高中数学--椭圆的基本知识例题习题

1．椭圆的定义：把平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c) . 2.椭圆的标准方程：

x2y2y2x221（a＞b＞0） 221（a＞b＞0） 2abab焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程

3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法

例1如图,已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2.从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP,求线段PP中点M的轨迹. .

例2. ABC的底边BC16，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．

分析：（1）由已知可得GCGB20，再利用椭圆定义求解．

（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程．

4.范围. x2≤a2，y2≤b2，∴|x|≤a，|y|≤b． 椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成的矩形里． 5.椭圆的对称性

椭圆是关于y轴、x轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 6.顶点 只须令x＝0，得y＝±b，点B1(0,－b)、B2(0, b)是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，得x＝±a，点A1(－a,0)、A2(a,0)是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A1(－a, 0)、A2(a, 0)、B1(0, －b)、B2(0, b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点． 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a叫做椭圆的 长半轴长．b叫做椭圆的短半轴长． |B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a．

在Rt△OB2F2中，|OF2|2＝|B2F2|2－|OB2|2， 即c2＝a2－b2．

7.椭圆的几何性质：

椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只

x2y2要221(ab0)的有关性质中横坐标x和纵坐标y互换，就可以得出aby2x21(ab0)的有关性质。 a2b2（1）长轴：线段A1A2，长为2a；短轴：线段B1B2，长为2b；焦点在长轴上。 （2）对于离心率e，因为a>c>0，所以0ca2b2b2由于e12，所以e越趋近于1，b越趋近于0，椭圆越扁平；eaaa越趋近于0，b越趋近于a，椭圆越圆。

（3）观察下图，|OB2|b,|OF2|c，所以|B2F2|a，所以椭圆的离心率e = cos∠OF2B2

例3 已知椭圆mx3y6m0的一个焦点为（0，2）求m的值．

22例4.已知椭圆的中心在原点，且经过点P3，0，a3b，求椭圆的标准方程．

练习。 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

8.直线与椭圆：

直线l：AxByC0（A、B不同时为0）

4525和，33x2y2 椭圆C：221(ab0)

ab那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组，通过方程组的解的

个数来判断直线和椭圆交点的情况。方法如下：

AxByC0 x2y2 消去y得到关于x的一元二次方程，化简后形式如下

212bamx2nxp0(m0)， n24mp

（1）当0时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点；

（2）当0时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点（相切）； （3）当0时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。

注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，那么线段AB的长度（即弦长）为|AB|可得：|AB|(x1x2)2(y1y2)2，设直线的斜率为k，

(x1x2)2[k(x1x2)]21k2|x1x2|，然后我们可通过求出方程的

根或用韦达定理求出。

x2y21 例5 已知椭圆2（1）求过点P，且被P平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

练习。 已知椭圆4x2y21及直线yxm． （1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为

1122210，求直线的方程． 5

椭圆练习题

一．选择

x2y21上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则ON（O为坐标1.椭圆

2593 22.已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=16，则点P的轨迹为( )

A 圆 B 椭圆 C线段 D 直线

原点）的值为A．4 B．2 C．8 D．

x2y21表示椭圆，则k的取值范围是( ) 3已知方程

1k1k A -10 C k≥0 D k>1或k<-1

二．填空

１．方程

x22y2x22y210化简的结果是 2．若ABC的两个顶点A4,0,B4,0，ABC的周长为18，则顶点C的轨迹

方程是 3、椭圆 x

2

+2y2=4的左焦点F1作倾斜角为60°的弦AB，则AB长为______

x2y24.已知椭圆＋=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距

169离为

x2y21的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则ABF2的周5．椭圆925长是 。

6.在△ABC中，A300,|AB|2,SABC3．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e ．

x2y21，A(1，0)，P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值 7.已知椭圆4最小值 。

x2y2

8.过椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的一个顶点作圆x2＋y2＝b2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB＝90°(O为坐标原点)，则椭圆C的离心率为________．

x2y21两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值为9.椭圆4_____， 三．解答题

1．设F1，F2为椭圆16x225y2400的焦点，P为椭圆上的任一点，则PF1F2的周长是多少？PF1F2的面积的最大值是多少？

x2y21所截得的线段的中点，求直线l的方程． 2.已知P(4,2)是直线l被椭圆

369

3.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(3,2)和B(23,1)两点的椭圆方程

x2y2

4已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的长轴长为4.若以原点为圆心、椭圆短半轴

ab为半径的圆与直线y＝x＋2相切，求椭圆C的焦点坐标； .

5..已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．

的3

x+b

6.已知函数f（x）=logx−b （a＞0，a≠1，b＞0）． （1）求f（x）的定义域； （2）判断f（x）的奇偶性； （3）讨论f（x）的单调性，并证明．

a