江苏省南京市溧水县2017届中考数学一模试卷(解析版)

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．计算﹣1+2的值是（ ） A．﹣3 B．﹣1 C．1 2．不等式组：A．x＞

B．x＜

D．3

的解集是（ ） C．x≤1 D．

＜x≤1

3．计算（a2）3的结果是（ ） A．3a2 B．2a3 C．a5 D．a6

4．地球绕太阳每小时转动通过的路程约是1.1×105千米，用科学记数法表示地球一天（以24小时计）转动通过的路程约是（ ） A．0.2×107千米 B．2.×106千米 C．26.4×105千米 D．2×104千米

5．如图所示的平面图形能折叠成的长方体是（ ）

A． B． C． D．

6．把函数y=2x2的图象先沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向下平移2个单位长度得到新函数的图象，则新函数的关系式是（ ） A．y=2（x+3）2﹣2 B．y=2（x﹣3）2﹣2

2

C．y=2（x+3）2+2 D．y=2（x﹣3）

+2

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

7．计算：20+（）﹣1的值为 ． 8．分解因式：x2﹣6x+9= ． 9．

+

= ．

10．甲、乙、丙三位选手各10次射击成绩的平均数和方差，统计如下表： 选手 平均数 方差 甲 9.3 乙 9.3 丙 9.3 0.026 0.015 0.032 则射击成绩最稳定的选手是 ．（填“甲”、“乙”、“丙”中的一个）

11．3）如果反比例函数y=的图象经过点（1，，那么它一定经过点（﹣1， ）．

12．圆锥形烟囱帽的底面直径为80cm，母线长为50cm，则这样的烟囱帽的侧面积是等于 cm2．

13．如图，在△ABC中，AD=DB=BC．若∠C=n°，则∠ABC= °．（用含n的代数式表示）

14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为 °．

15．已知正比例函数y=2x的图象过点（x1，y1）、（x2，y2）．若x2﹣x1=1，则y2﹣y1= ．

16．如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，4），P是△AOB外接圆⊙C上的一点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为 ．

三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）计算：18．（7分）解方程组：

． ．

19．（7分）某校学生在电脑培训前后各参加了一次水平相同的考试，考分都以同一标准划分成“不合格”、“合格”、“优秀”三个等级．为了了解电脑培训的效果，随机抽取其中32名学生两次考试考分等级制成统计图（如图），试回答下列问题：

（1）这32名学生经过培训，考分等级“不合格”的百分比由 下降到 ； （2）估计该校0名学生，培训后考分等级为“合格”与“优秀”的学生共有多少名．

20．（8分）如图，某同学在大楼AD的观光电梯中的E点测得大楼BC楼底C点的俯角为45°，此时该同学距地面高度AE为20米，电梯再上升5米到达D点，此时测得大楼BC楼顶B点的仰角为37°，求大楼的高度BC．

（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．

21．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AE∥BC，DE∥AB．

证明：（1）AE=DC； （2）四边形ADCE为矩形．

22．（8分）小亮与小明做投骰子（质地均匀的正方体）的实验与游戏． （1）在实验中他们共做了50次试验，试验结果如下： 朝上的点数 出现的次数 1 10 2 9 3 6 4 9 5 8 6 8 ①填空：此次实验中，“1点朝上”的频率是 ；

②小亮说：“根据实验，出现1点朝上的概率最大．”他的说法正确吗？为什么？ （2）在游戏时两人约定：每次同时掷两枚骰子，如果两枚骰子的点数之和超过

6，则小亮获胜，否则小明获胜．则小亮与小明谁获胜的可能性大？试说明理由．

23．（8分）建造一个池底为正方形、深度为2m的长方体无盖水池，池壁的造价为每平方米100元，池底的造价为每平方米200元，总造价为00元．求该水池池底的边长．

24．（8分）甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，已知甲出发0.5h后乙开始出发，如图，线段OP、MN分别表示甲、乙两车离A地的距离S（km）与时间t（h）的关系，请结合图中的信息解决如下问题： （1）计算甲、乙两车的速度及a的值； （2）乙车到达B地后以原速立即返回．

