高数模拟题

第一讲 函数 极限与连续

第一节 函数

一． 函数的概念（定义，定义域，对应法则，值域）：

对xI,存在yf(x)R，则称y是x的函数，其中f称为对应法则，I称定义域，R称值域。 二.函数的基本特性 1.单调性：

定义1.1：设函数yf(x)在区间I上有定义，若对于I上任意两点x1与x2，且x1x2时，

均有f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在区间I上单调增加（或单调减少）。如果其中的“”或“”改为“”（或“”），称函数f(x)在I上单调不减（或单调不增）。

判定：（1）定义：

（2）导数：设f(x)在区间I上可导，则 a) f'(x)0f(x)单调不减； b) f'(x)0f(x)单调增；

【评注】（1）判断抽象的函数的单调性，在考试时采用举反例排除法，而尽量不用单调性的定义进行证明； （2）导数大于零的函数一定单调递增，但单调递增的可导函数的导数不一定严格大于零，其导数也可能等于零。 2.奇偶性：

定义1.2：设函数f(x)的定义域D关于原点对称（即若xD，则必有xD），如果对于任一xD，有f(x)f(x)（或f(x)f(x)）恒成立，则称f(x)为偶函数（或奇函数）。

几何图形：偶函数：图像关于y轴对称；奇函数：其图像关于坐标原点对称 判定：（1）定义：

（2）设f(x)可导，则：

a)f(x)是奇函数f'(x)是偶函数；

1

b)f(x)是偶函数f'(x)是奇函数； （3）连续的奇函数其原函数都是偶函数； 连续的偶函数其原函数之一是奇函数。 3.周期性

定义1.3：设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个不为零的数T,使得对于任意xD有

(xT)D,且f(xT)f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数。使上述关系成立的最小正

数T称为f(x)的最小正周期。简称为函数f(x)的周期。

判定：（1）定义：

（2）可导的周期函数其导函数为周期函数； （3）周期函数的原函数不一定是周期函数； 4．有界性

定义1.4：若存在M0，使得xI，有|f(x)|M(f(x)M或f(x)M），则称f(x)在I上有界（有上界或下界）；否则，称f(x)在区间I上无界。 判定：（1）定义：

（2）f(x)在[a,b]上连续f(x)在[a,b]上有界；

（3）f(x)在(a,b)上连续，且f(a0)和f(b0)存在f(x)在(a,b)上有界； （4）f'(x)在区间I（有限）上有界f(x)在I上有界； 【评注】：(1)有界性与区间有关。

(2)函数f(x)在I上有界的充要条件是f(x)在I上既有上界又有下界。

三、函数的分类： 1. 反函数

定义1.5设yf(x)的定义域为D,值域为R。若yR，有唯一确定的一个便得一个函数x(y)，且f[(y)]yxD值, 若把y作为自变量，x作为因变量，则称x(y)为函数yf(x)的反函数。也记为yf1(x)。

注：在同一直角坐标系下，函数yf(x)的图像与其反函数x(y)的图像重合，

2

yf(x)的图像与其反函数yf1(x)的图像关于yx对称。

2. 复合函数

定义1.6设函数yf(u)的定义域为Df，函数u(x)的值域为Z，若集合Df与

Z的交集非空，称函数yf[(x)]为函数yf(u)与u(x)复合而成的复合函数，

u为中间变量。

【评注】对复合函数，重要的是会把它分解，即知道它是由哪些“简单”函数复合的。重点掌握函数分解成简单函数的复合，分段函数的复合。

3.初等函数

定义1.7 由基本初等函数经有限次的四则运算、复合运算所得到的可以用一个解析式表示的函数称为初等函数。 【评注】：（1）基本初等函数

1幂函数:yxR; 2指数函数yax(a0且a1);

x3对数函数:yloga( a0且a1);4三角函数:如ysinx,ycosx,ytanx等;

5反三角函数:如yarcsinx,yarccosx,yarctanx等.

（2）基本初等函数 定义域、性质和图形必须牢记。

4.分段函数

定义1.8在定义域内不能用同一个式子表示的函数.

f(x)xx0f1(x)xa 如f(x)；f(x)

axxf(x)xa02【评注】：常见的分段函数

xx01） 绝对值函数x

xx01,x02） 符号函数sgnx0,x0

1,x03） 取整函数 x表示不超过x的最大整数

f1(x)f1(x)f2(x)4） 最大值函数maxf1(x),f2(x)

f(x)f(x)f(x)212f2(x)f1(x)f2(x)最小值函数minf1(x),f2(x)

f1(x)f1(x)f2(x)5.隐函数

3

定义1.9 如果在方程F(x,y)0中，当取x某区间内的任一值时，相应地总有满足这一方程的唯一y值存在，那么就说方程在该区间内确定的一个隐函数

yf(x)

6.参数方程确定的函数

x(t)y(t),t

7.幂指函数：yu(x)v(x)(u(x)0)；

(x)(1x2n)x8.极限、变限积分确定的函数：如f(x)lim， y(x)f(t)dt ； n1x2n题型一 函数的概念及建立函数关系

【例1】已知f(x1)的定义域为[0，a](a>0),则f(x)的定义域为（ ） （A）[-1，a-1], (B)[1,a+1] (C) [a, a+1] (D)[a-1,a] 【例2】已知f(x)ex，f[(x)]1x，且(x)0，求(x)及其定义域。

x2,当x0,2x,当x0,, f(x)【例3】设 g(x) 则g[f(x)]____

x2,当x0x,当x0,2

题型二 函数的基本特性

【例4】下列结论正确的是 （ ）

111（A）xsin在0,上是无界 （B）x0时2sin是无穷大量

xxxxsint11（C）dt在0,2010上是无界 （D）sin在0,上是无界

0xxt【例5】设 f(x)x2xsintdt

（1）证明：f(x)是以为周期 （2）求函数的值域

4

第二节 极限及其重要性质

一、极限的概念

定义1 limxna：对于 0，N0，当nN时，有 xn－a。

n定义2 limf(x)A：对于 0，X0，当|x|X时，有|f(x)A|。

x类似可定义：limf(x)A，limf(x)A。

xx定义3 limf(x)A：对于 0，0，当0|xx0|时，有

xx0|f(x)A|。

类似可定义：f(x00)limf(x)A，f(x00)limf(x)A。

xx0xx0二、极限的性质 1．极限的性质：（局部）有界性、保号性、极限的唯一性、极限与左右极限、子列的关系。 (1)有界性：

设limxnA，那么{xn}一定有界。即M0，使得xnM。

n 设limf(x)A，则函数f(x)在x0的某取心领域内有界。即0和M0，

xx0当0|xx0|时，有|f(x)|M。

(2)保序性：

设limxnA，limynB。若AB，则存在自然数N，使得当nN时，

nn有xnyn；若存在自然数N，使得当nN时有xnyn，则AB。

设limf(x)A，limg(x)B。若AB，则存在0，使得当0|xx0|xx0xx0时，有f(x)g(x)；若0，使得当0|xx0|时有f(x)g(x)，则AB。 (3)其它性质：

