湖南省邵阳市2017届高三下学期第二次联考数学(理)试题 Word版含答案

数学(理科)

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

21.已知集合Axylg(x4x12,Bx3x4,则AB 等于( )

A．(-3,-2) B.(-3,2) C．(2,4) D．(-2,4)

(i1)222.复数z的实部为( )

1iA．0 B．-1 C．1 D．2 3.假设有两个分类变量X和Y的22列联表为: y1 x1 y2 10 30 40 总计 a a10 x2 总计 c 60 c30 100 对同一样本,以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为( )

A．a45,c15 B．a40,c20 C. a35,c25 D.

a30,c30

4.已知函数f(x)cos(x6)(0)的最小正周期为,则函数f(x)的图像( )

个单位而得 3B．可由函数g(x)cos2x的图像向右平移个单位而得

3C. 可由函数g(x)cos2x的图像向左平移个单位而得

6D．可由函数g(x)cos2x的图像向右平移个单位而得

6A．可由函数g(x)cos2x的图像向左平移

5.执行如图的程序框图,若输入k的值为3,则输出S的值为( )

A．10 B．15 C.18 D．21

6.在ABC中，A30,AB3,AC23，且AD2BD0，则ACCD等于( )

A．18 B．9 C.-8 D． -6

xy20,7.若实数x,y满足不等式组x2y40,且3(xa)2(y1)的最大值为5，则a等于

2xy50,( )

A．-2 B．-1 C.2 D． 1 8.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )

A．6 B．9 C.12 D．18 9.若tan12cos55sinmsin，则实数m的值为( ) 121212A．23 B．3 C.2 D．3 10.已知f(x)2,0x1,在区间（0,4）内任取一个为x，则不等式

1,x1,log2x(log14x1)f(log3x1)47的概率为（ ) 2A．

1517 B． C. D． 31221211.已知抛物线C:y22px(p0)的焦点为F，点M(x0,22)(x0点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线xp)是抛物线C上一2MAp截得的弦长为3MA.若2，2AF则AF等于( ) A．

3 B．1 C.2 D．3 212.已知函数f(x)aex2x2a，且a[1,2]，设函数f(x)在区间[0,ln2]上的最小值为m，则m的取值范围是( )

A．[2,2ln2] B．[2,] C. [2ln2,1] D．[1,]

1e1e第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. (x3)(125)的展开式中常数项为 ． xx2y214.已知双曲线221(a0,b0)的左、右端点分别为A,B，点C(0,2b)，若线段

abAC的垂直平分线过点B，则双曲线的离心率为 ．

15.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,面积为S,则“三斜求积”公式为

122a2c2b22S[ac()],若a2sinC4sinA,(ac)212b2，则用“三斜求

42积”公式求得ABC的面积为 ．

E是16.在长方体ABCDA1BC11D1中,底面ABCD是边长为2的正方形, AA13,

AA1的中点,过C1作C1F平面BDE与平面ABB1A1交于点F,则CF与平面ABCD所成

角的正切值为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.）

17. 已知等比数列an的前n项和Sn,且6Sn3n1a(nN). (1)求a的值及数列an的通项公式；

1(2)若bn(1an)log3(anan1),求数列的前n项和Tn.

bn218. 某中点中学为了了解高一年级学生身体发育情况,对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查,测得身高(单位: cm)频数分布表如下表1、表2. 表1：男生身高频数分布表（） 身高[160,165） [165,170） [170,175） [175,180） [180,185） [185,190） (cm) 频数 2 5 14 18 4 2 表2：女生身高频数分布表 身高[150,155） [155,160） [160,165） [166,170） [170,176） [176,180） (cm) 频数 1 7 12 6 3 1 （1）求该校高一女生的人数；

（2）估计该校学生身高在[165,180）的概率；

（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X表示身高在[165,180）学生的人数，求X的分布列及数学期望.

19. 在如图所示的几何体中，四边形BB1C1C是矩形，BB1平面ABC，

A1B1//AB,AB2A1B1,E是AC的中点.

（1）求证：A1E//平面BB1C1C；

（2）若ACBC22,AB2BB12，求ABA1E二面角的余弦值.

x2y2320. 已知右焦点为F2(c,0)的椭圆C:221(ab0)过点1,，且椭圆C关于直

ab2线xc对称的图形过坐标原点. （1）求椭圆C的方程； （2）过点1线段EF的中点为M，点A是椭圆C,0作直线l与椭圆C交于两点E、F，

2的右顶点，求直线MA的斜率k的取值范围. 21. 已知函数f(x)xalnx,g(x)1a，其中aR. x（1）设函数h(x)f(x)g(x)，求函数h(x)的单调区间； （2）若x01,e存在，使得f(x0)g(x0)成立，求a的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知三点O(0,0),A(2,),B(22,). 24（1）求经过O,A,B的圆C的极坐标方程；

（2）以极点为坐标原点，极轴为x的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为

x1acos,（是参数），若圆C1与圆C2外切，求实数a的值. y1asin,23.选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)x2x1. （1）求不等式f(x)1的解集；

（2）若关于x的不等式f(x)412m有解，求实数m的取值范围.

邵阳市第二次联考试题卷 数学参（理科）

一、选择题

1-5:CAADB 6-10:DCCAB 11、12：BA

二、填空题

13.43 14.

