《三元一次方程组的解法》拓展练习
一、选择题（ 本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）下列四组数值中，（ ）是方程组的解．
A． B．
C． D．
2．（5分）已知三元一次方程组，则x+y+z＝（ ）
A．20 B．30 C．35 D．70
3．（5分）对于三元一次方程组，我们一般是先消去一个未知数，转化为二元一次方
程组求解．那么在解三元一次方程组时，下列没行实现这一转化的是（ ）
A． B．
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C． D．
4．（5分）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需130元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需210元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）
A．105元 B．95元 C．85 元 D．88元
5．（5分）若2x+5y+4z＝0，3x+y﹣7z＝0，则x+y﹣z的值等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能求出
二、填空题（ 本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）五羊公共汽车公司的555路车在A，B两个总站间往返行驶，来回均为每隔x分钟发车一次．小宏在大街上骑自行车前行，发现从背后每隔6分钟开过来一辆555路车，而每隔3分钟则迎面开来一辆555路车．假设公共汽车与小宏骑车速度均匀，忽略停站耗费时间，则x＝ 分钟．
7．（5分）若x＝时，关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为倒数，则
a﹣2b＝ ．
8．（5分）三轮摩托车的轮胎安装在前轮上行驶12000公里后报废，安装在左后轮和右后轮则分别只能行驶7500公里和5000公里．为使该车行驶尽可能多的路程，采用行驶一定路程后将2个轮胎对换的方法，但最多可对换2次，那么安装在三轮摩托车上的3条轮胎最多可行驶 公里．
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9．（5分）五羊公园门票规定为：每人20元；30人以上的团体购票，每人18元，每30人优惠1人免票（不足30人的余数不优惠）．今有花城旅行社、穗城旅行社、羊城旅行社的三支旅游团前来参观：如果花城团、穗城团合起来作为一个团体购票，应购门票3834元；如果穗城团、羊城团合起来购票，应购门票4770元；如果羊城团、花城团合起来购票，应购门票5220元，那么三个团共有人 ．
10．（5分）某校运动会在400米环形跑道上进行10000米比赛，甲、乙两运动员同时起跑后，乙速超过甲速，在第15分钟时甲加快速度，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙，而在第23分50秒时，甲到达终点，那么乙跑完全程所用的时间是 分钟．
三、解答题（ 本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）阅读材料：善于思考的小明在解方程组体代换”的解法，解法如下：
时，采用了一种“整
解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为：
请你解决以下问题：
（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组
（2）已知x、y、z，满足
试求z的值．
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12．（10分）问题：有甲、乙、丙三种商品，①购甲3件、乙5件、丙7件共需490元钱；②购甲4件、乙7件、丙10件共需690元钱；③购甲2件，乙3件，丙1件共需170元钱．求购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少元？
小明说：“可以根据3个条件列出三元一次方程组，分别求出购甲、乙、丙一件需多少钱，再相加即可求得答案．”
小丽经过一番思考后，说：“本题可以去掉条件③，只用①②两个条件，仍能求出答案．”针对小丽的发言，同学们进行了热烈地讨论．
（1）请你按小明的思路解决问题．
（2）小丽的说法正确吗？如果正确，请完成解答过程；如果不正确，请说明理由．
（3）请根据上述解决问题中积累的经验，解决下面的问题：学校购买四种教学用具A、
B、C、D，第一次购A教具1件、B教具3件、C教具4件、D教具5件共花2018元；
第二次购A教具1件、B教具5件、C教具7件、D教具9件共花3036元．求购A教具5件、B教具3件、C教具2件、D教具1件共需多少元？
13．（10分）某中学的1号教学大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门也大小相同，安全检查时，对4道门进行了测试，当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生，当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可通过800名学生．
（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？
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（2）该中学的2号教学大楼，有和1号教学大楼相同的正门和侧门共5道，若这栋大楼的教室里最多有1920名学生，安全检查规定，在紧急情况下，全大楼学生应在4分钟内通过这5道门安全撤离，该栋大楼正门和侧门各有几道？
