初中数学应用题归纳【精】

〖知识点〗

列方程（组）解应用题的一般步骤、列方程（组）解应用题的核心、应用问题的主要类型 〖大纲要求〗能够列方程（组）解应用题

内容分析

列出方程(组)解应用题的一般步骤是：

1审题：弄清题意和题目中的已知数、未知数;

2找等量关系：找出能够表示应用题全部含义的一个(或几个)相等关系; 3设未知数：据找出的相等关系选择直接或间接设置未知数 4列方程（组）：根据确立的等量关系列出方程 5解方程(或方程组)，求出未知数的值; 6检验：针对结果进行必要的检验；

7作答：包括单位名称在内进行完整的答语。

一，行程问题

行 程 问 题 要 点 解 析

基本概念：行程问题是研究物体运动的，它FCAB 研究的是物体速度、时间、行程三者之间的

关系。

基本公式：路程＝速度×时间；路程÷时间＝

ED 速度；路程÷速度＝时间

关键问题：确定行程过程中的位置

相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程（请

写出其他公式）

追击问题：追击时间＝路程差÷速度差（写出

其他公式）

流水问题：顺水行程＝（船速＋水速）×顺水

时间 逆水行程＝（船速－水速）×逆水

时间

顺水速度＝船速＋水速

逆水速度＝船速－水速

静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2

水 速＝（顺水速度－逆水速度）÷2

流水问题：关键是确定物体所运动的速度，

参照以上公式。

过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，

参照以上公式。

基本题型：已知路程（相遇问题、追击问题）、

时间（相遇时间、追击时间）、速度（速度和、

速度差）中任意两个量，求出第三个量。

二、 利润问题

每件商品的利润=售价-进货价 毛利润=销售额-费用

利润率=（售价--进价）/进价*100% 三、计算利息的基本公式

储蓄存款利息计算的基本公式为：利息＝本金×存期×利率 利率的换算 ：

年利率、月利率、日利率三者的换算关系是： 年利率＝月利率×12（月）＝日利率×360（天）； 月利率＝年利率÷12（月）＝日利率×30（天）； 日利率＝年利率÷360（天）＝月利率÷30（天）。 使用利率要注意与存期相一致。 利润与折扣问题的公式 利润＝售出价－成本 利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%

初中阶段几个主要的运用问题及其数量关系

1、行程问题

·基本量及关系：路程=速度×时间 ·相遇问题中的相等关系：

一个的行程+另一个的行程=两者之间的距离 ·追及问题中的相等关系：

追及者的行程－被追者的行程=相距的路程 ·顺（逆）风（水）行驶问题 顺速=V静＋风（水）速 逆速=V静－风（水）速 2、销售问题 ·基本量：

涨跌金额＝本金×涨跌百分比 折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1) 利息＝本金×利率×时间 税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)

四、浓度问题

溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度 溶液的重量×浓度＝溶质的重量 溶质的重量÷浓度＝溶液的重量 五、增长率问题

若平均增长（下降）数百分率为x，增长（或下降）前的是a,增长（或下降）n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为： a(1+x)n =b或a(1-x) =bn

成本（进价）、售价（实售价）、 利润（亏损额）、利润率（亏损率） ·基本关系：

利润=售价－成本、亏损额=成本－售价、 利润=成本×利润率 亏损额=成本×亏损率 3、工程问题 ·基本量及关系：

工作总量=工作效率×工作时间 4、分配型问题

此问题中一般存在不变量，而不变量 正是列方程必不可少的一种相等关系。

1. (2012年泰安市)一项工程，甲、乙两公司合作，12天可以完成，共需付工费102 000元；如果甲、乙两公司单独完成此项公程，乙公司所用时间甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元.

(1)甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？

(2)若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司施工费较少？

解析：(1)设甲公司单独完成此工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需

111.解得x=20. 1.5x天.根据题意，得x1.5x12经检验，知x=20是方程的解，且符合题意，1.5x=30. 答：甲、乙两公司单独完成此工程各需要20天、30天.

(2)设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为(y-1500)元.根据题意，得12(y+y-1500)=102 000. 解得y=5000.

甲公司单独完成此工程所需施工费：20×5000=100 000(元)，乙公司单独完成此工程所需施工费：30×（5000-1500）=105 000(元)，所以甲公司的施工费较少.

2. (2012年达州市)为保证达万高速公路在2012年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务.已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用40天.如果甲、乙两队合作，可比规定时间提前14天完成任务.若设规定的时间为x天，由题意列出的方程是（ ）

A.111 B.111

x10x40x14x10x40x14111C.111 D. x10x14x40x10x40x14解析：工程问题通常将工程总量视为1，设规定的时间为x天，则甲、乙单独

完成分别需要(x+10)、(x+40)天，两队平均每天完成的工作量为1、1；甲、

x10x40乙合作则只需要(x-14)天，两队合作平均每天完成的工作量为1，用工作量相

x14等可列出方程得，

111.故选x10x40x14B.

3. 为了减轻学生的作业负担，烟台市教育局规定：初中学段学生每晚的作业总量不超过1.5小时.

一个月后，九（1）班学习委员亮亮对本班每位同学晚上完成作业的时间进行了一次通缉，并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下面的问题：

（1）该班共有多少名学生？ （2）将①的条形图补充完整.