极限的唯一性：数列、函数不能收敛于两个不同的极限；

收敛数列与其子列的关系：如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一个子列也收敛，

5

且其极限也是a；

函数极限与左右极限的关系：

xx0limf(x)Af(x00)f(x00)A ；

xx0xx0函数极限与无穷小关系：limf(x)Af(x)A(x)，其中lim(x)0。 三、极限的计算

极限的四则运算法则： 若在x某种变化下，limf(x)A,limg(x)B,则 lim[f(x)g(x)]ABlimf(x)limg(x)； lim[f(x)g(x)]ABlimf(x)limg(x)； limf(x)Alimf(x)(B0)。 g(x)Blimg(x)幂指函数的运算法则及推广：

设limf(x)A0,limg(x)B，则limf(x)g(x)AB。这是由于

limf(x)g(x)limeg(x)lnf(x)elimg(x)lnf(x)eBlnAAB。 四、两个重要极限和极限存在准则 (1)重要极限

sinx1， 2、 lim(1x)xe 。 1、limx0x0x(2) 两个重要准则

准则Ⅰ如果数列{xn},{yn}及{zn}满足:

1(1)ynxnzn (n1,2,3,)， (2)limyna, limzna,nn

则limxna。

n准则Ⅱ 单调有界数列必有极限。

五 无穷小与无穷大 1、无穷小、无穷大定义

若limf(x)0(或limf(x)0),称函数f(x)当xx0(或x)时为无穷小。

xx0x若limf(x)(或limf(x))，称函数f(x)当xx0(或x)时为无穷大。

xx0x2、无穷小阶的比较

lim(x)0,lim(x)0。 无穷小的阶：设xxxx00(x)(x)

6

如果lim(x)0,则称(x)是比(x)高阶的无穷小,记作(x)((x))； (x)(x）,则称(x)是比(x)低阶的无穷小； (x)如果lim如果lim(x)C0,则称(x)与(x)是同阶无穷小； (x)(x)C0,k0,则称(x)是关于(x)的k阶无穷小； k(x)如果lim如果lim(x)1,则称(x)与(x)是等价无穷小,记作(x)～(x)。 (x)3、无穷小的性质：

(1)极限与无穷小关系：limf(x)Af(x)A(x)，其中lim(x)0。

xx0xx0(2) (x)与(x)是等价无穷小的充分必要条件为：(x)(x)o((x))。 (3) 设(x)～(x),(x)～(x),且lim(x)存在,则(x)lim(x)(x)lim。 (x)(x)4、有限个无穷小的代数和仍是无穷小，有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 常用的几个重要等价无穷小 (当x0时)有:

sinx～x, arcsinx～x, tanx～x, arctanx～x,

x2 1cosx～,ln(1x)～x,ex1～x,ax1～xlna(a0),

2 (1x)1～x(为任意实数), log(1x)～(1/lna)x.

题型三 极限概念、性质及存在准则

【例6】设an,bn,cn均为非负数列，且liman0,limbn1,limcn，则必

nnn有

（A）anbn对任意n成立 （B）bncn对任意n成立 （C）极限limancn不存在 （D）极限limbncn不存在

nn

7

【例7】对任意的x总有（x)f(x)g(x)，且lim[g(x)(x)]0，则limf(x)

xx（A）存在且等于0 （B）存在但不一定等于0

（C）一定不存在 （D）不一定存在

题型四 求函数的极限（未定式）

方法1．利用有理运算法则求极限 常见极限不存在的情况

11limcoslimsin①limsinx limcosx或 x xx x0xx0xx0xx0②limarctanx limarctanxxx01xxx0lime x lime

xx0xx011x2③limxx

方法2．利用基本极限求极限 常用的基本极限

sinx1lim1， lim(1x)xe lim(1)xe

x0x0xxxex1ax1ln(1x)1 limlna lim1， limx0x0x0xxx(1x)a1lima，limnn1

nx0x1方法3. 利用等价无穷小代换求极限

'若～，～,则limflimf lim'flimf

'''①在乘积的情况下，可用无穷小代换

②在和差的情况下慎用无穷小代换

③在复杂的情况下，可借助泰勒公式确定和差的等价无穷小

xsinx如： 3x

8

方法4．洛必达法则:

0洛必达法则：,型设函数f(x),g(x)满足条件：

0（1）limf(x)0(或),limg(x)0(或);

xx0xx0（2）f(x),g(x)在x0的邻域内可导（在x0处可除外）且g(x)0; （3）limf(x)xxg(x)存在或； 0则f(x)xlimx0g(x)f(x)xlimxg(x)。 03sinxx2cos1【例8】求limxx0(1cosx)x

【例9】求xlim4x2x1x1x2sinx。

【例10】limsinxln(12x)x03x1x2

【例11】lim3x2(3x83xx1)

1【例12】求lim2exsinxx04 1exln(1x)11【例13】求2xx1xlimx(aa)

【例14】求limxe(11)xxx1

【例15】求limcosx1ln(1x2)x0

9

题型五 求数列的极限

2【例16】 求limtann

n4n

【例16】 设a0,x10,xn11axn，n1,2,.求极限limxn.

n2xn12n【例17】lim2 22nnn1nn2nnn

nn【例18】求极限limna1na2，其中ai0(i1.2.3...n) amn

题型六 无穷小量的比较

【例19】设当x0时,lncosxsinxtdt是比31xn1高阶的无穷小,而

03x1xn1是比xln1sinx高阶的无穷小,求n的值。

【例20】当x0的无穷小量costdt,tantdt,sint3dt排列起

000x2x2x来，使排在后面的是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（ ）． （Ａ）,, （Ｂ）,, （Ｃ）,, （Ｄ）,,

题型七 求极限的逆问题

10

【例21】确定a.b.c使limx0

【例22】求limx0axsinx3xln1ttc,c0 dtbxf(x)sin6xf(x)6，求 0lim32x0xx

第三节 函数的连续性

1、连续及间断概念

定义1 设函数yf(x)在点x0的某一邻域内有定义, limf(x)f(x0),则称函数

xx0f(x)在点x0连续。

定义2 如果limf(x)f(x0)，则称f(x)在点x0左连续；如果

xx00xx00limf(x)f(x0)，则称f(x)在点x0右连续。

f(x)在点x0处连续f(x)在点x0处既左连续，又右连续。 连续函数在连续点处的极限等于函数值。

定义3 若函数f(x)在点x0处出现如下三种情况之一:(1) f(x)在点x0处无定义；(2) limf(x)不存在；(3) limf(x)f(x0),则称点x0为的f(x)间断点.

xx0xx0第Ⅰ类间断点： 若在间断点x0处f(x00),f(x00)均存在,则称x0为第Ⅰ类间断点。其中若f(x00)f(x00)f(x0),点x0称为f(x)的可去间断点;若

f(x00)f(x00),称x0为f(x)的跳跃间断点。

第Ⅱ类间断点： 若在间断点x0处f(x00),f(x00)至少有一个不存在,则称x0为第Ⅱ类间断点。其中若f(x00),f(x00)之中有一个为,点x0称为f(x)的无穷间断点。

11

2、 连续函数的性质

最值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。 有界定理：在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。

介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在这区间的端点取不同的函数值f(a)A及f(b)B,则对于A与B之间的任意一个数c,在开区间(a,b)内至少有一点,使得f()c(acb).

