2.2.3《向量数乘运算及其几何意义》导学案

【学习目标】

1． 掌握实数与向量的积的定义，理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量的积的运算律，会利用

实数与向量的积的运算律进行有关的计算；

2． 理解两个向量平行（或共线）的等价条件，能根据条件判断两个向量是否平行（或共线）；

3． 通过探究，体会类比迁移的思想方法，通过实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽

象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想． 【重点难点】

重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的等价条件； 难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的等价条件． 【知识回顾】

1． 平行向量是指什么？共线向量又是指什么？ ． 2． 作出两个向量的和向量的方法有 、 ．

①第一个方法的步骤是： ； ②第二个方法的步骤是： ．

3． 作出两个向量的差向量的方法是 ；作两个向量的差向量的步骤是： ． 4． 三个向量AB，OA，OB有怎样的等式关系？ ．（向量的化简与分解） 【新课导入】

相同的几个数相加可以转化为数乘运算，如当aR时，aaa .那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？

已知非零向量a，如何作出向量a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)？

类似实数的数乘运算，可将a+a+a简记为 ；(-a)+(-a)+(-a)简记为 ，它们的结果是一个什么样的量？数量还是向量？

a

请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？

． 【学习过程】 1）定义

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一般地，我们规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，该向量的方向与长度与、a有什么关系呢？

（1）向量a的长度：|a| .

（2）向量a的方向： . 思考：

①若ba且a0，则 ．（用a,b的模表示） ②向量的数乘运算的几何意义吗？

向量与数量的关系常常在物理公式中体现．你能举出几个公式吗？

练一练：（课本第90页练习的第2，3题） 1．已知点C在线段AB上，且

AC5，则ACCB2AB；BCAB；

2．将下列各小题中的b表示为实数与向量a的积：

①a3e，b6e； ②a8e，b14e； ③a2132e，be； ④ae，be． 33432）运算律：

初中学习了多项式的运算法则，你还记得吗？,为常数，x,y为未知量，且x,yR，则

①(x);②()x;③(xy).

类比多项式的运算律（交换律、结合律、分配律）得到以下向量数乘的运算律： 设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：

（1）(a) ； （2）(λ+μ)a= ； （3）λ(a+b)= . 特别地，我们有()a  ；λ(a-b)= . 练一练：

3．计算：（1）(-3)?4a； （2）3(a+b)-2(a-b)-a； （3）(2a+3b-c)-(3a-2b+c).

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总结提升

1．此类运算类似多项式的运算法则（合并同类项，系数相乘得系数等）．

2．向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算，对于任意的向量a,b以及任意实数,1,2恒有：

1a2b1a2b mn3b4．若a,b是已知向量，且，求m,n（用a,b表示）．

m2n6a

3）共线定理：

思考：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？ 1． 若ba（a为非零向量，R），则向量a、b是否共线？ . 2． 若非零向量a与向量b共线，是否存在R使得ba？

共线向量定理：向量b与非零向量．．．．a平行的等价条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa.

共线定理中能否将“非零向量a”改为“向量a”？为什么？

想一想：如图：已知AD=3AB，DE=3BC，试判断AC与AE是否平行．

变式1：如上图，已知AD=3AB，DE=3BC，试判断A,C,E三点的位置关系．

变式2：如上图，已知AD=3AB，AE=3AC，求证：BC//DE．

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【总结提升】向量共线定理的应用： 1．证明向量共线；

2．证明：三点共线：ABBCA,B,C三点共线；

3．证明两直线平行：直线AB//直线CD．

AB与CD不在同一直线上ABCDAB//CD这样几何问题向量化．

【典例1】已知任意两个非零向量a、且Ob，Aab，OBa2b，OCa3b.你能判断A,B,C三点之间的位置关系吗?为什么?

【典例2】在ABC中，点D是线段BC上的一点，且BD2DC，请用向量AB、AC表示向量AD．

【小结回顾】 1． 实数与向量的积： 2． 实数与向量的积的运算律： 3． 共线向量定理：

定理的应用

①证明：向量共线； ②证明：三点共线：ABBCA,B,C三点共线；

③证明 两直线平行：直线AB//直线CD．

AB与CD不在同一直线上ABCDAB//CD【作业布置】 1．相应课时的同步作业 2．拓展提升部分的思考. 【拓展提升】

1. 设a、b是两个不共线向量，已知AB=2a+mb，CB=a+3b，若A、B、C三点共线，求m的

值．

2．在【典例2】中，观察所得出的结果，向量AB与AC的系数有何关系？若题中D为直线BC上的任意

一点，且BDBC，则用向量AB、AC又如何表示向量AD，此时向量AB与AC的系数又有何关系？ ；反过来，若ADxAByAC，且 （满足上述向量AB与AC的系数关系式），则点B,C,D有何关系？你能从中总结出一个什么样的结论．

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