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2.1.2 指数函数及其性质〔1〕
从容说课
指数函数是在学生系统的学习了函数概念、基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，它是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它既是函数概念及性质的第一次应用，也是今后学习对数函数的基础，同时在生活及生产中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究.
指数函数对学生来说是完全陌生的一类函数，对于这样的函数应该怎样进行较为系统的研究是学生面临的重要问题.所以，从指数函数的研究过程中得到相应的结论固然重要，但更为重要的是要了解系统研究一类函数的方法，所以在教学中要特别让学生去体会研究的方法，以便能将其迁移到对其他函数的研究中去.本课主要学习指数函数的概念、图象，并根据图象归纳出指数函数的性质.
指数函数是在把指数范围扩充到实数的基础上引入的，因此在教学指数函数之前，可以先扼要地复习一下指数范围的扩充过程，以便让学生理解指数函数的定义域.
在指数函数的概念讲解过程中，既要说清楚指数函数的定义域是什么，又要向学生交待为什么要规定底数a是一个大于0且不等于1的常量.
函数图象是研究函数性质的直观工具，利用图象便于学生记忆函数的性质和变化规律.在用描点法画指数函数的图象时，首先要通过计算列出对应值表.因此，教学中可以指导学生借助计算机在同一坐标系内画出y=2x，y=〔
1x
〕这两个具有典型意义的指数函数的图象，2并引导学生借助于具体函数图象来分析它们的特征，得出指数函数的性质.
引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数的概念，并向学生指出指数函数的形式特点，在研究指数函数的图象时，遵循由特殊到一般的研究规律，要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象然后推广到一般情况，类比地得到指数函数的图象，并通过观察图象，总结出指数函数的性质，而且是分a＞１与０＜a＜１两种情形.
本节课的整体设计是按照一般研究函数的规律设计的.由实例引入定义，再根据定义并利用描点法画出函数图象，通过图象得到函数的性质.学生在学习函数时，往往感到比较困难、抽象，不易理解和掌握，要让学生掌握学习函数的一般规律，再继续学习新的函数，学生就能顺理成章，而不会产生无所适从的感觉.
本节的容量较大，为了提高效率，可采用现代化教学手段，利用投影仪或电脑.在引导学生观察分析了三种典型函数的图象性质之后，将得到的结论直接投影出来，课上的引例、例题、练习题、作业题也都可投影出来，但要注意一定要表达过程教学.比如画函数图象，不要一下就把图象投影出来，这样不利于学生掌握图象的画法，既使用了投影仪或电脑，也要将建立坐标系〔要强调三要素〕、描点、用光滑曲线将这些点连结起来的整个过程展现出来.又如函数性质的教学，一定先让学生观察图象，分析特点，从而提高学生观察归纳的能力和看图用图的意识，例题的解答也要让学生去分析，发现解法.这样有利于学生尽快掌握函数的性质，掌握比较两个数大小的方法，让学生在观察的过程中，发现的过程中，解决问题的过程中，建立起学好函数、学好数学的信心.
三维目标
一、知识与技能
1.掌握指数函数的概念、图象和性质.
2.能借助计算机或计算器画指数函数的图象. 3.能由指数函数图象探索并理解指数函数的性质. .专业.
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二、过程与方法
1.在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程，数形结合的方法等.
2.通过探讨指数函数的底数a＞0，且a≠1的理由，明确数学概念的严谨性和科学性，做一个具备严谨科学态度的人.
三、情感态度与价值观
1.通过实例引入指数函数，激发学生学习指数函数的兴趣，体会指数函数是一类重要的函数模型，并且有广泛的用途，逐步培养学生的应用意识.
2.在教学过程中，通过现代信息技术的合理应用，让学生体会到现代信息技术是认识世界的有效手段.