14．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（﹣a，a），a≠0，点B的坐标为（b，c），a，b，c满足
（1）用a表示b与c；
（2）若b＞c﹣5，且c为正整数，求点A、B 的坐标．
15．（10分）计算：
（1）|﹣|++2（﹣1）
（2）（）2﹣
（3）4（3x+1）2﹣1＝0；
（4）（x+3）3＝4．
（5）
（6）
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（7）．
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《三元一次方程组的解法》拓展练习
参与试题解析
一、选择题（ 本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）下列四组数值中，（ ）是方程组的解．
A． B．
C． D．
【分析】①+③得出4a＝﹣4，求出a的值，②+③得出5a﹣2b＝﹣9，代入后求出b，即可求出答案．
【解答】解：
①+③得：4a＝﹣4，
解得：a＝﹣1，
②+③得：5a﹣2b＝﹣9④，
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把a＝﹣1代入④得：﹣5﹣2b＝﹣9，
解得：b＝2，
把a＝﹣1，b＝2代入①得：﹣1+2+c＝0，
解得：c＝﹣1，
故原方程组的解为，
故选：B．
【点评】本题考查了三元一次方程组的解法，能正确消元是解此题的关键．
2．（5分）已知三元一次方程组，则x+y+z＝（ ）
A．20 B．30 C．35 D．70
【分析】方程组中三个方程左右两边相加，变形即可得到x+y+z的值．
【解答】解：，
①+②+③得：2（x+y+z）＝70，
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则x+y+z＝35．
故选：C．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，本题的技巧为将三个方程相加．
3．（5分）对于三元一次方程组，我们一般是先消去一个未知数，转化为二元一次方
程组求解．那么在解三元一次方程组时，下列没行实现这一转化的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据解三元一次方程组的步骤先消去一个未知数，得到一个二元一次方程组，从而得出答案．
【解答】解：因为解三元一次方程组的步骤先消去一个未知数，得到一个二元一次方程组，
所以没行实现这一转化的是A选项，仍旧是三个未知数，
故选：A．
【点评】本题考查了三元一次方程组的解法，把“三元”转化为“二元”、把“二元”
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转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．
4．（5分）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需130元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需210元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）
A．105元 B．95元 C．85 元 D．88元
【分析】设出购甲、乙、丙三种商品各一件的未知数，建立方程组，整体求解．
【解答】解：设购甲、乙、丙三种商品各一件，分别需要x元、y元、z元，
根据题意有：，
把这两个方程相加得：4x+4y+4z＝340，
4（x+y+z）＝340，
x+y+z＝85．
即购甲、乙、丙三种商品各一件共需85元钱．
故选：C．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，解题时认真审题，弄清题意，再列方程
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组解答，此题难度不大，考查方程思想．
5．（5分）若2x+5y+4z＝0，3x+y﹣7z＝0，则x+y﹣z的值等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能求出
【分析】理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，把x，y用z表示出来，代入代数式求值．
【解答】解：根据题意得：，
把（2）变形为：y＝7z﹣3x，
代入（1）得：x＝3z，
代入（2）得：y＝﹣2z，
则x+y﹣z＝3z﹣2z﹣z＝0．
故选：A．
【点评】本题的实质是解三元一次方程组，用加减法或代入法来解答．
二、填空题（ 本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）五羊公共汽车公司的555路车在A，B两个总站间往返行驶，来回均为每
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隔x分钟发车一次．小宏在大街上骑自行车前行，发现从背后每隔6分钟开过来一辆555路车，而每隔3分钟则迎面开来一辆555路车．假设公共汽车与小宏骑车速度均匀，忽略停站耗费时间，则x＝ 4 分钟．
【分析】可设路车和小宏的速度为未知数，等量关系为：6×（路车的速度﹣小宏的速度）＝x×路车的速度；3×（路车的速度+小宏的速度）＝x×路车的速度，消去x后得到路程速度和小宏速度的关系式，代入任意一个等式可得x的值．
