空间向量的线性运算
一、基础过关 1．下列说法正确的是
( )
A．在平面内共线的向量在空间不一定共线 B．在空间共线的向量在平面内不一定共线 C．在平面内共线的向量在空间一定不共线 D．在空间共线的向量在平面内一定共线
→→→→
2．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且AO＋OB＝DO＋OC，则四边形ABCD是
( )
A．空间四边形 C．等腰梯形
B．平行四边形 D．矩形
→
3．已知空间四边形ABCD，M、G分别是BC、CD的中点，连接AM、AG、MG，则AB1→→
＋(BD＋BC)等于 2
( )
1→→→→
A.AG B.CG C.BC D.BC
2
4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：
→→→→→→→→→→→①(A1D1－A1A)－AB；②(BC＋BB1)－D1C1；③(AD－AB)－2DD1；④(B1D1＋A1A)＋→DD1.
→
其中能够化简为向量BD1的是
( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
→→→
5．如图，空间四边形OABC，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在 →
OA上，且OM＝2MA，N是BC的中点，则MN等于( ) 121A.a－b＋c 232211B．－a＋b＋c
322112C.a＋b－c 223221D.a＋b－c 332
→→→→→→
6．已知向量AB，AC，BC满足|AB|＝|AC|＋|BC|，则
( )
→→→
A.AB＝AC＋BC →→
C.AC与BC同向
→→→B.AB＝－AC－BC →→
D.AC与CB同向
→→→→
7．化简：(AB－CD)－(AC－BD)＝________.
→→
8．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1＝a，A1D1＝b，→→
A1A＝c，则B1M＝____________.
9.如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点．若 →1→→3→
AE＝OD＋xOB－OA，则x＝________.
22二、能力提升
10.如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E是CC1的中点，设 →→→→AB＝a，AD＝b，AA1＝c.试用a，b，c表示AE.
→→→
11．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，O1为A1B1C1D1的中心．化简：A1D1＋CC1－CD1→→
＋(CB＋B1A1)． 2
12.如图所示，在长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方 体ABCD—A1B1C1D1且以八个顶点的两点为始点和终点的向量中， (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量； →
(3)试写出与AB相等的所有向量； →
(4)试写出AA1的相反向量． 三、探究与拓展
13．如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分
→→→
别是BC，CD，DB的中点，请化简(1)AB＋BC＋CD； →→→
(2)AB＋GD＋EC，并标出化简结果的向量．
答案
1．D 2.B 3.A 4.A 5．B 6．D 7．0
11
8．－a＋b＋c
2219. 2
10．解 ∵E是CC1的中点，
→1→1→1∴CE＝CC1＝AA1＝c.
222→→
又AD＝BC＝b，
1→→→→
∴AE＝AB＋BC＋CE＝a＋b＋c.
211．解 如图所示．
→→→→→→→→∵A1D1＝BC，－CD＝AB，CB＝C1B1，B1A1＝C1D1， →→→1→→
∴原式＝BC＋CC1＋AB＋(C1B1＋C1D1)
2→→→→→＝AB＋BC＋CC1＋C1O1＝AO1.
→→→→→
12．解 (1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的AA1，A1A，BB1，B1B，CC1，
→→→
C1C，DD1，D1D这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．
→→→
(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD1，D1A，A1D，→→→→→
DA1，BC1，C1B，B1C，CB1共8个．
→→→→
(3)与向量AB相等的所有向量(除它自身之外)共有A1B1，DC及D1C13个． →→→→→
(4)向量AA1的相反向量有A1A，B1B，C1C，D1D共4个． →→→→→→
13．解 (1)AB＋BC＋CD＝AC＋CD＝AD.
(2)∵E，F，G分别为BC，CD，DB的中点． →→→→∴BE＝EC，EF＝GD. →→→∴AB＋GD＋EC →→→→＝AB＋BE＋EF＝AF.
→→
故所求向量AD，AF如图所示．
