于田县第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 将函数y=cosx的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移数图象的一条对称轴方程是（ ） A．x=π B．

C．

D．

+

，则x、y的值分个单位，所得函

2． 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若别为（ ）

A．x=1，y=1 B．x=1，y= C．x=，y= 3． i是虚数单位，计算i+i2+i3=（ ） A．﹣1

B．1

D．x=，y=1 C．﹣i

D．i

4． 已知等比数列{an}的公比为正数，且a4•a8=2a52，a2=1，则a1=（ ） A．

B．2

C．

D．

5． 如图框内的输出结果是（ ）

A．2401 B．2500 C．2601 D．2704

6． 已知函数f（x）=x3+（1﹣b）x2﹣a（b﹣3）x+b﹣2的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，则不等式组A．

B．

22

所确定的平面区域在x+y=4内的面积为（ ）

C．π D．2π

7． 已知f（x）=x3﹣3x+m，在区间[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（ ）

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A．m＞2 B．m＞4 C．m＞6 D．m＞8

8． 设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（ ） A．1

B．

C．

D．

9． 下列命题中的说法正确的是（ ） B．“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”的必要不充分条件

C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＞0” D．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆否命题为真命题

10．若数列{an}的通项公式an=5（）2n﹣2﹣4（）n﹣1（n∈N*），{an}的最大项为第p项，最小项为第q项，则q﹣p等于（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”

11．若复数（2+ai）2（a∈R）是实数（i是虚数单位），则实数a的值为（ ） A．﹣2 B．±2 C．0 D．2

12．阅读如下所示的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是（ ）

A．39 B．21 C．81 D．102

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二、填空题

13．已知双曲线的标准方程为为 ．

，则该双曲线的焦点坐标为， 渐近线方程

且i，j∈{1，2，3，4}}，则对于下列命题：

14．若正方形P1P2P3P4的边长为1，集合M={x|x=①当i=1，j=3时，x=2； ②当i=3，j=1时，x=0；

③当x=1时，（i，j）有4种不同取值； ④当x=﹣1时，（i，j）有2种不同取值； ⑤M中的元素之和为0．

其中正确的结论序号为 ．（填上所有正确结论的序号）

15．设幂函数fxkx的图象经过点4,2，则k= ▲ ．

22

16．0）3）已知点A（2，，点B（0，，点C在圆x+y=1上，当△ABC的面积最小时，点C的坐标为 ．

17．函数f（x）=loga（x﹣1）+2（a＞0且a≠1）过定点A，则点A的坐标为 ．

18．满足关系式{2，3}⊆A⊆{1，2，3，4}的集合A的个数是 ．

三、解答题

19．（本小题满分12分）

设0，，满足6sin2cos3．

3（1）求cos的值；

6（2）求cos2的值．

12

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x2y2

20．（本小题满分12分）椭圆C：2＋2＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，P是椭圆上一点，PF⊥x轴，A，B

ab

1

是C的长轴上的两个顶点，已知|PF|＝1，kPA·kPB＝－.

2（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的中心O的直线l交椭圆于M，N两点，求三角形PMN面积的最大值，并求此时l的方程．

21．中国高铁的某个通讯器材中配置有9个相同的元件，各自工作，每个元件正常工作的概率为p（0＜p＜1），若通讯器械中有超过一半的元件正常工作，则通讯器械正常工作，通讯器械正常工作的概率为通讯器械的有效率

（Ⅰ）设通讯器械上正常工作的元件个数为X，求X的数学期望，并求该通讯器械正常工作的概率P′（列代数式表示）

（Ⅱ）现为改善通讯器械的性能，拟增加2个元件，试分析这样操作能否提高通讯器械的有效率．

22．（本小题满分12分）△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线．

1

（1）求证：AD＝2b2＋2c2－a2；

2

19sin B3

（2）若A＝120°，AD＝，＝，求△ABC的面积．

2sin C5

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23．已知数列a1，a2，…a30，其中a1，a2，…a10，是首项为1，公差为1的等差数列；列a10，a11，…a20，是公

2

差为d的等差数列；a20，a21，…a30，是公差为d的等差数列（d≠0）．

（1）若a20=40，求d；

（2）试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；

3

（3）续写已知数列，使得a30，a31，…a40，是公差为d的等差数列，…，依此类推，把已知数列推广为无穷数

列．提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

24．函数

。定义数列如下：是过两点的直线

与轴交点的横坐标。 （1）证明：（2）求数列

；

的通项公式。

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于田县第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：将函数y=cosx的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到y=cosx，再向右平移由（x即