教学重点
指数函数的概念和性质. 教学难点
用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 教具准备
多媒体课件、投影仪、打印好的作业. 教学过程
一、以生活实例，引入新课 〔多媒体显示如下材料〕
材料1：某种细胞时，由1个成2个，2个成4个……一个这样的细胞x次后，得到的细胞的个数y与x的函数关系是什么？
〔生思考，师组织学生交流各自的想法，捕捉学生交流中与以下结论有关的信息，并简单板书〕
结论：材料1中y和x的关系为y=2x.
材料2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期〞.根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系，这个关系式应该怎样表示呢?
〔生思考〕
1生：P=〔〕5730.
21师：你能发现关系式y=2x，P=〔〕5730有什么相同的地方吗？
2〔生讨论，师及时总结得到如下结论〕
tt1我们发现：在关系式y=2和P=〔〕5730中，每给一个自变量都有唯一的一个函数
2x
t1值和它对应，因此关系式y=2x和P=〔〕5730都是函数关系式，且函数y=2x和函数P=
21〔〕5730在形式上是相同的，解析式的右边都是指数式，且自变量都在指数位置上. 2tt.专业.
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师：你能从以上两个解析式中抽象出一个更具有一般性的函数模型吗？ 〔生交流，师总结得出如下结论〕
1生：用字母a来代替2与〔〕5730.
21结论：函数y=2x和函数P=〔〕5730都是函数y=ax的具体形式.函数y=ax是一类重要
2的函数模型，并且有广泛的用途，它可以解决好多生活中的实际问题，这就是我们下面所要研究的一类重要函数模型——指数函数.
〔引入新课，书写课题〕 二、讲解新课
〔一〕指数函数的概念
〔师结合引入，给出指数函数的定义〕
一般地，函数y=ax〔a＞0，a≠1〕叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
合作探究：〔1〕定义域为什么是实数集？ 〔生思考，师适时点拨，给出如下解释〕
知识拓展：在a＞0的前提下，x可以取任意的实数，所以函数的定义域是R. 〔2〕在函数解析式y=ax中为什么要规定a＞0，a≠1？
〔生思考，师适时点拨，给出如下解释，并明确指数函数的定义域是实数R〕 知识拓展：这是因为〔ⅰ〕a=0时，当x＞0，ax恒等于0；当x≤0，ax无意义.
t11114x
〔ⅱ〕a＜0时，例如a=－，x=－，那么a=〔－〕无意义.
444〔ⅲ〕a=1时，ax恒等于1，无研究价值.
所以规定a＞0，且a≠1.
－
〔3〕判断以下函数是否是指数函数：①y=2·3x；②y=3x1；③y=x3；④y=－3x；⑤y=〔－4〕x；⑥y=πx；⑦y=4x；⑧y=xx；⑨y=〔2a－1〕x〔a＞
211，且a≠1〕. 2生：只有⑥⑨为指数函数.
方法引导：指数函数的形式就是y=ax，ax的系数是1，其他的位置不能有其他的系数，但要注意化简以后的形式.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，例如y=ax+k〔a＞0，且a≠1，k∈Z〕；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是指数函数，例
－－－
如y=ax〔a＞0，且a≠1〕，这是因为它的解析式可以等价化归为y=ax=〔a1〕x，其中－－
a1＞0，且a1≠1.如y=23x是指数函数，因为可以化简为y=8x.要注意幂底数的范围和自变量x所在的部位，即指数函数的自变量在指数位置上.
〔二〕指数函数的图象和性质
师：指数函数y=ax，其中底数a是常数，指数x是自变量，幂y是函数.底数a有无穷多个取值，不可能逐一研究，研究方法是什么呢？
〔生思考〕
师：要抓住典型的指数函数，分析典型，进而推广到一般的指数函数中去.那么选谁作典型呢？ .专业.
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生：函数y=2x的图象.
师：作图的基本方法是什么？ 生：列表、描点、连线. 借助多媒体手段画出图象.
师：研究函数要考虑哪些性质?