①在图中画出乙车在返回过程中离A地的距离S（km）与时间t（h）的函数图象；

②请问甲车在离B地多远处与返程中的乙车相遇？

25．（8分）如图，CD为⊙O的直径，弦AB垂直于CD，垂足为H，∠EAD=∠HAD．

（1）求证：AE为⊙O的切线；

（2）延长AE与CD的延长线交于点P，过D 作DE⊥AP，垂足为E，已知PA=2，PD=1，求⊙O的半径和DE的长．

26．（9分）已知：二次函数y=ax2+bx的图象经过点M（1，n）、N（3，n）． （1）求b与a之间的关系式；

（2）若二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于点A、B，顶点为C，△ABC为直角三角形，求该二次函数的关系式． 27．（10分）重温

我们知道：同弧或等弧所对的圆周角相等．也就是，如图（1），⊙O中，对的圆周角∠ACB=∠ADB=∠AEB．

所

应用

（1）已知：如图（2），矩形ABCD．

①若AB＜BC，在边AD上求作点P，使∠BPC=90°．（保留作图痕迹，写出作法．）

②小明经研究发现，当AB、BC的大小关系发生变化时，①中点P的个数也会发

生变化，请你就点P的个数，探讨AB与BC之间的数量关系．（直接写出结论）

创新

（2）小明经进一步研究发现：命题“若四边形的一组对边相等和一组对角相等，则这个四边形是平行四边形．”是一个假命题，并在平行四边形的基础上利用“同弧或等弧所对的圆周角相等．”作出了一个反例图形．请你利用下面如图（3）所给的□ABCD作出该反例图形．（不写作法，保留作图痕迹）

2017年江苏省南京市溧水县中考数学一模试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．计算﹣1+2的值是（ ） A．﹣3 B．﹣1 C．1

D．3

【考点】19：有理数的加法．

【分析】根据异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．

【解答】解：根据异号两数相加的法则可知：﹣1+2=2﹣1=1． 故选C．

【点评】熟练运用有理数的加法法则．

2．不等式组：A．x＞

B．x＜

的解集是（ ） C．x≤1 D．

＜x≤1

【考点】CB：解一元一次不等式组．

【分析】先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“大小小大中间找”来求不等式组的解集． 【解答】解：解不等式得∴解集为故选D．

【点评】主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

＜x≤1．

，

3．计算（a2）3的结果是（ ） A．3a2 B．2a3 C．a5 D．a6 【考点】47：幂的乘方与积的乘方．

【分析】直接利用幂的乘方运算法则求出答案． 【解答】解：（a2）3=a6． 故选：D．

【点评】此题主要考查了幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．

4．地球绕太阳每小时转动通过的路程约是1.1×105千米，用科学记数法表示地球一天（以24小时计）转动通过的路程约是（ ） A．0.2×107千米 B．2.×106千米 C．26.4×105千米 D．2×104千米 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．

【分析】利用科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：∵地球绕太阳每小时转动通过的路程约是1.1×105千米， ∴地球一天（以24小时计）转动通过的路程约是：24×1.1×105千米， 用科学记数法表示为：2.×106千米． 故选：B．

【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n

n为整数，的形式，其中1≤|a|＜10，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

5．如图所示的平面图形能折叠成的长方体是（ ）

A． B． C． D．

【考点】I7：展开图折叠成几何体．

【分析】根据两面相隔一个面是对面，相邻的面是邻面，可得答案．

【解答】解：A、平面图形能折叠成的长方体正面的右邻面是阴影，故A错误； B、平面图形能折叠成的长方体上面的右邻面是阴影，故B错误；

C、平面图形能折叠成的长方体正面是阴影，上面应是空白面，故C错误； D、平面图形能折叠成的长方体上面的右邻面是阴影，故D正确； 故选：D．

【点评】本题考查了展开图这个叠成几何体，确定折叠成长方体阴影面的邻面是解题关键．

6．把函数y=2x2的图象先沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向下平移2个单位长度得到新函数的图象，则新函数的关系式是（ ） A．y=2（x+3）2﹣2 B．y=2（x﹣3）2﹣2

2

C．y=2（x+3）2+2 D．y=2（x﹣3）

+2

【考点】H6：二次函数图象与几何变换．

【分析】先确定二次函数y=2x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（﹣1，3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．

【解答】解：二次函数y=2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（3，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y=（x﹣3）2﹣2． 故选B．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，

请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．计算：20+（）﹣1的值为 3 ．

【考点】6F：负整数指数幂；6E：零指数幂． 【分析】根据0次幂和负整数指数幂，即可解答． 【解答】解：20+（）﹣1 =1+2 =3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了0次幂和负整数指数幂，解决本题的关键是熟记相关法则．

