机械能守恒在模型中的应用
李仕才
专题六：机械能守恒在模型中的应用 1．连绳模型
此类问题要认清物体的运动过程，注意物体运动到最高点或最低点时速度相同这一隐含条件．
例1 如图所示，甲、乙两个物体的质量分别为m甲和m乙(m乙>m甲)，用细绳连接跨在半径为R的光滑半圆柱的两端，连接体由图示位置从静止开始运动，当甲到达半圆柱体顶端时对圆柱体的压力为多大？
解析 设甲到达半圆柱体顶部时，二者的速度为v，以半圆柱顶部为零势能面，由机械能守恒定律可得
1π2
－(m乙＋m甲)gR＝(m乙＋m甲)v－m乙gR＋R①
22
或以半圆柱底部为零势能面，由机械能守恒定律有
1π2
0＝m甲gR＋(m乙＋m甲)v－m乙g·R(与上式一样，可见零势能面的选取与解题无关，
22
可视问题方便灵活选择零势能面)
v2
设甲到达顶部时对圆柱体的压力为FN，以甲为受力分析对象，则m甲g－FN＝m甲②
R3m甲－π－m乙.
联立①②两式可得FN＝m甲gm乙＋m甲
2．连杆模型
这类问题应注意在运动过程中各个物体之间的角速度、线速度的关系等．
例2 一个质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B，支架的两直角边长度分别为2L和L，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦地转动，如图所示，开始时OA边处于水平位置，由静止释放，则( )
A．A球的最大速度为2gL
B．A球速度达到最大时，两小球的总重力势能最小 C．A球速度达到最大时，两直角边与竖直方向的夹角都为45°
D．A、B两球的最大速度之比为vA：vB＝2：1
解析 支架绕固定轴O转动，A、B两球运动的角速
度相同，速度之比始终为2：1，又A、B两球组成的系统机械能守恒，所以B、D正确，设A球速度最大时，OB与竖直方向的夹角为θ，根据机械能守恒定律，有
1112
mg·2Lsinθ－2mgL(1－cosθ)＝mv2A＋·2mvA
222
1
82－2
所以vA＝gL[2sin(θ＋45°)－1]≤gL
33
由此可知，当θ＝45°时，A球速度最大，C项正确，A项错误． 答案 BCD
3．滑槽模型
滑槽模型是指通过弧形滑槽将不同的物体连在一起组成的系统．此类问题应认清物体的运动过程，注意物体运动到最高点或最低点时速度相同这一隐含条件．
例3如图所示，光滑的水平地面上放有质量均为m的物体A和B，两者彼此接触．物体A的上表面是半径为R的光滑半圆形轨道，轨道顶端距水平面的高度为h.现在一质量也为m的小物体C从轨道的顶端由静止状态下滑．已知在运动过程中，物体A和C始终保持接触，试求：
(1)物体A和B刚分离时，物体B的速度；
(2)物体A和B分离后，物体C所能达到距水平面的最大高度．
解析
(1)当C运动到最低点时，A和B开始分离．设A和B刚分离时，B的速度为vB，C的速度为vC，根据A、B、C组成的系统动量守恒和机械能守恒，有
(m＋m)vB＝mvC
2
mgR＝mv2C＋(m＋m)vB
1
212
1
由以上两式可得vB＝3gR.
3
(2)A和B分离后，C达到最大高度时，A、C速度相同，设此速度为v1，根据动量守恒，有mvB＝(m＋m)v1，
11
所以C到达最大高度时的速度为v1＝vB＝3gR.设C所能到达距水平面的最大高度为H，
26根据机械能守恒定律，有
2
mgh＝mv2B＋(m＋m)v1＋mgH
1
212
1
所以C能达到距水平面的最大高度为H＝h－R.
411
答案 (1)3gR (2)h－R
34
4．滑链模型
此类问题应注意重力势能为零的位置的选择及重力势能的改变．
例4如图所示，一条长为L的柔软匀质链条，开始时静止放在光滑梯形平台上，斜面上
2
的链条为x0，已知重力加速度为g，Lx0)．解析 链条各部分和地球组成的系统机械能守恒，设链条的总质量为m，以平台所在位置为零势能面，则
m112m1
－x0g·x0sinα＝mv－xg·xsinα L22L2g22
x－x0α. L所以当链条长为x时，链条的速度为
解得v＝ g22
x－x0L 答案
α.
g22
x－x0Lα
5．弹簧模型
由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，应注意：弹簧伸长或压缩至最大程度时，弹簧两端连接的物体具有相同的速度；弹簧处于自然长度时，弹性势能最小(为零)等隐含条件．
例5如图所示，在一个光滑的水平面上，有质量均为m的三个物体，其中物体B、C静止，中间夹着一个质量不计的弹簧，弹簧处于自然状态，物体A以水平速度v0撞向物体B，碰撞后A、B粘在一起运动，求在整个运动过程中：
(1)弹簧的最大弹性势能； (2)物体C的最大速度．
解析
(1)物体A和B碰撞后，A、B粘在一起以相同速度v1向右运动，根据动量守恒定律，有mv01
＝2mv1，即v1＝v0，
2
当物体A、B、C的速度都为v2时，弹簧的弹性势能最大，根据动量守恒定律，有mv0＝
3
1
3mv2，即v2＝v0，
3
111222
弹簧的最大弹性势能为Ep＝×2mv1－×3mv2＝mv0.
2212
(2)当弹簧再次恢复为原长时，C的速度最大，设此时物体B、C的速度分别为v′1、v′2，
根据动量守恒定律和机械能守恒定律，有mv0＝2mv1′＋mv2′， 121212×2mv＝2×2mv＋2
11′2
mv2′， 解得v222′＝3v0，即物体C的最大速度为3v0.
答案 (1)1212mv2
0 (2)3v0.
4