零点定理： 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即

f(a)·f(b)<0）,则在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点,即至少有一

个(ab)使f()0。

推论： 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。

题型八 判定函数的连续性与间断点

【例23】设f(x)和(x)有定义，f(x)为连续函数，且f(x)0，(x)有间断点，则

（A）[f(x)]必有间断点 （B）[(x)]2必有间断点； （C）f[(x)]必有间断点 （D）

2(x)f(x)必有间断点

(cosx)1/x,x0,在x0处连续，则a_____.. 【例24】已知f(x)x0a,

【例25】讨论f(x)x1ex1x的连续性并指出间断点类型.

题型九 与闭区间连续函数性质有关的题

【例26】设f(x)在[a,b]上连续,acdb.试证对任意的正数p,q,至少存在

12

一个[c,d],使pf(c)qf(d)(pq)f().

【例27】 求证：方程xpqcosx0恰有一个实根，其中p,q为常数，且0q1.

第二讲 一元函数微分学

第一节 导数与微分

一、导数

1、导数定义： f(x0)=limx0f(x0x)f(x0)f(x)f(x0) 。 limxx0xxx0左导数： f(x0)limx0f(x0x)f(x0)f(x)f(x0), limxx0xxx0f(x0x)f(x0)f(x)f(x0)。 limxxxxx00右导数: f(x0)limx0 若函数f(x)在点x0处可导,则f(x)在点x0一定连续;反之结论不成立。函数当且仅当f(x)在点x0处左可导、右可导，且f(x0)f(x0)。 f(x)在点x0处可导，

2、导数的几何意义和物理意义

导数的几何意义:导数f(x0)在几何上表示曲线yf(x)在点M处的切线斜率。

切线方程: yf(x0)f(x0)(xx0) ， 法线方程: yf(x0)1(xx0)f(x0)13

(f(x0)0)。

导数的物理意义:若质点沿直线作变速运动,其位移函数为s=s(t),则s(t)表示质点在t时刻的瞬时速度。 二、微分

1、微分的定义：设函数yf(x)在某区间I内有定义, x0及x0x在这区间内,如果函数的增量 yf(x0x)f(x0)Ax(x),其中A是不依赖x的常数,则称f(x)在点x0是可微的,而Ax叫做函数yf(x)在点x0相应于自变量增量x的微分,记作dyAx。

函数f(x)在点x可微的充要条件是f(x)在点x可导,且df(x)f(x)x。 2、微分的几何意义

表示yf(x)在点Px0f(x0)切线纵坐标的增量 3、 可导与可微及连续的关系 4、 一阶微分形式不变性

yf(u),u(x)dyf'(u)'(x)dxf'(u)du

三、求导方法

1、基本求导与可微公式（熟记） 2、四则运算 设函数uu(x)，vv(x)在点x可导则

(1) (uv)uv d(uv)dudv (2) (uv)uvvu d(uv)udvvdu

uvduudvuvuuv(v0) d()23) ()vv2vv3、复合函数求导

设yf(u),而u(x)且f(u)及(x)都可导，则复合函数yf[(x)]的导数为

dydydu

dxdudx4、隐函数求导

或y(x)f(u)(x)。

14

dy隐函数导数

dx的求法一般有三种方法：

(1)方程两边对x求导，要记住y是x的函数，则y的函数是x的复合函数。例如，

y2，lny，ey等均是x的复合函数。对x求导应按复合函数连锁法则做。

1yFx(x,y)dyFx(x,y)，Fy(x,y)分别表(2)公式法。由F(x,y)0知 其中，dxFy(x,y)示F(x,y)对x和y 的偏导数 (3)利用微分形式不变性

5、反函数求导

若f(x)可微，且在区间Ix上f(x)0，则反函数x(y)存在且在相应的区间Iy上可导，且 d((y))dy1。

df(x)dx6、参数方程求导

xx(t),x(t),y(t)可导且x(t)0,则 设函数yy(t),ddydydydty(t)d2yddydtdxy(t)x(t)x(t)y(t)3 dxdxx(t), dx2dxdxdx。 x(t)dtdt

7、 高阶导数公式

线性运算法则: [au(x)v(x)](n)au(x)(n)v(x)(n)。 莱布尼茨公式：若u(x),v(x)均n阶可导，则 (uv)（1）(ax(n)i(i)(ni)Cnuv,其中u(0)u,v(0)v。 i0n)(n)axlnna(a0)(n)n(ex)(n)ex

（2）

(sinkx)ksin(kxn)

215



（3）

(coskx)(n)kcos(kxn)

2nm(n)m-n(x)m(m-1)(m-n+1)x（4）

（5）

(lnx)(n)(1)(n1)(n1)!n x

2、常用等价的结论 ①若f(x)在xx0连续，limf(x)Af(x0)0,f'(x0)A

xx0xx0'f(x)'limAf'(x0)0,f''(x0)A ②若f(x)在xx0连续，xx0xx03、可导偶（奇）函数的导函数为奇（偶）函数

可导周期函数的导函数仍为相同周期的周期函数

4、常见不可导的情形 ⑴y

⑵ f(x)xx0g(x),g(x)在xx0连续，则f(x)在xx0可导g(x0)0

例：函数f(x)x2x2x3x有（ ）个不可导点 A、3 B、2 C、1 D、0

⑶f(x)在xa可导，f(a)0则f(x)在xa可导f'(a)0 ⑷f(x)在xa可导，f(a)0则f(x)在xa必可导

例、设f(x)在xa可导，则f(x)在xa不可导的充要条件是（ ） A、f(a)0,f'(a)0 B、f(a)0,f'(a)0 C、f(a)0,f'(a)0 D、f(a)0,f'(a)0

x 在x0不可导，yx13 在x0不可导

16

⑸设g(x)在xa可导，(x)在xa连续但不可导，则g(x)(x)在xa可导g(a)0

题型一 与导数定义有关的题

【例1】设f(x)可导， F(x)f(x)(1sinx)则f(0)0是F(x)在x0处可导的（ ） A、必要条件 B、充分条件

C、充分必要条件 D、既非充分也非必要条件

【例2】设f(0)0，则f(x)在x0点可导的充要条件为（ ） A、lim11f1coshlimf1eh存在 存在 B、2h0hh0h11limfhsinhlimf2hfhC、h02存在 D、存在 h0hh题型二 导数与微分的计算