）=kπ，得x+2kπ，k∈Z，

，

，

个单位得到y=cos[（x=2kπ，

）]，

当k=0时，

即函数的一条对称轴为故选：B

【点评】本题主要考查三角函数的对称轴的求解，利用三角函数的图象关系求出函数的解析式是解决本题的关键．

2． 【答案】C 【解析】解：如图，+故选C．

+（

）．

3． 【答案】A

2

【解析】解：由复数性质知：i=﹣1

23

故i+i+i=i+（﹣1）+（﹣i）=﹣1

故选A

【点评】本题考查复数幂的运算，是基础题．

4． 【答案】D

【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，则q＞0，

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222

∵a4•a8=2a5，∴a6=2a5， 2

∴q=2，∴q=

， =

．

∵a2=1，∴a1=故选：D

5． 【答案】B

【解析】解：模拟执行程序框图，可得S=1+3+5+…+99=2500， 故选：B．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，等差数列的求和公式的应用，属于基础题．

6． 【答案】 B

【解析】解：因为函数f（x）的图象过原点，所以f（0）=0，即b=2． 则f（x）=

x3﹣x2+ax，

2

函数的导数f′（x）=x﹣2x+a，

因为原点处的切线斜率是﹣3， 即f′（0）=﹣3， 所以f′（0）=a=﹣3， 故a=﹣3，b=2， 所以不等式组则不等式组

如图阴影部分表示，

所以圆内的阴影部分扇形即为所求． ∵kOB=﹣

，kOA=

，

为

22

确定的平面区域在圆x+y=4内的面积，

∴tan∠BOA==1，

∴∠BOA=，

，扇形的面积是圆的面积的八分之一，

×4×π=

，

∴扇形的圆心角为

22

∴圆x+y=4在区域D内的面积为

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故选：B

【点评】本题主要考查导数的应用，以及线性规划的应用，根据条件求出参数a，b的是值，然后借助不等式区域求解面积是解决本题的关键．

7． 【答案】C

2

【解析】解：由f′（x）=3x﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0得到x1=1，x2=﹣1（舍去） ∵函数的定义域为[0，2]

∴函数在（0，1）上f′（x）＜0，（1，2）上f′（x）＞0， 则f（x）min=f（1）=m﹣2，f（x）max=f（2）=m+2，f（0）=m 由题意知，f（1）=m﹣2＞0 ①； 由①②得到m＞6为所求． 故选C

f（1）+f（1）＞f（2），即﹣4+2m＞2+m②

∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，

【点评】本题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大 值

8． 【答案】D

2

【解析】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x﹣lnx，求导数得

=

当当所以当

时，y′＜0，函数在时，y′＞0，函数在

时，所设函数的最小值为

2

上为单调减函数， 上为单调增函数

所求t的值为故选D

【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．

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9． 【答案】D

22

【解析】解：A．命题“若x=1，则x=1”的否命题为“若x≠1，则x≠1”，故A错误，

B．由x2+5x﹣6=0得x=1或x=﹣6，即“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”既不充分也不必要条件，故B错误， C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≤0﹣5，故C错误，

D．若A＞B，则a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，即命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的为真命题．则命题的逆否命题也成立，故D正确 故选：D．

【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的关系以及充分条件和必要条件的判断，含有量词的命题的否定，比较基础．

10．【答案】A 【解析】解：设

2

∴an=5t﹣4t=

=t∈（0，1]，an=5（）2n﹣2﹣4（）n﹣1（n∈N*）， ﹣，

，

∴an∈

∴q﹣p=2﹣1=1， 故选：A． 属于中档题．

11．【答案】C ∴4a=0， 解得a=0． 故选：C．

当且仅当n=1时，t=1，此时an取得最大值；同理n=2时，an取得最小值．

【点评】本题考查了二次函数的单调性、指数函数的单调性、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，

22

【解析】解：∵复数（2+ai）=4﹣a+4ai是实数，

【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．

12．【答案】D111.Com] 【解析】

试题分析：第一次循环：S3,n2；第二次循环：S21,n3；第三次循环：S102,n4．结束循环，输出S102．故选D. 1 考点：算法初步．

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二、填空题

13．【答案】 （±

【解析】解：双曲线c=

=2

，

，0），

，0） y=±2x ．

的a=2，b=4，

可得焦点的坐标为（±

渐近线方程为y=±x，即为y=±2x． 故答案为：（±

，0），y=±2x．

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点的求法和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．