8．分解因式：x2﹣6x+9= （x﹣3）2 ． 【考点】54：因式分解﹣运用公式法． 【分析】原式利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：原式=（x﹣3）2． 故答案为：（x﹣3）2

【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 9．

+

= 3 ．

【考点】78：二次根式的加减法．

【分析】原式化为最简二次根式，合并即可得到结果． 【解答】解：原式=故答案为：3

+2=3．

【点评】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

10．甲、乙、丙三位选手各10次射击成绩的平均数和方差，统计如下表： 选手 平均数 方差 甲 9.3 乙 9.3 丙 9.3 0.026 0.015 0.032 则射击成绩最稳定的选手是 乙 ．（填“甲”、“乙”、“丙”中的一个） 【考点】W7：方差．

【分析】从统计表可以看出甲、乙、丙三位选手的平均数相同，进一步比较方差，方差小的数据的比较稳定，由此解决问题即可． 【解答】解：因为0.015＜0.026＜0.032， 即乙的方差＜甲的方差＜丙的方差， 因此射击成绩最稳定的选手是乙． 故答案为：乙．

【点评】此题主要利用方差来判定数据的波动性，方差越小，数据越稳定．

11．如果反比例函数y=的图象经过点（1，3），那么它一定经过点（﹣1， ﹣3 ）．

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】先根据反比例函数y=的图象经过点（1，3）求出k的值，再由k=xy为定值即可得出结论．

【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点（1，3）， ∴k=1×3=3，

∵3=（﹣1）×（﹣3）， ∴它一定过点（﹣1，﹣3）． 故答案为：﹣3．

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．

12．圆锥形烟囱帽的底面直径为80cm，母线长为50cm，则这样的烟囱帽的侧面积是等于 2000π cm2． 【考点】MP：圆锥的计算．

【分析】由圆锥的直径易得圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．

【解答】解：∵圆锥形烟囱帽的底面直径为80cm， ∴圆锥的底面半径为40cm，

∴烟囱帽的侧面积=π×40×50=2000πcm2．

【点评】本题考查圆锥侧面积的求法，掌握公式是关键．

13．AD=DB=BC．如图，在△ABC中，若∠C=n°，则∠ABC= （180﹣n） °．（用含n的代数式表示）

【考点】KH：等腰三角形的性质．

【分析】根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可推出∠BDC与∠BDA的关系，从而不难求解． 【解答】解：∵AD=DB=BC，∠C=n°， ∴∠A=∠DBA，∠BDC=∠C=n°， ∵∠BDC=∠A+∠DBA ∴∠DBA=（）°，

∴∠ABC=∠DBA+∠DBC=（）°+（180°﹣2n°）=180°﹣（故答案为：180﹣

．

）°．

【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质的综合运用．

14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为 75 °．

【考点】MI：三角形的内切圆与内心；M5：圆周角定理．

【分析】连接DO，FO，利用切线的性质得出∠ODA=∠OFA=90°，再利用三角形内角和以及四边形内角和定理求出∠DOF的度数，进而利用圆周角定理得出∠DEF的度数．

【解答】解：连接DO，FO， ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60° ∴∠A=30°，

∵内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F， ∴∠ODA=∠OFA=90°， ∴∠DOF=150°， ∴∠DEF的度数为75°． 故答案为：75．

【点评】此题主要考查了圆周角定理以及切线的性质和四边形内角和定理等知识，得出∠DOF=150°是解题关键．

15．已知正比例函数y=2x的图象过点（x1，y1）、（x2，y2）．若x2﹣x1=1，则y2﹣y1= 2 ．

【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．

【分析】将A、B两点的坐标分别代入正比例函数的解析式，分别求得y1、y2的值；然后再来求y1﹣y2的值即可．

【解答】解：∵正比例函数y=2x的图象过（x1，y1），（x2，y2）两点， ∴y1=2x1，y2=2x2，x2﹣x1=1， ∴y2﹣y1=2x2﹣2x1=2（x2﹣x1）=2． 故答案为：2．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上的所有点的坐标均满足该函数的解析式．

16．如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，4），P是△AOB外接圆⊙C上的一点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为 （3，3） ．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质；M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理．

【分析】由OA与OB的长，利用勾股定理求出AB的长，根据∠AOP=45°，得到三角形OPE为等腰直角三角形，即P横纵坐标相等，设为P（a，a），由∠AOB为直角，利用直角所对的弦为直径得到AB为直径，Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，求出圆心C坐标，过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，在直角三角形PCF中，利用勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出P的坐标即可． 【解答】解：∵OB=4，OA=2， ∴AB=