生：定义域、值域、单调性、奇偶性等.
师：通过图象和解析式分析函数y=2x的性质应该如何呢?
生：图象左右延伸，说明定义域为R；图象都分布在x轴的上方，说明值域为R+；图象上升，说明是增函数；不关于y轴对称也不关于原点对称，说明它既不是奇函数也不是偶函数.
师：图象在数值上有些什么特点?
生：通过图象不难发现y值分布的特点：当x＜0时，0＜y＜1；当x＞0时，y＞1；当x=0时，y=1.
合作探究：是否所有的指数函数的图象均与y=2x的图象类似？ 画出函数y=8x，y=3.5x，y=1.7x，y=0.8x的图象，你有什么发现呢?
〔生思考，师适时点拨，给出如下结论〕
结论：y=0.8x的图象与其余三个图象差别很大，其余三个图象与y=2x的图象有点类似，说明还有一类指数函数的图象与y=2x有重大差异.
师：类似地，从中选择一个具体函数进行研究，可选什么函数?
生：我们选择函数y=〔作出函数y=〔
1x
〕的图象作典型. 21x
〕的图象. 2.专业.
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合作探究：函数y=2x的图象和函数y=〔
1x
〕的图象的异同点. 2〔生思考，师适时点拨，给出如下结论〕 一般地，指数函数y=ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：
图象 a＞1 0＜a＜1 性质 〔1〕定义域为〔－∞，+∞〕；值域为〔0，+∞〕 〔2〕过点〔0，1〕，即x=0时，y=a0=1 〔3〕假设x＞0，那么ax＞1； 假设x＜0，那么0＜ax＜1 〔4〕在R上是增函数 〔3〕假设x＞0，那么0＜ax＜1； 假设x＜0，那么ax＞1 〔4〕在R上是减函数 合作探究：函数y=2x的图象和函数y=〔
1x
〕的图象有什么关系？ 2
〔生观察并讨论，给出如下结论〕 结论：函数y=2x的图象和函数y=〔师：理由是什么呢？能否给予证明?
1x
〕的图象关于y轴对称. 21x－x
〕=2，点〔x，y〕与〔－x，y〕关于y轴对称，所以y=2x的21图象上的任意一点P〔x，y〕关于y轴的对称点P1〔－x，y〕都在y=〔〕x的图象上，反
21之亦然.根据这种对称性就可以利用函数y=2x的图象得到函数y=〔〕x的图象.
2证明：因为函数y=〔
方法引导：要证明两个函数f〔x〕与g〔x〕的图象关于某一直线成轴对称图形，要分两点证明：〔1〕f〔x〕图象上任意一点关于直线的对称点都在g〔x〕的图象上；〔2〕g〔x〕图象上的任意一点关于直线的对称点都在f〔x〕的图象上. .专业.
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合作探究：思考底数a的变化对图象的影响. 例如：比较函数y=2x和y=10x的图象以及y=〔
1x1〕和y=〔〕x的图象. 210
〔生观察并讨论，给出如下结论〕
结论：在第一象限内，底数a越小，函数的图象越接近x轴. 合作探究：如何快速地画出指数函数简图？
〔学生讨论，交流各自的想法，师适时地归纳，得出如下注意点〕
〔1〕要注意图象的分布区域：指数函数的图象知分布在第一、二象限；
〔2〕注意函数图象的特征点：无论底数取符合要求的任何值，函数图象均过定点〔0，1〕；
〔3〕注意函数图象的变化趋势：函数图向下逐渐接近x轴，但不能和x轴相交. 〔三〕例题讲解
[例1] 求以下函数的定义域：
〔1〕y=8
12x11；〔2〕y=1()x.
2〔多媒体显示，师组织学生讨论完成〕 师：我们已经有过求函数定义域的一些实战经验，你觉得求函数定义域时哪些方面应该引起你的高度注意？
〔生交流自己的想法，师归纳，得出如下结论〕 〔1〕分式的分母不能为0；
〔2〕偶次根号的被开方数大于或等于0； 〔3〕0的0次幂没有意义.