14．【答案】 ①③⑤

【解析】解：建立直角坐标系如图：

则P1（0，1），P2（0，0），P3（1，0），P4（1，1）． ∵集合M={x|x=

对于①，当i=1，j=3时，x=对于②，当i=3，j=1时，x=对于③，∵集合M={x|x=∴∴

=（1，﹣1），•

=1；

•=

=1；

且i，j∈{1，2，3，4}}，

=（1，﹣1）•（1，﹣1）=1+1=2，故①正确； =（1，﹣1）•（﹣1，1）=﹣2，故②错误； 且i，j∈{1，2，3，4}}， =（0，﹣1），

•

==1；

=（1，0）， •

=1；

∴当x=1时，（i，j）有4种不同取值，故③正确；

④同理可得，当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，故④错误；

⑤由以上分析，可知，当x=1时，（i，j）有4种不同取值；当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，当i=1，j=3时，x=2时，当i=3，j=1时，x=﹣2； 当i=2，j=4，或i=4，j=2时，x=0， ∴M中的元素之和为0，故⑤正确． 综上所述，正确的序号为：①③⑤， 故答案为：①③⑤．

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【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的坐标运算，建立直角坐标系，求得﹣1），难题．

15．【答案】【解析】

3 2=（1，

==（0，﹣1），==（1，0）是关键，考查分析、化归与运算求解能力，属于

13试题分析：由题意得k1,42k

22考点：幂函数定义 16．【答案】 （

，

） ．

22

【解析】解：设C（a，b）．则a+b=1，① ∵点A（2，0），点B（0，3）， ∴直线AB的解析式为：3x+2y﹣6=0．

如图，过点C作CF⊥AB于点F，欲使△ABC的面积最小，只需线段CF最短． 则CF=∴a=

，②

≥ ，b=，，

， ）． ）．

，当且仅当2a=3b时，取“=”，

联立①②求得：a=故点C的坐标为（故答案是：（

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【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题．

17．【答案】 （2，2） ．

【解析】解：∵loga1=0， ∴当x﹣1=1，即x=2时，y=2， 故答案为：（2，2）．

则函数y=loga（x﹣1）+2的图象恒过定点 （2，2）．

【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用loga1=0，属于基础题．

18．【答案】 4 ．

【解析】解：由题意知，

满足关系式{2，3}⊆A⊆{1，2，3，4}的集合A有： {2，3}，{2，3，1}，{2，3，4}，{2，3，1，4}， 故共有4个， 故答案为：4．

三、解答题

19．【答案】（1）【解析】

30210；（2）．

846试题分析：（1）由6sin2cos3 sin，又0，，

366264第 12 页，共 17 页

11015；（2）由（1）可得cos22cos21sin2 cos3646434cos2302cos2cos2cossin2sin． 8123434346试题解析：（1）∵6sin2cos3，∴sin，………………………………3分

6410∵0，，∴，，∴cos．………………………………6分

366264（2）由（1）可得cos22cos21236，∴sin2∵0，，∴2，3333101．………………………………8分 14415．……………………………………10分 42∴cos2cos2cos2cossin2sin

12343434302．………………………………………………………………………………12分 8考点：三角恒等变换． 20．【答案】 【解析】解：

（1）可设P的坐标为（c，m）， c2m2

则2＋2＝1， ab

b2

∴m＝±，

a∵|PF|＝1 ，

即|m|＝1，∴b2＝a，①

又A，B的坐标分别为（－a，0），（a，0），

1

由kPA·kPB＝－得

2

22bbaa11·＝－，即b2＝a2，②

22c＋ac－a

由①②解得a＝2，b＝2，

第 13 页，共 17 页

x2y2

∴椭圆C的方程为＋＝1.

42

1

（2）当l与y轴重合时（即斜率不存在），由（1）知点P的坐标为P（2，1），此时S△PMN＝×22×2＝

2

2.

x2k2x22

当l不与y轴重合时，设其方程为y＝kx，代入C的方程得＋＝1，即x＝±，

422

1＋2k

2k

∴y＝±，

2

1＋2k即M（∴|MN|＝ ＝421＋2k

2

，2k1＋2k

2

），N（－21＋2k

2

，

－2k1＋2k

2

），

424k22＋2 1＋2k1＋2k

，

1＋k21＋2k2

|2k－1|11

点P（2，1）到l：kx－y＝0的距离d＝，∴S△PMN＝|MN|d＝·

22

k2＋14

1＋k2|2k－1|

· 1＋2k2k2＋1

2k2＋1－22k

1＋2k

2

|2k－1|＝2·＝2

2

1＋2k＝2

22k1－2， 1＋2k

22k22k

当k＞0时，≤＝1，

1＋2k222k此时S≥0显然成立， 当k＝0时，S＝2.

