matlab最佳平方逼近

任 兵（200820302025）

一、问题叙述

求函数f(x)=exp(x)在[-1，1]上的二、三次最佳平方逼近多项式。 二、问题分析

由教材定义6.5有：对于给定的函数f(x)C[a,b]，如果存在

S*(x)Span{0(x),1(x),使得

,n(x)}

2ba*(x)f(x)S(x)dxmin(x)f(x)s(x)dxaxba2b

则称S*(x)是f (x)在集合Span{0(x),1(x),*n,n(x)}中的最佳平方逼近函数。

显然，求最佳平方逼近函数S(x)a*jj(x)的问题可归结为求它的系数

j0***，使多元函数 a0,a1,,ann(x)f(x)ajj(x)dx

j02I(a0,a1,,an)ba***取得极小值，也即点(a0)是I (a0, …，an)的极点。由于I (a0, a1, …，,a1,,anan)是关于a0, a1, …，an的二次函数，利用多元函数取得极值的必要条件，

I0 (k = 0, 1, 2, …, n) ak即

nbI2(x)f(x)ajj(x)k(x)dx0aakj0

得方程组

aj(x)k(x)j(x)dxj0anb(x)f(x)k(x)dx,ab(k0,1,2,,n)

如采用函数内积记号

(k,j)(x)k(x)j(x)dx,ab(f,k)(x)f(x)k(x)dx,aq

那么，方程组可以简写为

(,)akjj0nj(f,k)(k0,1,2, ,n)……………...（1）

这是一个包含n + 1个未知元a0, a1, …, an的n + 1阶线性代数方程组，写成矩阵形式为

(0,0)(,0)1(1,0)(1,1) (n,0)(n,1)(,(f,0)0n)a0(1,n)a1(f,1)…………（2）

(n,n)an(f,n)此方程组叫做求aj (j = 0, 1, 2, …, n)的法方程组。

显然，其系数行列式就是克莱姆行列式Gn = Gn (0, 1, …, n)。由于0,

1, …, n线性无关，故Gn  0，于是上述方程组存在唯一解

*akak(k0,1,,n)。从而肯定了函数f (x)在Span{0(x),1(x),,n(x)}中如

果存在最佳平方逼近函数，则必是

S(x)a*（3） jj(x)……………………………...

*j0n三、实验程序

1、最佳平方逼近算法

（1） 输入被逼近函数f(x)和对应的逼近区间[a,b]并选择逼近函数系{∮（x）}

和权函数；

（2） 解方程组（1）或（2），其中方程组的系数矩阵和右端的项由式（3）得

到；

（3） 由式（3）得到函数的最佳平方逼近。 2、将上述算法编写成MATLAB程序共需三个程序： （1）第一个程序（函数名：squar_approx.m） 计算最佳逼近函数的系数，源代码如下：

function S=squar_approx(a,b,n) ％定义逼近函数

global i;global j; ％全局变量

if nargin<3 n=1;end ％判断

Phi2=zeros(n+1); ％生成一个n+1*n+1大小的全0矩阵数组 for i=0:n

for j=0:n;

Phi2(i+1,j+1)=quad(@rho_phi,a,b); ％求rho_phi积分 end

end

PhiF=zeros(n+1,1); ％生成一个n+1*n大小的全0矩阵数组 for i=0:n

PhiF(i+1)=quad(@fun_phi,a,b); ％求fun_phi积分

end

s=Phi2\\PhiF;

（2）第二个程序（函数名：rho_phi.m）

代码如下：

function y=rho_phi(x) global i;global j;

y=(rho(x).*phi_k(x,i)).*phi_k(x,j);

（3）第三个程序（函数名：fun_phi.m）

function y=fun_phi(x) global i;

y=(rho(x).*phi-k(x,i)).*obj(x);

四、试验结果

f(x)=exp(x)在[-1，1]上的二、三次最佳平方逼近多项式。 （1）编写下面三个函数：外部函数；多项式函数；被逼近函数；

function y=rho(x) ％外部函数 y=1;

function y=phi_k(x,k) ％多项式函数 if k==0

y=ones(size(x));

else

y=x.^k;

end

function y=obj(x) ％被逼近函数 y=exp(x)

（2）当求的是二次逼近时得到如下结果

>> clear

>> S=squar_approx(-1,1,2)

S =

0.9963 1.1036

0.5367

绘制两者的图形： >> fun='exp(x)';

>> fplot(fun,[-1,1]) >> hold on

>> xi=-1:0.1:1;

>> yi=polyval(S,xi); >> plot(xi,yi,'r:') 得到如下结果：

原函数exp(x)二次逼近

（3）当求的是三次逼近时得到如下结果 >> S=squar_approx(-1,1,3)

S =

0.9963 0.9980 0.5367 0.1761

绘制图形如下：

>> fun='exp(x)';

>> fplot(fun,[-1,1]) >> hold on

>> xi=-1:0.1:1;

>> yi=polyval(S,xi); >> plot(xi,yi,'r:') 得到如下所得图形：

原函数exp(x)三次逼近

五．试验结论

在该次实验中较顺利的达到了预期的结果。从试验结果看出三次逼近没有二次逼近效果理想，验证了最佳平方逼近理论。