【解答】解：设路车的速度为a，小宏的速度为b．
，
解得a＝3b，
代入第2个方程得x＝4，
故答案为4．
【点评】考查3元一次方程组的应用；消元是解决本题的难点；得到相遇问题和追及问题的等量关系是解决本题的关键．
7．（5分）若x＝时，关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为倒数，则
a﹣2b＝ 11 ．
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【分析】把x，y的值代入方程组中，得到关于a，b的方程组，求解即可．
【解答】解：由于x、y互为倒数，x＝，则y＝2，
代入二元一次方程组，
得，
解得a＝10，b＝﹣，
则a﹣2b＝11．
故本题答案为：11．
【点评】本题的实质是解三元一次方程组，解答此题还要熟悉倒数的概念．
8．（5分）三轮摩托车的轮胎安装在前轮上行驶12000公里后报废，安装在左后轮和右后轮则分别只能行驶7500公里和5000公里．为使该车行驶尽可能多的路程，采用行驶一定路程后将2个轮胎对换的方法，但最多可对换2次，那么安装在三轮摩托车上的3条轮胎最多可行驶 7200 公里．
【分析】易得在每个位置的轮胎行驶1公里的损耗度，那么3除以3种轮胎损耗度之
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和即为最多可行驶的公里数；验证方法为：先让前胎与后胎对换，再让左右轮胎对换，根据每种轮胎报废的损耗度为1得到相应的等量关系，即可求得对换需要的时间．
【解答】解：三轮摩托每行驶1公里，前胎、左后胎和右后胎分别损耗，
，和
所以3条轮胎最多行驶3÷（++）＝7200公里．
设行驶x公里时，把前胎和右后胎对换，再走y公里，把左右后胎对换，再走z公里，报废．
解得，
x+y+z＝7200．
∴行驶3428公里时，把前胎和右后胎对换，再走3171公里，把左右后胎对换，再走600公里，报废．
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故答案为：7200．
【点评】考查三元一次方程组的应用；判断出相应的对换方法是解决本题的突破点；根据每种轮胎报废的损耗度为1得到相应的等量关系是解决本题的难点．
9．（5分）五羊公园门票规定为：每人20元；30人以上的团体购票，每人18元，每30人优惠1人免票（不足30人的余数不优惠）．今有花城旅行社、穗城旅行社、羊城旅行社的三支旅游团前来参观：如果花城团、穗城团合起来作为一个团体购票，应购门票3834元；如果穗城团、羊城团合起来购票，应购门票4770元；如果羊城团、花城团合起来购票，应购门票5220元，那么三个团共有人 397 ．
【分析】可设花城团有x人，穗城团有y人，羊城团有z人，每人18元，每30人优惠1人免票（不足30人的余数不优惠），实际上就是：540元，可进31人．可得方程组：
①或②，解方程组求解即可．
【解答】解：设花城团有x人，穗城团有y人，羊城团有z人，
因为3834÷18＝213，4770÷18＝265，5220÷18＝290，
又213＝30×7+3，265＝30×8+25，290＝30×9+20．
根据公园门票优惠方法得方程组：x+y＝213+7，即x+y＝220；
y+z＝265+8，即y+z＝273；
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z+x＝290+9，即z+x＝299．
三式相加得：2（x+y+z）＝792，故x+y+z＝396，即三个团共有396人．
由y+z＝273可知，穗城团与羊城团合起来有273人，而273应写成30×9+3，即273人只需有273﹣9＝2人买票，与题目中的265不符．因此，穗城团、羊城团的人数加起来不可能是273人而应是265+9＝274人，而274＝30×9+4，因为只有274人才需要购买274﹣9＝265人的票，同样，由z+x＝299人，若再增加一人，变为300人，则300＝3010，省10人的票，同样也是290人买票．所以羊城团、花城团合起来可能是299人，也可能是300人．即可能是z+x＝299，也可能是z+x＝300．综上所述，可得
方程组：①或②
由方程组①可得：2（x+y+z）＝793，故x+y+z＝396.5，
由方程组②可得：2（x+y+z）＝794，故x+y+z＝397，由于人数不可能为小数，
所以方程组①不符合实际，应舍去，故三个团共有397人．
故答案为：397．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是得出羊城团、花城团合起来可能是299人，也可能是300人，从而根据情况舍去不符合实际的．
10．（5分）某校运动会在400米环形跑道上进行10000米比赛，甲、乙两运动员同时起跑后，乙速超过甲速，在第15分钟时甲加快速度，在第18分钟时甲追上乙并且开始
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超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙，而在第23分50秒时，甲到达终点，那么乙跑完全程所用的时间是 25 分钟．
【分析】首先假设出发时甲速度为a米/分，乙速度为b米/分．第15分钟甲提高的速度为x米/分，则第15分钟后甲的速度是（a+x）米/分．
根据题意，到第15分钟时，乙比甲多跑15（b﹣a）米，甲提速后3分钟（即第18分）追上乙，
所以（a+x﹣b）×3＝15（b﹣a） ①
接着甲又跑了5分钟（即第23分钟），已经超过乙一圈（400米）再次追上乙，
所以（a+x﹣b）×5＝400 ②
到了第23分50秒时甲跑完10000米，这10000米