10 15. 23 16.

5 6三、解答题

17.解：（1）∵6Sn3n1a， ∴当n1时，6S16a19a， 当n2时，6an6(SnSn1)23n， 即an3n1，

∵an是等比数列，∴a11，则9a6，得a3， ∴数列an的通项公式为an3n1(nN).

（2）由（1）得bn(1an)log3(an2an1)(3n2)(3n1)， ∴Tn111111 ......b1b2bn1447(3n2)(3n1)111111(1...)34473n23n2.

n3n118.解：（1）设高一女生人数为x，由表1和表2得样本中男、女生人数分布为40和30， 则

700x40，得x300，即该校高一女生的人数为300. x30423， 705（2）由表1、表2知，样本中身高在[165,180)的学生人数为：5141363142， 样本容量为70，所以样本中学生身高在[165,180)的频率为故由频率估计该校学生身高在[165,180)的频率p（3）依题意知X的可能取值为0,1,2，

3. 5由上表知：女生的身高在[165,180)的频率为∴P(X0)(1)(1)14，男生身高在[165,180)的频率为， 35412，

531541419P(X1)(1)(1)，

535315414P(X2)，

5315∴X的分布列为：

X的数学期望E(X)02941712. 1515151519.解：（1）证明：取AB的中点F，连接EF,A1F， ∵AB2A1B1，∴BFA1B1， ∵A1B1//AB，∴FA1//BB1.

∵EF是ABC的中位线，∴EF//CB， ∵EFFA1F，∴平面A1EF//平面BB1C1C， ∵A1E平面A1EF，∴A1E//平面BB1C1C.

（2）连接CF，则CFAB，以F为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,1,0),A),B(0,1,0),C(7,0,0)， 1(0,0,17173,,0),BA1(0,1,1),BE(,,0). ∴E(2222设平面A1BE的一个法向量为n(x,y,z)，

yz0,nBA0,1则即7 3xy0,nBE0,22令y1，则x33,z1，∴n(,1,1). 77∵向量FC(7,0,0)是平面AA1B1B的一个法向量，

nFC3323∴cosn,FC. nFC2323∴二面角ABA1E的余弦值为323. 231921，① 2ab20.解：（1）∵椭圆C过点1,，∴

32∵椭圆C关于直线xc对称的图形过坐标原点，∴a2c，

222∵abc，∴b232a，② 4由①②得a24,b23，

x2y21. ∴椭圆C的方程为43（2）依题意，直线l过点11,0且斜率不为零，故可设其方程为xmy.

221xmy,2由方程组2消去x，并整理得4(3m24)y212my450. 2xy134设E(x1,y1),F(x2,y2),M(x0,y0)， ∴y1y2∴y03m， 23m4y1y23m， 222(3m4)13my0mk，∴. 23m24x024m24∴x0my0①当m0时，k0； ②当m0时，k144mm，

∵4m444m8，∴0mm1. 484mm1∴0k111，∴k且k0. 8881188综合①、②可知，直线MA的斜率k的取值范围是[,]. 21.解：（1）h(x)x1aalnx， x1aax2ax(1a)(x1)[x(1a)]h(x)12，

xxx2x2①当a10时，即a1时，在(0,1a)上h(x)0，在(1a,)上h(x)0， 所以h(x)在(0,1a)上单调递减，在(1a,)上单调递增； ②当1a0，即a1时，在(0,)上h(x)0， 所以，函数h(x)在(0,)上单调递增.

（2）若存在x0[1,e]，使得f(x0)g(x0)成立，即存在x0[1,e]，使得

h(x0)f(x0)g(x0)0，即函数h(x)x由（1）可知：

1aalnx在[1,e]上的最小值小于零. x①当1ae，即ae1时，h(x)0，h(x)在[1,e]上单调递减， 所以h(x)的最小值为h(e)，

1ae21a0可得a由h(e)e， ee1e21e21e1，所以a因为. e1e1②当1a1，即a0时，h(x)在[1,e]上单调递增， 所以h(x)最小值为h(1)，由h(1)11a0可得a2.

③当11ae，即0ae1时，可得h(x)的最小值为h(1a)，

)20，因为0ln(1a)1，所以，0aln(1a)a，故h(1a)2aaln(1a不合题题.

e21,). 综上可得所求a的范围是(,2)(e122.解：（1）O(0,0),A(2,),B(22,)对应的直角坐标分别为O(0,0),A(0,2),B(2,2)，

24则过O,A,B的圆的普通方程为x2y22x2y0，又因为经过O,A,B的圆C的极坐标方程为22cos(（2）圆C2：xcos，代入可求得

ysin4).

x1acos（是参数）对应的普通方程为(x1)2(y1)2a2，

y1asin当圆C1与圆C2外切时，有2a22，解得a2. 3,x2,23.解：（1）函数f(x)可化为f(x)2x1,2x1,

3,x1,当x2时，f(x)30，不合题意；

当2x1时，f(x)2x11x0，即0x1； 当x1时，f(x)31，即x1. 综上，不等式f(x)1的解集为(0,).

（2）关于x的不等式f(x)412m有解等价于(f(x)4)max12m， 由（1）可知f(x)max3，（也可由f(x)x2x1(x2)(x1)3，得， f(x)max3）

即12m7，解得3m4.