（3）计算出作业完成时间在0.5～1小时的部分对应的扇形圆心角. （4）完成作业时间的中位数在哪个时间段内？

（5）如果九年级共有500名学生，请估计九年级学生完成作业时间超过1.5小时的有多少人？

4. （2012娄底市）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为2元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）

A.2（1﹣x）2=256 B.256（1﹣x）2=2

C.2（1﹣2x）=256 D.256（1﹣2x）=2

解析：本题考查求平均变化率的方法.设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．设平均每次降价的百分率为x，则第一降价售价为2（1﹣x），则第二次降价为2（1﹣x）2，由题意得：2（1﹣x）2=256．故选A．

评注：对于连续两次增长或降低的问题，可以直接套用式子.若初始数值为a，连续两次增长或降低后的数值为b，平均增产率或降低率相同，可建立方程：a(x1)2=b．

5. 一艘船以25千米/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔S在船的北偏东300，

2小时后航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东450，求灯塔S到B处的距离。

解：SCAB2x AB25250 BCSC 2SAB300RtSAC中：SBC450tan300SCAC设SBx,

2x3232x502 x25(62)

6. “5·12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷．某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产线，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000顶帐篷支援灾区．若启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可生产帐篷178顶． (1)每条成衣生产线和童装生产线每天生产帐篷各多少顶?

(2)工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务?如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感？

解：(1)设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷x、y顶，则

x2y105

2x3y178

x41解得

y32

（2）由3(441532)9721000知，即使工厂满负荷全面转产，也不能如期

完成任务．

可以从加班生产、改进技术等方面进一步挖掘生产潜力，或动员其他厂家支援等，想法尽早完成生产任务，为灾区人民多做贡献． 7. 2008年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行．观看帆船比赛的船票分为两种：A种船票600元／张，B种船票120元／张．某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，在购票费不超过5000元的情况下，购买A、B两种船票共15张，要求A种船票的数量不少于B种船票数量的一半．若设购买A种船票x张，请你解答下列问题：

(1)共有几种符合题意的购票方案?写出解答过程； (2)根据计算判断：哪种购票方案更省钱? 解：(1)根据题意，得

15xx2600x120(15x)500020解得5x3

所以满足条件的x为5或6。

所以共有两种购票方案：

方案一：A种票5张，B种票10张。 方案二：A种票6张，B种票9张。 （2）方案一购票费用为

6005120104200(元

方案二购票费用为

所以方案一更省钱．

8. 某公司在A、B两地分别库存挖掘机16台和12台，现在运往甲、乙两地支援建设，其中甲地需要15台，乙地需要13台．从A地运一台到甲、乙两地的费用分别是500元和400元；从B地运一台到甲、乙两地的费用分别是300元和600元．设从A地运往甲地x台挖掘机，运这批挖掘机的总费用为y元． (1)请填写下表，并写出y与x之间的函数关系式；

(2)公司应设计怎样的方案，能使运这批挖掘机的总费用最省?

600612094680(元)

解：（1）

y500x400(16x)300(15x)600(x3)400x9100.

因为x30且15x0，

即3x5。

又y随x增大而增大，所以当x=3时，能使运这批挖掘机的总费用最省。运送方案是A地的挖掘机运往甲地3台，运往乙地13台；B地的挖掘地运往甲地12台，运往乙地0台。

9. 荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨．已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，

且同一型号汽车每辆租车费用相同．

(1)求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元?

(2)若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元，通过计算求出该公司有几种租车方案?请你设计出来，并求出最低的租车费用． 解：(1)设租用一辆甲型汽车的费用是x元，租用一辆乙型汽车的费用是y元，由题意， 得

x2y2500x800,解得2xy2450y850

（2）设租用甲型汽车z辆，由题意，得

16z18(6z)100800z850(6z)5000

解得2z4。

因为z是整数，所以z=2或3或4． 所以共有3种方案，分别是

方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆； 方案二：租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆； 方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆． 三个方案的费用依次为5000元，4950元，4900元，所用最低费用为4900元．答：略．

10. 某校八年级举行英语演讲比赛，派了两位老师去学校附近的超市购买笔记本作为奖品．经过了解得知，该超市的A、B两种笔记本的价格分别是12元和8元，他们准备购买这两种笔记本共30本．

(1)如果他们计划用300元购买奖品，那么能买这两种笔记本各多少本? (2)两位老师根据演讲比赛的设奖情况，决定所购买的A种笔记本的数量要少于B种笔

21记本数量的3，又不少于B种笔记本数量的3，如果设他们买A种笔记本n本，买

这两种笔记本共花费w元．

①请写出w(元)关于n(本)的函数关系式，并求出自变量n的取值范围； ②请你帮他们计算，购买这两种笔记本各多少时，花费最少，此时花费是多少元?

解：(1)设能买A种笔记本x本，则依题意，得 12x+8(30-x)=300， 解得x=15．

故能购买A、B两种笔记本各15本． (2)①依题意，得w=12n+8(30-n)，

即w=4n+240．

2n(30n)3且有n1(30n)3

15n12解得2。

所以w(元)关于n(本)的函数关系式为w=4n+240，自变量n的取值范围是

15n122且n为整数．

②对于一次函数w=4n+240．

15n12 因为w随n的增大而增大且2，n为整数，故当n=8时，w的值最小．

此时30-n=22，

w=4×8+240=272元．

故当买A种笔记本8本、B种笔记本22本时，所花费用最少，为272元．