3x2'2dyyf(),f(x)arctanx【例3】已知，则. 3x2dxx0【例4】设函数yy(x)由yxe1所确定，则

yd2ydx2x0.

x3t22t3d2y 确定，求.的值 【例5】 设yy(x)由方程组y2t0esinty10dx【例6】设函数y1x2sinx，求

y'

(1)n2nn!1(n)) 【例7】设函数y，则y(0)________.. (n12x33第二节 微分中值定理

一、连续函数的介值定理

1、(介值定理)若函数fx在a,b上连续,是介于fa与fb(或最大值M与最小值m之间的任一实数,则在a,b上至少一个,使得f.ab 2、(零点定理或根的存在性定理)设函数fx在a,b上连续,且fafb0,则在

17

a,b内至少一个,使得f0.ab

二、微分学中值定理

1、(费尔马定理)若函数f(x)满足条件：

(1)函数f(x)在x0的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有f(x)f(0x)或

f(x)f(x0)(2) f(x)在x0处可导。则有 f(x0)0

2（罗尔定理）设函数f(x)在[a,b]上满足三个条件:(1) f(x)在[a,b]上连续; (2) f(x)在(a,b)内可导;(3) f(a)f(b) ,则存在c(a,b),使f(c)0。 3（拉格朗日定理）设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则存在c(a,b),使f(c)f(b)f(a)。

ba拉格朗日定理的种种变形：

f(b)f(a)f(c)(ba),c在a,b之间； f(xx)f(x)f(c)x,f(xx)f(x)f(xx)x, c在x与xx之间；01.4(柯西定理) 设函数f(x)和g(x)满足条件:(1)在[a,b]上连续,(2)在(a,b)内可导,且g(x)0,则存在(a,b),使f()f(b)f(a)。 g()g(b)g(a)5（泰勒公式)定理1（拉格朗日余项）设f(x)在x0的邻域I内(n1)阶可导,那么对xI,至少存在一个使

f(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)nRn(x)

2!n!f(n1)()(xx0)n1 在x0与x之间. 其中 Rn(x)(n1)!定理2（皮亚诺余项）设f(x)在x0点n阶可导,那么

f(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)nRn(x)

2!n!

18

其中 Rn(x)(xx0)n, (xx0)．应熟记简单初等函数的泰勒公式:

x2xn1e1xexxn1(余项或(xn)),2!n!(n1)!xx31x2k1k12k1ksinxx(1)x(1)cosx(余项或(x2k)),3!(2k1)!(2k1)!x212kx2k1k1kcosx1(1)x(1)cosx(余项或(x2k1)),2!(2k)!(2k2)!(1)2(1)(n1)n(1x)1xxx2!n!(1)(n)(1x)n1(余项或(xn)),(n1)!nn1x2x3n1xnxln(1x)x(1)(1)(1x)n123nn1

(x1)(余项或(xn))题型三 微分中值等式的证明

【例8】设f(x)在0,3上连续，0,3内可导，且f0f1f23，

f(3)1证明：0,3使f'()0

【例9】已知f(x)具有二阶导数，且limx0fxx0,f10，证明：0,1使

f''()0

1【例10】设f(x)在0,1上连续，0,1内可导，且f(0)f(1)0，f()1

21证明：（1）,1使f()

2 （2）对任意实数，0,使f'()f()1

【例11】证明：若f(x)在a,b上连续，且0ab则a,ba,b内可导，

19

使

fbfabaaabb22f'32

题型四 微分中值不等式的证明

【例12】设eabe2，证明：ln2bln2a

【例13】设limx04(ba) 2ef(x)1，且f''(x)0证明：f(x)x x

第三节 一元函数微分学的应用

一、 切法线方程 ⑴切线

fxfx0f'(x0)xx0

1fxfx0xx0 '⑵法线fx0

二、函数单调性的判别

设函数f(x)在(a,b)区间内可导，如果对x(a,b)，都有f'(x)0（或f'(x)0），则函数f(x)在(a,b)内是单调增加的（或单调减少） 三、 函数的极值

20

①极值的定义：设函数f(x)在点x0的某邻域Ux0内有定义，如果对于去心邻域

U0x0内的任一x，有f(x)fx0(或f(x)fx0)就称f(x0)是函数的一个极大值

（或极小值）

②（取极值的必要条件）设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取极值，则f'(x0)0.③（取极值的第一充分条件）设函数f(x)在x0的某一邻域内可微，且f'(x0)0（或

f(x)在x0处连续，但f'(x0)不存在.）

(1)若当x经过x0时，f'(x)由“+”变“-”，则f(x0)为极大值； (2)若当x经过x0时，f'(x)由“-”变“+”，则f(x0)为极小值； （3)若f'(x)经过xx0的两侧不变号，则f(x0)不是极值.

④(取极值的第二充分条件)设f(x)在点x0处有f''(x)0，且f'(x0)0，则 当f''(x0)0时，f(x0)为极大值；当f''(x0)0时，f(x0)为极小值. ⑤最值

4函数的凹凸性与拐点

1、（凹凸性的判别定理）若在I上f''(x)0（或f''(x)0），则f(x)在I上是凸的（或

凹的）.

2、曲线上凹凸性的转折点(x0,f(x0))为拐点

①(拐点的判别定理1)若在x0处f''(x)0，（或f''(x)不存在），当x变动经过x0时，

f''(x)变号，则(x0,f(x0))为拐点.

②(拐点的判别定理2)设f(x)在x0点的某邻域内有三阶导数，且f''(x)0，

f'''(x)0，则(x0,f(x0))为拐点

21

五、曲线的渐进线

f(x)，或limf(x)，则①铅直渐近线 若xlimxxx00xx0称为yf(x)的

铅直渐近线.

②水平渐近线 若xlimf(x)b或limf(x)b则yb称为函数yf(x)的水平渐近线. x③斜渐近线 若alimx近线

6方程根的研究 函数的零点问题

f(x),blim[f(x)ax]，xb称为yf(x)的斜渐则yaxx①存在性 ②唯一性 ③根的个数 7曲率（数学一、二）： K点x处的曲率半径。

1|y| ，曲率的倒数R称为曲线yy(x)在23/2K(1y)题型五 求切法线方程

【例11】设f(x)为可导的奇函数，且limx0ln1sin2xf12xf1x2，求曲线yf(x)在

x1处法线的斜率

题型六 函数特性的讨论

【例14】已知f(x)在x0的某个邻域内连续，且f(0)0,limf(x)2，则在

x01cosx点x0 处f(x) （A）不可导. （B）可导，且f(0)0. （C）取得极大值. （D）取得极小值.