∵∠AOP=45°，

∴P点横纵坐标相等，可设为a，即P（a，a）， ∵∠AOB=90°， ∴AB是直径，

∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标C（1，2），

=2

，

P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径．

过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F， ∴∠CFP=90°，

∴PF=a﹣2，CF=a﹣1，PC=

，

）2，

∴根据勾股定理得：（a﹣2）2+（a﹣1）2=（解得：a=3， ∴P（3，3）； 故答案为：（3，3）．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算：

．

【考点】6C：分式的混合运算．

【分析】首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，最后进行约分化简． 【解答】解：原式===ab．

故答案为ab．

【点评】本题主要考查分式的混合运算的知识点，通分和约分是解答本题的关键．

×

18．解方程组：．

【考点】98：解二元一次方程组．

【分析】把第二个方程乘以3，然后利用加减消元法其解即可． 【解答】解：由②得，6x﹣y=5③， ①+③得，7x=7， 解得x=1，

将x=1代入①得，1+y=2， 解得y=1，

所以，此方程组的解是

． ，

【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．

19．某校学生在电脑培训前后各参加了一次水平相同的考试，考分都以同一标准划分成“不合格”、“合格”、“优秀”三个等级．为了了解电脑培训的效果，随机抽取其中32名学生两次考试考分等级制成统计图（如图），试回答下列问题： （1）这32名学生经过培训，考分等级“不合格”的百分比由 75% 下降到 25% ；

（2）估计该校0名学生，培训后考分等级为“合格”与“优秀”的学生共有多少名．

【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体．

【分析】（1）用培训前后不合格的人数除以总人数即可得到培训前后的不合格率；

（2）求出培训后考分等级为合格与优秀的学生数，分别除以总人数乘以全校总人数即可．

【解答】解：（1）由条形统计图可知培训前不合格的由24人，培训后不合格的有8人，总人数为34人， ∴

%=75%，

×100%=25%

∴培训前后不合格率分别为75%和25%；

（2）据题意得：培训后32名学生中“合格”与“优秀”的学生共有24名 考分等级为“合格”与“优秀”的学生人数约占

=，

∴培训后全校考分等级为“合格”与“优秀”的学生人数约有：0×=480名 【点评】本题考查了条形统计图的相关知识，在本题中还考查了用样本估计总体的知识，这也是统计中常常采用的策略．

20．如图，某同学在大楼AD的观光电梯中的E点测得大楼BC楼底C点的俯角为45°，此时该同学距地面高度AE为20米，电梯再上升5米到达D点，此时测得大楼BC楼顶B点的仰角为37°，求大楼的高度BC． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】首先过点E、D分别作BC的垂线，交BC于点F、G，得两个直角三角形△EFC和△BDG，由已知大楼BC楼底C点的俯角为45°得出EF=FC=AE=20，

DG=EF=20，再由直角三角形BDG，可求出BG，GF=DE=5，CO从而求出大楼的高度BC．

【解答】解：过点E、D分别作BC的垂线，交BC于点F、G． 在Rt△EFC中，因为FC=AE=20，∠FEC=45°， 所以EF=20，

在Rt△DBG中，DG=EF=20，∠BDG=37° 因为tan∠BDG=

≈0.75，

所以BG≈DG×0.75=20×0.75=15， 而GF=DE=5，

所以BC=BG+GF+FC=15+5+20=40． 答：大楼BC的高度是40米．

【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解答此题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题．

21．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AE∥BC，DE∥AB． 证明：（1）AE=DC； （2）四边形ADCE为矩形．

【考点】KH：等腰三角形的性质；L7：平行四边形的判定与性质；LC：矩形的判定．

【分析】（1）等腰三角形的三线合一，可证明BD=CD，因为AE∥BC，DE∥AB，

所以四边形ABDE为平行四边形，所以BD=AE，从而得出结论．

（2）先证明四边形ADCE为平行四边形，再证明有一个角是直角即可． 【解答】证明：（1）在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=DC，（1分） ∵AE∥BC，DE∥AB，