前（15分）是以速a跑完的，后面的分是以速度a+x跑完的，
所以15a+（a+x）＝10000，
由①÷②得b﹣a＝16（米/分），x＝96米/分．
将b﹣a、x代入③得 a＝384米/分，所以b＝400米/分．
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乙是一直以400米/分的速度跑完10000米的，
∴乙跑完全程所用的时间＝＝25（分）．
【解答】解：设出发时甲速度为a米/分，乙速度为b米/分．第15分钟甲提高的速度为x米/分，
所以第15分钟后甲的速度是（a+x）米/分．
由题意得，
由①÷②得b﹣a＝16（米/分），那么x＝96米/分
将x代入③得 a＝384米/分
∴b＝400米/分．
∴乙跑完全程所用的时间＝＝25（分）．
故答案为25．
【点评】解决本题的关键是从求甲的原速度与甲提高的速度为切入点，求得甲的速度，乙速度也就不难确定了．
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三、解答题（ 本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）阅读材料：善于思考的小明在解方程组体代换”的解法，解法如下：
时，采用了一种“整
解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为：
请你解决以下问题：
（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组
（2）已知x、y、z，满足试求z的值．
【分析】（1）将②变形后代入方程解答即可；
（2）将原方程变形后利用加减消元解答即可．
【解答】解：（1）
将②变形得3（2x﹣3y）+4y＝11 ④
将①代入④得
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3×7+4y＝11
y＝
把y＝代入①得，
∴方程组的解为
（2）
由①得3（x+4y）﹣2z＝47 ③
由②得2（x+4y）+z＝36 ④
③×2﹣④×3得z＝2
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，用了整体代入思想．
12．（10分）问题：有甲、乙、丙三种商品，①购甲3件、乙5件、丙7件共需490元钱；②购甲4件、乙7件、丙10件共需690元钱；③购甲2件，乙3件，丙1件共需170元钱．求购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少元？
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小明说：“可以根据3个条件列出三元一次方程组，分别求出购甲、乙、丙一件需多少钱，再相加即可求得答案．”
小丽经过一番思考后，说：“本题可以去掉条件③，只用①②两个条件，仍能求出答案．”针对小丽的发言，同学们进行了热烈地讨论．
（1）请你按小明的思路解决问题．
（2）小丽的说法正确吗？如果正确，请完成解答过程；如果不正确，请说明理由．
（3）请根据上述解决问题中积累的经验，解决下面的问题：学校购买四种教学用具A、
B、C、D，第一次购A教具1件、B教具3件、C教具4件、D教具5件共花2018元；
第二次购A教具1件、B教具5件、C教具7件、D教具9件共花3036元．求购A教具5件、B教具3件、C教具2件、D教具1件共需多少元？
【分析】（1）设购买一件甲种商品需要x元，购买一件乙种商品需要y元，购买一件丙种商品需要z元，根据“①购甲3件、乙5件、丙7件共需490元钱；②购甲4件、乙7件、丙10件共需690元钱；③购甲2件，乙3件，丙1件共需170元钱”，即可得出关于x、y、z的三元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买一件甲种商品需要x元，购买一件乙种商品需要y元，购买一件丙种商品需要z元，根据“①购甲3件、乙5件、丙7件共需490元钱；②购甲4件、乙7件、丙10件共需690元钱”，即可得出关于x、y、z的三元一次方程组，由方程①×3﹣方程②×2可得x+y+z＝90，此题得解；
第21页（共31页）
（3）设购买一套A教具需要a元，购买一套B教具需要b元，购买一套C教具需要
c元，购买一套D教具需要d元，根据“购A教具1件、B教具3件、C教具4件、D教
具5件共花2018元；第二次购A教具1件、B教具5件、C教具7件、D教具9件共花3036元”，即可得出关于a、b、c、d的四元一次方程组，设a+b+c+d＝m、2b+3c+4d＝n，可将原方程组变形为关于m、n的二元一次方程组，解之即可得出m、n的值，将其代入5a+3b+2c+d＝5m﹣n中即可求出结论．
【解答】解：（1）设购买一件甲种商品需要x元，购买一件乙种商品需要y元，购买一件丙种商品需要z元，
根据题意得：，
解得：，
∴x+y+z＝90．
答：购甲、乙、丙三种商品各一件共需90元．
（2）小丽的说法正确．
设购买一件甲种商品需要x元，购买一件乙种商品需要y元，购买一件丙种商品需要
z元，
第22页（共31页）
根据题意得：，
方程①×3﹣方程②×2，得：x+y+z＝90．
答：购甲、乙、丙三种商品各一件共需90元．
（3）设购买一套A教具需要a元，购买一套B教具需要b元，购买一套C教具需要
c元，购买一套D教具需要d元，
根据题意得：，
方程组可变形为：，
设a+b+c+d＝m，2b+3c+4d＝n，
则原方程组可变形为：，
解得：，
∴5a+3b+2c+d＝5（a+b+c+d）﹣（2b+3c+4d）＝5m﹣n＝3982．
答：购A教具5件、B教具3件、C教具2件、D教具1件共需3982元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、三元一次方程组的应用以及四元一次方