'flim1问f(0)是否为极值？f(x)【例15】设二阶连续可导，(0)0，x0ln(1x2)f''x0,f(0)是否为拐点？

22

题型七 求曲线的渐进线

1xyln(1e)的渐进线？

【例17】求曲线

x

2xx1xyearctan【例18】求曲线x1x2的渐进线

21

题型八 方程根的讨论

【例19】设f(x)在a,内连续f(a)0，在a,内f'(x)k0,k为常数，

fa证明：方程f(x)0在a,ak

内有且仅有一实根 

【例20】讨论曲线y4lnxk与y4xln4x交点的个数

第三讲 不定积分

一、不定积分的概念

定义 设f(x)是定义在某区间I上的函数.如果存在函数F(x),使得在I内任何一点x都有F(x)f(x), 则称F(x)为f(x)在I上的原函数。f(x)原函数的全体

F(x)C称为f(x)在区间I上的不定积分,记为f(x)dxF(x)C(其中C为任

意常数)。

二、不定积分的性质 1、线性性质

23

af(x)bg(x)dxaf(x)dxbg(x)dx 2、不定积分与微分的关系

①[f(x)dx]'f(x) 或微分：df(x)dxf(x)dx ②F'(x)dxF(x)C或 dF(x)F(x)C（C是任意常数） 3、基本求导公式

1k1xdxk1xC （k1）

k1111dx2xCdxC  dxlnxC x2xxxxaxadxlnaC(a0,a1)xxedxeC cosxdxsinxCsinxdxcosxC

1122dxcscdxsecxdxtanxC 2sinxxdxcotxC cos2x1sinxdxcscxdxlncscxcotxC1cosxdxsecxdxlnsecxtanxC

secxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxC tanxdxlncosxCcotxdxlnsinxC

dx1xarctanCa2x2aadx1x2arctanxC

dxax22arcsinxCadx1x2arcsinxC

dx1axlna2x22aaxCdx11x1x22ln1xC

dxx2a2lnxx2a2C

四、积分法

24

1、第一换元积分法（凑微分法）：设f(u)具有原函数F(u)，且u(x)连续可导，则有 f[(x)](x)dxF[(x)]C。

常见的几种凑微分的积分法：

1(1)f(axb)dxf(axb)d(axb);a1nn(2)f(axnb)xn1dxf(axb)d(axb);na1dx11(3)f(ex)exdxf(ex)dex;(4)f2fd;xxxxdxdx(5)f(lnx)f(lnx)d(lnx);(6)f(x)2f(x)d(x);xx(7)f(sinx)cosxdxf(sinx)d(sinx)(8)f(cosx)sinxdxf(cosx)d(cosx);(9)f(tanx)sec2xdxf(tanx)d(tanx);(10)f(cotx)csc2xdxf(cotx)d(cotx);(11)f(arcsinx)2

1x f(arctanx)(12)dxf(arctanx)d(arctanx).21xdxf(arcsinx)d(arcsinx);例：xexdx 例：求

2、第二换元积分法： 设x(t)单调可导，且(t)0。若

11xlndx 1x21xf[(t)](t)dxF(t)C则有 f(x)dxF[数。

常见的换元法 ⑴三角代换

形如：a2x2令xasint a2x2令xatant x2a2令xasect 三角代换还原：如：xatant

25

1(x)]C,其中t1(x)表示反函

x ax xarctan a2x2 x

ax tarctan

a a ⑵倒代换

tant11x dx2dt

tt一般地：若分母中关于x的次数r，减分子中关于x的次数s，有rs2，则可考虑用倒代换。 ⑶去根号代换

axb令axbt

⑷其他变换

tex tarcsinx ttanx„„

22ax例：求Idx 4x3、分部积分法： 设u(x),v(x) 具有一阶连续导数，则有 u(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x)。 关键是：u、v的选取

一般规则是：容易积分的选为v，容易求导的选为u。 1°pn(x)eaxdx pn(x)sinaxdx pn(x)cosaxdx

pn(x)是关于是x的n次多项式，取upn(x)

2°eaxsinbxdx eaxcosbxdx 取ueax或sinbx，cosbx，但必须坚持到底

ax'1eesinbxdx2ab2eaxaxsinbx'

sinbx3°pn(x)lnxdx pn(x)arcsinxdx pn(x)arctanxdx 取ulnx arcsinx arctanx

26

例：xexdx excos2xdx

5、 几种特殊类型函数的积分 ①有理函数积分

(1)(2)AdxAln|xa|C xaAA1dxC(n1) nn1(xa)n1(xa)令x+udxdu222n 224qpp4qpn(ua)a2[(x)2]424pdx(3)2(xpxq)n(4)xa11pdx（p24q0） dx(a)2n2n12n(xpxq)2(n1)(xpxq)2(xpxq)

②简单无理函数的积分

③三角函数有理式的积分

题型一 基本积分运算

【例1】求I 【例2】

【例3】求Iarcsin

【例4】求Ixexe1xdx x4xdx_________.

(2x)1xxdx 1xdx

27

【例5】求 I

【例6】求I

x21【例7】求I4dx

x1lnxdx 1xx1dx

x(1xex)

【例8】求I

【例9】计算

dx.

sin2x2sinx1dx xx9

题型二 与不定积分概念及性质相关的题

【例10】若xf(x)dxarcsinxC，求I28

1dx f(x)

【例11】设f'(ex)sinx，求f(x)

x20x1【例12】设fx，求fx的不定积分

2x1x2

第四讲 定积分与反常积分

Ⅰ、主要内容

29

一、定积分的概念与性质

1、定义 设函数f(x)在区间[a,b]上有界, 定积分f(x)dxlimf(i)xi。

abn0i12、定积分性质:

设f(x),g(x)在a,b上可积，则定积分有下列性质： （1）abf(x)dxf(x)dx

ba（2）adxba

（3）akf(x)dxkaf(x)dx

（4）线性a[k1f(x)k2g(x)]dxk1af(x)dxk2ag(x)dx （5）区间可加af(x)dxaf(x)dxcf(x)dx

（6）比较定理 若f(x)g(x)，x[a,b]则af(x)dxag(x)dx. 推论；1、若fx0，x[a,b]，则af(x)dx0;