∴四边形ABDE为平行四边形， ∴BD=AE，（3分） ∵BD=DC，

∴AE=DC．（4分）

（2）∵AE∥BC，AE=DC，

∴四边形ADCE为平行四边形．（5分） 又∵AD⊥BC， ∴∠ADC=90°，

∴四边形ADCE为矩形．（6分）

【点评】本题考查了等腰三角形的性质三线合一，以及平行四边形的判定和性质，矩形的判定定理等知识点．

22．小亮与小明做投骰子（质地均匀的正方体）的实验与游戏． （1）在实验中他们共做了50次试验，试验结果如下： 朝上的点数 出现的次数 1 10 2 9 3 6 4 9 5 8 6 8 ①填空：此次实验中，“1点朝上”的频率是 0.2 ；

②小亮说：“根据实验，出现1点朝上的概率最大．”他的说法正确吗？为什么？ （2）在游戏时两人约定：每次同时掷两枚骰子，如果两枚骰子的点数之和超过

6，则小亮获胜，否则小明获胜．则小亮与小明谁获胜的可能性大？试说明理由．

【考点】X7：游戏公平性；X4：概率公式；X6：列表法与树状图法．

【分析】（1）根据频率求法，频数除以总数直接得出答案，再根据频率性质得出答案；

（2）列出图表再分析，根据所的频率得出获胜的大小． 【解答】解：（1）①0.2， ②不正确，

因为在一次实验中频率并不等于概率，只有当实验中试验次数很大时，频率才趋近于概率．

（2）列表如下： 第2枚骰子掷得 第1枚的点数 骰子掷得的点数 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 所有可能的结果共有36种，每一种结果出现的可能性相同． 所以P（点数之和超过6）=因为

＞

，P（点数之和不超过6）=

，

，所以小亮获胜的可能性大．

【点评】此题主要考查了游戏的公平性以及频率求法，主要是通过列举出所有的可能结果是解决问题的关键．

23．建造一个池底为正方形、深度为2m的长方体无盖水池，池壁的造价为每平方米100元，池底的造价为每平方米200元，总造价为00元．求该水池池底的边长．

【考点】AD：一元二次方程的应用．

【分析】本题可设正方形池底的边长为xm，池壁的面积为4x×2m2．根据池底的造价×池底的面积+池壁的造价×池壁的面积=总造价，方程可列出，进而可求出正方形池底的边长．

【解答】解：设池底的边长为xm． 200x2+800x=00，

解得x1=4，x2=﹣8（舍）， 答：池底的边长为4m．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用．本题应熟记正方形的面积公式、长方体的表面积公式．注意本题池壁的造价，池底的造价不同．

24．甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，已知甲出发0.5h后乙开始出发，如图，线段OP、MN分别表示甲、乙两车离A地的距离S（km）与时间t（h）的关系，请结合图中的信息解决如下问题： （1）计算甲、乙两车的速度及a的值； （2）乙车到达B地后以原速立即返回．

①在图中画出乙车在返回过程中离A地的距离S（km）与时间t（h）的函数图象；

②请问甲车在离B地多远处与返程中的乙车相遇？

【考点】FH：一次函数的应用．

【分析】（1）表示出M点的坐标，再根据速度=路程÷时间，分别列式进行计算即可求出两车的速度，再根据甲到达的时间为4.5小时，然后利用路程=速度×时间列式计算即可求出a的值；

（2）①求出甲走完全程的时间，从而得到返回A地的时间，然后作出图形即可；

②先根据相遇问题求出甲车返回途中与乙车相遇的时间，再根据路程=速度×时间求解即可．

【解答】解：（1）由题意可知M（0.5，0），线段OP、MN都经过（1.5，60），

甲车的速度60÷1.5=40km/小时，

乙车的速度60÷（1.5﹣0.5）=60km/小时， a=40×4.5=180km；

（2）①∵180÷60=3小时，

∴乙车到达B地，所用时间为180÷60=3，所以点N的横坐标为3.5， 6.5小时返回A地，

乙车在返回过程中离A地的距离S（km）与时间t（h）的函数图象为线段NQ； ②甲车离A地的距离是：40×3.5=140km； 设乙车返回与甲车相遇所用时间为t0， 则（60+40）t0=180﹣140， 解得t0=0.4h， 60×0.4=24km，