－22k1＋2k2

当k＜0时，≤＝1，

1＋2k21＋2k2当且仅当2k2＝1，即k＝－

2

时，取等号． 2

此时S≤22，综上所述0≤S≤22. 22

即当k＝－时，△PMN的面积的最大值为22，此时l的方程为y＝－x.

2221．【答案】

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【解析】解：（Ⅰ）由题意可知：X～B（9，p），故EX=9p． 在通讯器械配置的9个元件中，恰有5个元件正常工作的概率为：在通讯器械配置的9个元件中，恰有6个元件正常工作的概率为：在通讯器械配置的9个元件中，恰有7个元件正常工作的概率为：在通讯器械配置的9个元件中，恰有8个元件正常工作的概率为：在通讯器械配置的9个元件中，恰有9个元件正常工作的概率为：通讯器械正常工作的概率P′=

（Ⅱ）当电路板上有11个元件时，考虑前9个元件，

为使通讯器械正常工作，前9个元件中至少有4个元件正常工作． ①若前9个元素有4个正常工作，则它的概率为：此时后两个元件都必须正常工作，它的概率为：②若前9个元素有5个正常工作，则它的概率为：此时后两个元件至少有一个正常工作，它的概率为：③若前9个元素至少有6个正常工作，则它的概率为：此时通讯器械正常工作，故它的概率为： P″=

可得P″﹣P′=

，

=

=

．

p2+

p2+

+

﹣

，

；

． p2； ．

；

；

． ． ． ． ．

故当p=时，P″=P′，即增加2个元件，不改变通讯器械的有效率； 当0＜p当p

时，P″＜P′，即增加2个元件，通讯器械的有效率降低； 时，P″＞P′，即增加2个元件，通讯器械的有效率提高．

【点评】本题考查二项分布，考查了相互事件及其概率，关键是对题意的理解，属概率统计部分难度较大的题目．

22．【答案】 【解析】解：

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（1）证明：∵D是BC的中点，

a

∴BD＝DC＝.

2

a2

法一：在△ABD与△ACD中分别由余弦定理得c＝AD＋－2AD·

4

a

cos∠ADB，① 2

2

a22ab＝AD＋－2AD··cos∠ADC，②

42

2

222a①＋②得c＋b＝2AD＋，

2

2

2

即4AD2＝2b2＋2c2－a2，

1

∴AD＝2b2＋2c2－a2.

2

法二：在△ABD中，由余弦定理得

a2a22

AD＝c＋－2c·cos B

42

2222a＋c－ba

＝c2＋－ac·

42ac

2b2＋2c2－a2

＝，

41

∴AD＝2b2＋2c2－a2.

2

1sin B3

（2）∵A＝120°，AD＝19，＝，

2sin C5由余弦定理和正弦定理与（1）可得 a2＝b2＋c2＋bc，① 2b2＋2c2－a2＝19，②

b3

＝，③ c5

联立①②③解得b＝3，c＝5，a＝7，

11153

∴△ABC的面积为S＝bc sin A＝×3×5×sin 120°＝. 22415

即△ABC的面积为3.

423．【答案】

【解析】解：（1）a10=1+9=10．a20=10+10d=40，∴d=3．

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22

（2）a30=a20+10d=10（1+d+d）（d≠0），

a30=10，

当d∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）时，a30∈[7.5，+∞） （3）所给数列可推广为无穷数列{an]，

其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，

n

当n≥1时，数列a10n，a10n+1，…，a10（n+1）是公差为d的等差数列．

研究的问题可以是：试写出a10（n+1）关于d的关系式，并求a10（n+1）的取值范围．

323

研究的结论可以是：由a40=a30+10d=10（1+d+d+d），

．

依此类推可得a10（n+1）=10（1+d+…+d）=

n

当d＞0时，a10（n+1）的取值范围为（10，+∞）等． 中档题．

24．【答案】 【解析】（1）为

，可知，直线

直线

的直线方程为

，故点

在函数

【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的性质解决实际问题，会根据特例总结归纳出一般性的规律，是一道

的图像上，故由所给出的两点

斜率一定存在。故有

，令

，可求得

所以

时，

下面用数学归纳法证明当假设

时，时，

，满足

成立，则当

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