2、|af(x)dx|a|f(x)|dx，ab

（7）估值定理 如果fx在区间a,b最大值与最小值分别为M,m，则

bbbbbbcbbbbbbbm(ba)f(x)dxM(ba)

ab（8）积分中值定理如果fx在区间a,b连续，则在a,b至少存在一点，使

ba1bfxdx 为函数fx在区间a,b的平均值 fxdx(ba)f()，常称aba（6）变限积分的求导

若f(x)在[a,b]上连续，当x[a,b]时，函数u(x),v(x)可导，且u(x),v(x)的值域不

超

出

[a,b]，则

F(x)u(x)v(x)f(t)dt在上可导，且

F(x)f(u(x))u(x)f(v(x))v(x)。

注意：被积函数中若含有参数，一定要将参数换到积分限上，或移到积分号外。

二、定积分的计算方法

30

1、(牛顿-莱布尼茨公式) 设f(x)在[a,b]上连续, F(x)是f(x)的一个原函数,则

baf(x)dxF(x)aF(b)F(a)。

b2、换元积分法

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数x(t) 满足 1º()a,()b；

2º(t)在[,](或[,])上具有连续导数；

3º当t[,](或,)时xa,b 则 f(x)dx=f[(t)](t)dt.

ab3、分部积分公式

设（ux），（vx）在［a，b］上具有连续导函数u'(x),v'(x),则

abau(x)v'(x)dxu(x)v(x)|bv(x)u'(x)dx

ab三、反常积分：

定义1(无穷区间上的反常积分) 设函数f(x)在区间[a,)上连续,反常积分

aaf(x)dxlimbbabf(x)dx。

类似地，可定义f(x)dxlim 若f(x)dx 与aaabf(x)dx。

aaf(x)dx均收敛,则 f(x)dx=f(x)dx+ xb0 f(x)dx。

定义2(无界函数的反常积分) 设函数f(x)在(a,b)内连续, limf(x),反常积分

babaf(x)dx=limbb0af(x)dx。

类似地，可定义f(x)dx=lim0af(x)dx。

cbac设f(x)在[a,c),(c,b]内连续, limf(x),若f(x)dx,f(x)dx均收敛时,

xc则广义积分f(x)dx=f(x)dxf(x)dx。

aacbcb

3、 反常积分的计算

反常积分=定积分+求极限

31

Ⅱ重要的公式与结论

1、有关奇、偶函数与周期函数的定积分性质：设a0.若f(x)在[-a,a]上连续,则有 aa0,f(x)dx[f(x)f(x)]dxa020f(x)dx,aaaaf(x)为奇函数，

f(x)为偶函数，2、(1)设f(x)在[a,a]上连续，则a（2）(1)设f(x)在[0,a]上连续，则

3、周期函数的积分性质

f(x)dx[f(x)f(x)]dx

00f(x)dx1a fxfaxdx20若f(x)在(,)上连续且以T为周期,则有 4、定积分的几何意义

11axdxa2 0422aTaf(x)dxf(x)dx

0Ta2xx2dx4

0n1n31..,当n为偶数nn2225、（1）2sinnxdx2cosnxdx 00n1.n32.1,当n为奇数nn23(2)0xf(sinx)dx20f(sinx)dx



题型一 基本概念题

【例1】设f(x)

1213，求xfxdxfxdx 2001x

题型二 利用定积分定义的求极限

【例2】求极限lim(n111) n1n2nn

【例3】求lim1n(n1)(n2)(nn)

nn32

题型二：定积分的计算

基本方法：1°牛—莱公式 2°换元积分 3°分部积分

常用到：几何意义、奇偶性、周期性、三角定积分公式

1【例4】计算I0xdx(2x)1x22

1【例5】设f'(x)arcsin(x1)2，f(0)0，求0f(x)dx

【例6】求I

n【例7】求I01sin2xdx

112x2sinx11x2dx

11ex【例8】设f(x)11x2

x0x03，求I1f(x2)dx

33

【例9】求I0xsinnxdx

exsin4xdx 【例10】求I2x1e2

【例11】求I02

sinxdx

sinxcosx题型三 与变限积分有关的题目

12x【例12】已知f(x)连续，且0tf(2xt)dtarctanx2，f(1)1，求1f(x)dx

2

【例13】设F(x)xx2esintsintdt，则F(x)_____

（A）为正常数 （B）为负常数 （C）恒为0 （D）不为常数

xsint【例14】设f(x)0dt，求I0f(x)dx

t

34

题型四 反常积分的计算

【例15】计算1

【例16】求I

3212arctanxdx x21xx2dx

题型五 定积分有关的证明题

一定积分等式的证明

常用方法：1°变量替换

将等式一边的定积分中的积分变量换u，观察两边定积分的不同点。 1若一段被积函数为f(x)，另一段被积函数为f(u)，则令x(u) ○

2若两端被积函数相同，由积分限的变化引入变换 ○

2°若一端积分中含有f'(x)、f''(x)„„一般先用分部积分处理

3°将定积分中某一积分限换为x，从而将定积分等式化为函数等式证明。 【例17】证明e

【例18】设f(x)在a,b上有连续二阶导数， 证明：fxdxabxxtt20dte121xxt2440edt

11bbafafbaxaxbf''xdx 22

【例19】设f(x)可导，且单增，f(0)0，f(a)b，g(x)为f(x)的反函数，证

35

明：fxdxgxdxab

00ab

２、定积分不等式的证明

方法：1°利用定积分性质（比较、估值） 2°变量代换 3°积分中值定理

4°变上限积分 ☆（积分不等式化为函数不等式） 【例20】设f(x)在1,上连续且单调减小， 证明：

【例21】设f(x)在[a,b]上可导，且f(a)0，0f'(x)1

bb证明：(af(x)dx)2af3(x)dx

n11fxdxfkf1fxdx （n为自然数）

k11nn

第四节 定积分应用

一几何应用

1平面域的面积：（直角；极坐标；参数方程） 2体积：

1）已知横截面面积的体积 VS(x)dx

ab

36

2）旋转体的体积 Vxf(x)dx； Vy2xf(x)dx

aab2b3曲线弧长（数三不要求）

1）C:yy(x),axb s1y'2dx

abxx(t)2）C: t sx'2y'2dx

yy(t)3）C:(),  s4旋转体侧面积（数三不要求）

2'2d

S2f(x)1f'2(x)dx

ab二、物理应用（数三不要求）

1压力； 2变力做功； 3引力.