答：甲车在离B地24km处与返程中的乙车相遇．

【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，准确识图，求出甲、乙两车的速度是解题的关键．

25．如图，CD为⊙O的直径，弦AB垂直于CD，垂足为H，∠EAD=∠HAD． （1）求证：AE为⊙O的切线；

（2）延长AE与CD的延长线交于点P，过D 作DE⊥AP，垂足为E，已知PA=2，PD=1，求⊙O的半径和DE的长．

【考点】ME：切线的判定与性质；KQ：勾股定理；S9：相似三角形的判定与性质．

【分析】（1）连接OA，根据垂线的定义结合角的计算，即可得出∠EAD+∠OAD=90°，从而得出OA⊥AE，再由点A在圆上，即可证出AE为⊙O的切线； （2）设⊙O的半径为x，在Rt△AOP中，利用勾股定理可求出x的值，再由DE⊥AP，得出OA∥DE，进而可得出△PED∽△PAO，根据相似三角形的性质即可求出DE的长度．

【解答】（1）证明：连结OA，如图所示． ∵AB⊥CD， ∴∠AHD=90°， ∴∠HAD+∠ODA=90°． ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA． 又∵∠EAD=∠HAD， ∴∠EAD+∠OAD=90°， ∴OA⊥AE． 又∵点A在圆上， ∵AE为⊙O的切线．

（2）解：设⊙O的半径为x，在Rt△AOP中， OA2+AP2=OP2，即x2+22=（x+1）2， 解得：x=1.5， ∴⊙O的半径为1.5． ∵DE⊥AP，OA⊥AP， ∴OA∥DE，

∴△PED∽△PAO， ∴

=

，即

=

，

解得：DE=．

【点评】本题考查了切线的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）通过角的计算找出∠EAD+∠OAD=90°；（2）利用勾股定理求出圆的半径，并利用相似三角形的性质求出DE的长度．

26．已知：二次函数y=ax2+bx的图象经过点M（1，n）、N（3，n）． （1）求b与a之间的关系式；

（2）若二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于点A、B，顶点为C，△ABC为直角三角形，求该二次函数的关系式．

【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H8：待定系数法求二次函数解析式． 【分析】（1）直接利用二次函数对称性得出对称轴，进而得出答案； （2）利用等腰直角三角形的性质得出C点坐标，进而得出答案． 【解答】解：（1）∵图象经过M（1，n）、N（3，n）， ∴图象的对称轴为直线x=2， ∴﹣

=2，所以b=﹣4a；

（2）y=ax2﹣4ax的图象与x轴交于点A（0，0）、B（4，0）， ∵△ABC为直角三角形，

∴顶点C坐标为（2，2）或（2，﹣2）， 代入得4a﹣8a=2或4a﹣8a=﹣2， ∴a=﹣或，

∴该二次函数的关系式为：y=﹣x2+2x或y=x2﹣2x．

【点评】此题主要考查了抛物线与坐标轴的交点以及待定系数法确定函数关系式，正确得出C点坐标是解题关键．

27．（10分）（2017•溧水区一模）重温

我们知道：同弧或等弧所对的圆周角相等．也就是，如图（1），⊙O中，对的圆周角∠ACB=∠ADB=∠AEB．

所

应用

（1）已知：如图（2），矩形ABCD．

①若AB＜BC，在边AD上求作点P，使∠BPC=90°．（保留作图痕迹，写出作法．）

②小明经研究发现，当AB、BC的大小关系发生变化时，①中点P的个数也会发

生变化，请你就点P的个数，探讨AB与BC之间的数量关系．（直接写出结论）

创新

（2）小明经进一步研究发现：命题“若四边形的一组对边相等和一组对角相等，则这个四边形是平行四边形．”是一个假命题，并在平行四边形的基础上利用“同弧或等弧所对的圆周角相等．”作出了一个反例图形．请你利用下面如图（3）所给的□ABCD作出该反例图形．（不写作法，保留作图痕迹） 【考点】MR：圆的综合题．

【分析】（1）①直接利用圆的性质得出BC的中点，进而得出⊙O，即可得出P点位置；

②利用①中所求，进而利用AB＜BC时，AB=BC时，AB＞BC时，分别得出答案；

（2）利用圆周角定理结合圆的相关性质得出符合题意的图形．

【解答】解：（1）①如图2所示： 作法：以BC为直径作⊙O，交AD于P1、P2 P1、P2 为所求作的点P， ②AB＜BC时，点P有两个； AB=BC时，点P有且只有1个； AB＞BC时，点P有0个；

（2）如图3所示：

连接AC，作△ADC的外接圆⊙O，再以C为圆心，CD的长为半径画弧，与⊙O相交于点E，则四边形ABCE即为所求反例图形．

【点评】此题主要考查了圆的综合以及平行四边形的性质等知识，正确应用圆周角定理是解题关键．