师：这些注意点在我们所要解决的问题中又没有出现，是否还有其他新的要求或条件？
〔生讨论交流，并板演解答过程，师组织学生进行评析，规范学生解题〕
11，原函数的定义域是{x|x∈R，x≠}； 221111〔2〕∵1－〔〕x≥0，∴〔〕x≤1=〔〕0.∵函数y=〔〕x在定义域上单调递减，
2222解：〔1〕∵2x－1≠0，∴x≠
∴x≥0.∴原函数的定义域是［0，+∞〕.
[例2] 比较以下各题中两个值的大小：
－－
〔1〕1.72.5，1.73；〔2〕0.80.1，0.80.2；〔3〕1.70.3，0.93.1. 师：你能发现题中所给的各式有哪些共同点和不同点吗？这些特点能否给你解答该题有所启示呢？
〔生讨论，师适时点拨，得出如下解析过程〕 解：〔1〕1.72.5，1.73可看作函数y=1.7x的两个函数值. .专业.
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由于底数1.7＞1，所以指数函数y=1.7x在R上是增函数. 因为2.5＜3，所以1.72.5＜1.73.
－－
〔2〕0.80.1，0.80.2可看作函数y=0.8x的两个函数值. 由于底数0.8＜1，所以指数函数y=0.8x在R上是减函数.
－－
因为－0.1＞－0.2，所以0.80.1＜0.80.2.
〔3〕因为1.70.3、0.93.1不能看作同一个指数函数的两个函数值，所以我们可以首先在这两个数值中间找一个数值，将这一个数值与原来两个数值分别比较大小，然后确定原来两个数值的大小关系.
由指数函数的性质知1.70.3＞1.70=1，0.93.1＜0.90=1，所以1.70.3＞0.93.1. 师：问题解决了，通过解决这些问题，你有什么心得体会吗？ 〔生交流解题体会，师适时归纳总结，得出如下结论〕 方法引导：在解决比较两个数的大小问题时，一般情况下是将其看作是一个函数的两个函数值，利用函数的单调性比较之.当两个数不能直接比较时，我们可以将其与一个数进行比较大小，从而得出该两数的大小关系.
三、巩固练习 课本P68练习1、2
〔生完成后，同桌之间互相交流解答过程〕 1.略.
2.〔1〕{x|x≥2}；〔2〕{x|x≠0}. 四、课堂小结
师：通过本节课的学习，你觉得你都学到了哪些知识?请同学们互相交流一下自己的收获，同时也让你们的同桌享受一下你所收获的喜悦.
〔生交流，师简单板书，多媒体显示如下内容〕 1.指数函数的定义以及指数函数的一般表达式的特征. 2.指数函数简图的作法以及应注意的地方. 3.指数函数的图象和性质. 一般地，指数函数y=ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示： a＞1 0＜a＜1 图象 〔1〕定义域为〔－∞，+∞〕；值域为〔0，+∞〕性质 〔2〕过点〔0，1〕，即x=0时，y=a0=1 性质 〔3〕假设x＞0，那么ax＞1； 假设x＜0，那么0＜ax＜1 〔3〕假设x＞0，那么0＜ax＜1； 假设x＜0，那么ax＞1 〔4〕在R上是增函数 〔4〕在R上是减函数 4.结合函数的图象说出函数的性质，这是一种重要的数学研究思想和研究方法——数形结合思想〔方法〕.
5.a的取值范围是今后应用指数函数讨论问题的前提. .专业.
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五、布置作业
课本P69习题2.1A组第5、6、7、8、10、11题. 板书设计
2.1.2 指数函数及其性质〔1〕
一、1.指数函数的概念 2.指数函数的图象和性质 二、例题评析 三、课堂小结 四、布置作业
.专业.