题型六 定积分的应用

【例22】设f(x)(1t)dt (x1)，求曲线yf(x)与x轴所围图形的面积

1x

【例23】过坐标原点作ylnx的切线，该切线与ylnx，x轴所围图形为D ⑴求D的面积

⑵求D绕xe旋转所得立体体积

37

第五讲 多元函数微分学

第一节 多元函数的极限与连续

1.多元函数的定义：

设D是平面上的一个非空点集，如果存在一个对应规则，对于每一个点

P(x,y)D，按照这个规则，变量z总有唯一确定的值与之对应，则称f是定义

在D上的一个二元函数（或点P的函数），记作 zf(x,y)或zf(P)点集D称为该函数的定义域，x,y称为自变量，z称为因变量，数集

{z|zf(x,y),(x,y)D}称为该函数的值域.

类似地可得到三元函数与n元函数的定义.

2.二元函数的几何意义：

二元函数zf(x,y),(x,y)D的图像是三维空间Oxyz的一个曲面，定义域D就是

x22y21的图形是上半椭球该曲面在xOy面上的投影.如函数z1x22y2，面.多于二元的函数，无几何意义.

3.二元函数的极限：

设二元函数zf(x,y)在区域D上有定义，点p0(x0,y0)D或为D的边界上的一点，如果对任意给定的0，总0，只要点p(x,y)D满足

0|PP0|2(xx0)2(yy0)22， 就有|f(P)||f(x,y)A|，

则称A为函数f(x,y)当P(x,y)（在D上）趋于p0(x0,y0)时的极限，记作

(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A或limf(P)A或 limf(x,y)A.

PP0xx0yy0注1 由定义，所谓limf(P)A是指P在D内以任意方式趋于P0时f(P)趋于A.

PP0如果P按两种不同的方式趋于P0时，f(P)趋于不同的值，或有一种方式PP0时

38

则可断言二元函数f(P)当PP0时极限不存在.这是判断二元f(P)不趋于定值，

函数极限不存在的有效方法.但是判断极限存在就不是那么方便了，一般要用定

义.

4.二元函数的连续性

设函数zf(x,y)在p0(x0,y0)的某一邻域内有定义,若

pp0limf(p)f(p0),即limf(x,y)f(x0,y0)，

xx0yy0则称zf(x,y)在p0(x0,y0)连续.

如果f(x,y)在开区域（闭区域）D的每一点都连续，则称f(x,y)在D上连续. 注：由连续的定义可知，f(x,y)在某点P0连续，则函数在该点必有定义.若函数在点P0不连续，则称P0为该函数的间断点.对二元函数来说，间断点可以成一条曲线，所以不讨论间断点的分类. 5.连续函数的性质

（1)多元函数经有限次的和、差、积、商（分母不为零）及复合得到的函数仍是连续的.

（2） 设多元函数在有界闭区域D上连续，则有下述性质： 1） 有界：在D上必有界；

2） 最值：在D上必存在最大值与最小值；

3)介值：在D上必能取得函数最大值与最小值之间的任何值；

4)零点：若函数在D上能取到正值与负值，则在D上必存在使该函数为零的点.

题型一 与重极限概念有关的题

常用方法

1)利用极限性质(四则运算法则，夹逼原理)；

2)消去分母中极限为零的因子(有理化，等价无穷小代换)； 3)利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量. 【例1】 求下列极限

x2y21)lim x0xyy01x2y212)lim 22x0xyy0

39

xy2sin(xy)3)lim2 4x0xyy0

【例2】证明下列重极限不存在

xy2xy1)lim2 2)lim2

x0xy4x0xy2y0y0

第二节 多元函数的偏导数与全微分 一、偏导数与全微分的概念

1、二元函数的偏导数：

设函数zf(x,y)在点p0(x0,y0)的某邻域内有定义，当y固定在y0，而x在x0处取得增量x时，如果limx0f(x0x,y0)f(x0,y0)存在，则称之为zf(x,y)在

xp0(x0,y0)处的对x的偏导数.

记作

zx(x0,y0)，

fx(x0,y0)，zx(x0,y0)或fx(x0,y0).

即fx(x0,y0)limx0f(x0x,y0)f(x0,y0)

x类似地，zf(x,y)在点p0(x0,y0)处对在点y的偏导数定义为

fy(x0,y0)limy0f(x0,y0y)f(x0,y0).

y如果函数zf(x,y)在区域D的每一点处均存在偏导数，则偏导数仍是x,y的二元函数，记为

zzff,,,或fx(x,y),fy(x,y). xyxy2．偏导数的几何意义（简单了解）

3．高阶偏导数：如果函数zf(x,y)在区域D内的偏导数fx(x,y)与fy(x,y)仍具有偏导数，则称它们的偏导数为函数zf(x,y)的二阶偏导数，记作

z2zz2z(x,y)， (x,y)，(）＝＝fxy(）＝2＝fxxyxxyxxx

40

z2zz2z(x,y)，(）＝2＝fyy(x,y). (）＝＝fyxxyyxyyy2z2z2z2z其中与称为二阶混合偏导数. 若偏导函数和都在点（x0，y0）

xyyxxyyx2z2z处连续，则必有|(x,y)|(x,y).

xy00yx00类似地，可以定义更高阶的偏导数，例如

2z3z(x,y). (2）＝2＝fxxyyxxy4.二元函数的全微分：

若函数zf(x,y)在点p0(x0,y0)的某邻域内有定义，当f(x,y)在p0(x0,y0)处的全增量zf(x0x,y0y)f(x0,y0) 可表示为 zAxByo(),

其中A,B是与x,y无关的常数, o()是比(x)2(y)2高阶的无穷小,则线性主部AxBy叫做zf(x,y)在p0(x0,y0)处的全微分,记作

dzAxBy=AdxBdy.

在可微条件下，Azzzz，B，从而有计算dz的公式 dzdxdy.

yxyx注1（必要条件）：若f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则zf(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数fx(x0,y0)，fy(x0,y0)都存在，且有dzfx(x0,y0)dxfy(x0,y0)dy. 注2（充分条件）：若f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx(x0,y0)，fy(x0,y0)存在且连续，

注3：f(x,y)在点(x0,y0)处可微

lim0z[fx(x0,y0)xfy(x0,y0)y]0，

其中(x)2(y)2.

41

12222(xy)sin,(xy0)22xy【例3】函数f(x,y)

0,(x2y20) 则f(x,y)在（0，0）处 （ ） （A）连续，偏导数存在且可微；

（B）连续，偏导数不存在且不可微； （C）不连续，偏导数存在且可微； （D）不连续，偏导数不存在且不可微.

