最值专题
一、【阿氏圆最值】
模型识别：
问题本质：
【例1】
1．已知∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点．
（1）AP1BP的最小值为__________；
2（2）1APBP的最小值为 ．
3
【例2】 已知：如图1，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D为顶点．
（1）求抛物线解析式及点D的坐标；
（2）如图2，E为OB的中点，将线段OE绕点O顺时针旋转得到OE'，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接
第 1 页 共 6 页
E'B、E'C，当EB1EC取得最小值时，求直线E'B与抛物线的交点坐标．
2
二、【归于几何模型】
（一）“将军饮马”问题：分散化为集中的数学化归思想
1. 如图1,将军骑马从A出发，先到河边a喝水，再回驻地B，问将军怎样走路程最短？
2. 如图,一位将军骑马从驻地M出发，先牵马去草地OA吃草，再牵马去河边OB喝水，最后回到驻地M，问：这位将军怎样走路程最短?
图1 图2
3. 如图，在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点， 连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝
4.已知点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点， 若⊙O的半径长为1，则AP+BP的最小值为__________.
5.如图,∠AOB=30°,点M,N分别在边OA,OB上,且OM=1,ON=3,点P,Q分别在边OB,OA上,则MP+PQ+QN的最小值是 .
第 2 页 共 6 页
6.如图，抛物线和y轴的交点为A（0，3），M为OA的中点，若有一动点P，自M点处出发，沿直线运动到x轴上的某点（设为点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴直线x=3上的某点（设为点F），最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短路程的长。
（二）三角形三边关系问题：三角形两边之差小于第三边，变动的两线段之差的最大值，即当三点共线时最大，同样体现分散化集中的思想
2.如图3，已知点A的坐标为（-4,8），点B的坐标为（2，2）,
（1）请在Y轴上找到一点P，使PA+PB最小，并求出此时P点的坐标。 （2）请在Y轴上找到一点P，使PAPB最大，并求出此时P点的坐标。
22．如图，在平面直角坐标系中，圆M过原点o，与x轴交于A（4.0），与y轴交于B（0,3），点C为劣弧AO的中点，连接AC并延长到D，使DC=4CA,连接BD. （1）圆M的半径;
（2）证明：BD为圆M的切线；
（3）在直线MC上找一点p，使｜DP-AP｜最大。
第 3 页 共 6 页
（三）“造桥选址”问题
2. 如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，-3），B（4，-1）．若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=______时，四边形ABDC的周长最短．
（四）涉圆的问题
2.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为 .
P D
C A 第3题图
B
3.如图，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P是以CD为直径的半圆上的一个动点，连接BP，则BP的最大值是
________．
4.如图，⊙O的弦BC长为8，点A是⊙O上一动点，且∠BAC=45，点D，E分别是 BC，AB的中点，则（1）⊙O 直径为 （2）DE长的最大值是
y
A EBO A A Q PxD
OA A
A C 第4题
5.如图，在平面直角坐标系中，A(-3，-2),⊙A的半径为1，P为X轴上一点，PQ切⊙A 于Q，则当PQ最小时，PQ长为_______，P点坐标为________.
6.在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线ykx3k4与⊙O交于B、C两点，则（1）直线必过定点D坐标为： （2）弦BC的长的最小值为 ．
第 4 页 共 6 页
2．（2018·改编）如图，抛物线yxbxc与直线AB交于A（－4，－4），B（0，4）两点，直线AC：
21yx6交y轴与点C，点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．
2（1）求抛物线yx2bxc的表达式； （2）连接GB、EO，当四边形GEOB是平边形时，求点G的坐标；
（3）①点H为y轴上一点，连接EH、FH，E运动到什么位置时，以A、E、F、H为顶点边形是矩形? 求出此时点E、H的坐标；
②在①的前提下，以点E为圆心，EH半径作圆，点M为⊙E上一动点，求：
行四当点的四长为
第 5 页 共 6 页
1AMCM的最小值． 2
1．已知点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的⊙O上运动，试求1APBP的最小值．
2
第 6 页 共 6 页