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程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出三元一次方程组；（2）根据方程①②之间的关系，求出x+y+z的值；（3）巧妙的将原四元一次方程组转化为二元一次方程组求解．
13．（10分）某中学的1号教学大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门也大小相同，安全检查时，对4道门进行了测试，当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生，当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可通过800名学生．
（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？
（2）该中学的2号教学大楼，有和1号教学大楼相同的正门和侧门共5道，若这栋大楼的教室里最多有1920名学生，安全检查规定，在紧急情况下，全大楼学生应在4分钟内通过这5道门安全撤离，该栋大楼正门和侧门各有几道？
【分析】（1）根据题意可知，本题有两个未知数：平均每分钟一道正门和一道侧门各通过多少名学生．等量关系有两个：当同时开启一道正门和两道侧门时，2min内可以通过560名学生．当同时开启一道正门和一道侧门时，4min内可以通过800名学生．根据以上条件可以列出方程组求解；
（2）根据（1）的数据，列出方程组解答即可．
【解答】解：（1）设平均每分钟一道正门可通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生．
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则，
解得．
答：平均每分钟一道正门可通过120名学生，一道侧门可以通过80名学生；
（2）设该栋大楼正门有m道，侧门有n道，则
，
解得．
故该栋大楼正门有2道，侧门有3道．
【点评】考查了二元一次方程组的应用，解题关键是根据题意找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
14．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（﹣a，a），a≠0，点B的坐标为（b，c），a，b，c满足
（1）用a表示b与c；
（2）若b＞c﹣5，且c为正整数，求点A、B 的坐标．
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【分析】（1）解方程组即可得到结果；
（2）根据已知条件b＞c﹣5，得到﹣7﹣a＞a+5﹣5，于是得到﹣5＜a＜﹣3.5，求得a＝4，于是得到结论．
【解答】解：（1）解方程组
得：，
所以用a表示b与c的形式为：b＝﹣7﹣a；
（2）
①×2﹣②得：b+c＝﹣2b＝﹣2﹣c
∵b＞c﹣5
∴﹣2﹣c＞c﹣5
2c＜3c＜1.5
又∵c为正整数
∴c＝1
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∴a＝﹣4，b＝﹣3
A（4，﹣4），B（﹣3，1）．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，解方程组，需要学生具备一定的计算能力．
15．（10分）计算：
（1）|﹣|++2（﹣1）
（2）（）2﹣
（3）4（3x+1）2﹣1＝0；
（4）（x+3）3＝4．
（5）
（6）
（7）．
【分析】（1）原式先根据绝对值的性质和开方运算，然后合并同类二次根式即可得到
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结果；
（2）原式先计算乘方和开方运算，再算加减运算即可得到结果；
（3）直接开平方，可得答案；
（4）直接开立方，可得答案；
（5）方程组利用加减消元法求出解即可；
（6）方程组利用加减消元法求出解即可；
（7）首先将三元一次方程组化为二元一次方程组，然后再根据二元一次方程组的解法，求出其解集，从而求出三元一次方程组的解集．
【解答】解：（1））|﹣|++2（﹣1）
＝﹣++2﹣2
＝3﹣；
（2））（）2﹣
＝6+3+2
＝11；
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（3）4（3x+1）2﹣1＝0，
（3x+1）2＝，
3x+1＝，
∴x1＝，x2＝．
（4）（x+3）3＝4，
（x+3）3＝8，
x+3＝2
∴x＝﹣1
（5）
①+②得：4x＝8，即x＝2，把x＝2代入①得：y＝1，
则方程组的解为；
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（6）原式整理得：，
①+②得：6x＝36，即x＝6，
把x＝6代入①得：y＝﹣，
则方程组的解为；
（7）
由②﹣①得3a+3b＝3④
由③﹣②，得21a+3b＝57⑤
由④⑤组成方程组，解得，
将其代入①得 c＝﹣5
故原方程组的解为：．
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【点评】此题考查了实数的混合运算，解二元一次方程组，解三元一次方程组，解三元一次方程与解二元一次方程组一样，首先要消元，然后再移项、系数化为1，来求解，同时也考查学生的计算能力．
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