日，t1;t2;t3.......tn为标的资产支付红利前的瞬时时刻，，在这些时刻的红利分别表示为D。如果期权在tn时;D;D.....Dttt......t123n123n刻执行，则投资者可以获得StnX，若没有执行期权，标的资产价格将要下降

r(Tt)r(Tt)nn到StnD如果S，即D则在时刻tn执DXeSXX(1e)n，tntnnn行期权就不是最佳选择。依次在考虑tn1;tn2......t1时刻期权的执行情况。即对于

r(tti1i)则在ti时刻执行期权不是最佳选择。下面以一个美in，如果DX(1e)i式看涨期权为例。其标的资产在2个月和5个月后各一个除权日。每个除权日的红利期望收益为0.6元。当前标的资产的价格为50，执行价格为47，标的资产的价格波动率估计为每年30%，无风险利率为每年5%。到期时间还有一年。基于

0.1667*0.050.4167*0.05上述数据可以得到红利的现值为：0，由于.6*e0.6e1.207SD501.2076248.792；X=47；r=0.05；0；T-t=1，所以如果不.3tt提前执行，该期权就相当于欧式看涨期权，所以根据Black—Scholes模型可得：

2248.792380.3SDtt(0.05)ln(r)(Tt)ln472X2 d0.441310.3Tt，根据累计正态分布表有：N ddTt0.1413(d)N(0.4413)0.671211，故在该美式期权不提前执行的情况下的看涨期权的N(d)N(0.1413)0.5552r(Tt)0.05价格为：C，由SN(d)XeN(d)50*0.671547e*0.55588.72t12 5

于除权日发生在2个月后和5个月后。因此

r(tt)0.05*0.2521>0.6,故在第一个除权日不应该提前执X(1e)47*(1e)1.045r(Tt)0.05*0.58332行。又因为X>0.6，此时仍然不应该提(1e)47*(1e)1.351前执行，故该美式看涨期权的价值和欧式看涨期权的价格相同，即为8.72元。 综上所述，对于欧式期权和美式期权的定价过程充分体现了欧式期权和美式期权的区别，即欧式期权只有在期权到期日才会选择行权，而美式期权在可以在到期日前行权，这就涉及到美式期权内在价值和提前行权所获得收益之间的比较。

四、Black—Scholes模型的应用对我国期权市场的启示

Black—Scholes模型的出现标志着衍生证劵的定价工作在精确性和主动性方面取得了巨大的进展。该模型主要通过在风险中性条件下构造一个资产证劵组合消除标的资产的随机影响因素，进而根据欧式期权的边界条件求的欧式看涨和看跌期权的价格，而对于美式期权则要在每一计算过程中比较其与期权内在价值的大小，进而确定。

近年来，我国的股票市场发展较快，套期保值工具也日益增多。为了能够更加精确的确定衍生证劵的价格，我们必须要逐渐形成一个无风险的利率，这在目前来说对于我国是至关重要的，只有这样我们才能根据风险中性条件，利用Black—Scholes模型对我国股票市场上出现的各种衍生证劵进行更加精确的定价，进而推动我国资本市场的成熟与发展。

参考文献：

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[3] 刘澄 郭靖.基于B—S期权定价模型的可转换债券定价实证分析[J].证劵保险

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