5.关于函数连续，偏导数存在，函数可微之间的关系：

若zf(x,y)在P0(x0,y0)可微，则该函数在P0一定连续，且偏导数存在；反之，若函数在P0连续，则偏导数不一定存在，函数在P0不一定可微.但是当偏导数在P0连续时，则函数在P0点可微.如下图： 连 续 偏 导 存 在 偏 导 存 在 且 连 续 可 微

二、偏导数与全微分的计算

1．复合函数求导法则

（1）设uux函数zf(x,y)在对应点(y,)和vv(x,y)在点(x,y)处偏导数存在，则复合函数zf((x,y),(x,y))在点(x,y)处偏导数存在，(u,v)具有连续偏导数，且

zzuzvzzuzv+. +，xuxvxyuyvy（2）设zf(u,v,w)有连续偏导数，u(x,y),v(x,y)，w(x,y)偏导数存在，则

zfufvf， +xuxvxxzfufvf+. yuyvyy注1：多元函数的复合函数求偏导数不论复合关系多复杂，其基本原则是：有几个中间变量求出来就有几项，每项先对中间变量求偏导数再乘以中间变量对自变

42

量的偏导数.

注2：抽象或半抽象复合函数求二阶偏导数是重点又是相对难点，应注意f(u,v)对

u,v求完偏导后一般还是u,v的函数.

5．微分形式不变性

设zf(u，v)可微，u(x,y)与v(x,y)也均可微，并设可构成复合函数

zf((x,y),(x,y))，则仍有公式

dzffdu+dv， uv此称（一阶）微分形式不变性.即不论u,v是中间变量还是自变量，微分公式的形式是一样的.

注：利用微分形式不变性求微分，甚至求偏导数，都有方便之处. 6．隐函数的求导公式

（1）由方程确定的隐函数的导数

设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某个邻域内具有连续的偏导数，且

F(x0,y0,z0)0，Fz(x0,y0,z0)0，则方程F(x,y,z)0在点(x0,y0,z0)的某个邻域

内唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数zf(x,y)，它满足

z0f(x0,y0)，并有

FyFxzz ，.

yxFzFz注：当Fx(x0,y0,z0)0或Fy(x0,y0,z0)0时，可分别确定隐函数x(y,z)或

y(x,z).

F(x,y,u,v)0（2）设方程组确定了隐函数uu(x,y)和vv(x,y)，则通过等式

G(x,y,u,v)0uvFFF0uvxxx两边同时对x,y求偏导，注意到u,v是x,y的函数，有，

uvGGGv0xuxx

43

当

FuFvGuGv从此方程组中可求出0时，

uv方程两端对y,.完全类似，

xx求偏导，可求出

uv,. yy题型二 讨论连续性、可导性、可微性

xy,(x,y)(0,0)22【例4】判断函数f(x,y)xy的连续性.

(x,y)(0,0)a,【例5】考虑二元函数下面四条性质： ①f(x,y)在点(x0,y0)处连续

②f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数连续 ③f(x,y)在点(x0,y0)处可微

④f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数都存在，结果是 (A)②③①

(C) ③④①

(B) ③② ① (D) ③①④

【例6】二元函数f(x,y)在点(0,0)处可微的一个充分条件是 (A)

(x,y)(0,0)lim[f(x,0)f(0,0)]0

(B) limx0f(0,y)f(0,0)f(x,0)f(0,0)0 0且limy0yxf(x,y)f(0,0)xy22(C)

(x,y)(0,0)lim0

(D) lim[fx(x,0)fx(0,0)]0，且lim[fx(0,y)fy(0,0)]0

x0y0

题型三 求偏导数与全微分

1、求具体点处的偏导数与全微分

44

x2sin(x2y2),(x,y)(0,0)2【例7】设f(x,y)xy，求fx(0,0)和fy(0,0).

(x,y)(0,0)0,【例8】设f(x,y).

【例9】设f(x,y,z)z2x3y1xyxy22，求fx(0,0)和fy(0,0).

x，则df(1,1,1)______ y2、 求已给出具体表达式函数的偏导数与全微分 【例10】 设z(1x2y2)xy，求

zz及. yx3、含有抽象函数的复合函数偏导数与全微分

2zz【例11】设zf(xy,xy)，求，，其中f(u,v)有二阶连续偏导数.

xyx22【例12】设函数f(u,v)由关系式f[xg(y),y]xg(y)所确定，其中函数g(y)可

2f微，且g(y)0，则_____.

uv4、隐函数的偏导数与全微分

【例13】设zz(x,y)是由方程zezxy所确定，求

zz和. yx【例14】设uf(x,y,z)有连续一阶偏导数，zz(x,y)由方程xexyexzex所确定，求du.

题型三 已知偏导数反求函数关系或参数

2z【例15】若函数zf(x,y)满足22，且f(x,1)x2，又fy(x,1)x1，则

yf(x,y)等于

(A)y2(x1)y2 (C)y2(x1)y2

(B) y2(x1)y2 (D) y2(x1)y2

45

2z1，且当x0时，zsiny；当y0时，zsinx，则【例16】已知

xyz(x,y)____

【例17】已知axy3y2cosxdx1bysinx3x2y2dy是某一函数的全微分， 则a,b取值分别为

(A)-2和2 (B)2和-2 (C)-3和3 (D)3和-3

第三节 多元函数的极值与最值

1.无条件极值

设函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义，如果存在一个邻域在此邻域内都有

f(x,y)f(x0,y0)（或f(x,y)f(x0,y0)）

则称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极大值（或极小值），点(x0,y0)称为函数，极大值与极小值统称为极值，使函数取得极f(x,y)的极大值点（或极小值点）值的点(x0,y0)称为极值点. 2. 极值的必要条件：

如果函数f(x,y)在P0(x0,y0)处偏导数都存在，且取得极值，则

fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0.

3. 极值的充分条件：

设函数zf(x,y)在P0(x0,y0)某邻域内连续,且有二阶连续偏导数,又

(x0,y0)，Cfyy(x0,y0). (x0,y0),Bfxyfx(x0,y0)fy(x0,y0)0，记Afxx则

(P0)0时, f(x,y)在P0取极大值; (1)当(ACB2)P00,fxx(P0)0时, f(x,y)在P0取极小值; (2) 当(ACB2)P00,fxx(3)当(ACB2)P00时, f(x,y)在P0不取极值;

46

(4) 当(ACB2)P00时,不能判断f(x,y)是否在P0取极值. 4. 最值

设函数zf(x,y)在区域D上有定义，如果存在点(x0,y0)D，使对一切

(x,y)D，均有f(x,y)f(x0,y0)（或f(x,y)f(x0,y0)）则称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得最大（或小）值f(x0,y0)，点(x0,y0)称为函数f(x,y)的最大值（或

小）点，最大值与最小值统称为最值，使函数取得最值的点(x0,y0)称为最值点. 注：极值（点）与最值（点）的区别于联系，与一元函数中所说的类似． 5．条件极值：目标函数uf(x,y,z)在约束(x,y,z)0下的极值称为条件极值. 6．拉格朗日乘子法：设函数f(x,y,z)，(x,y,z)在区域D内可微.欲求 uf(x,y,z) 在约束条件 (x,y,z)0，

下的极值的必要条件，作F(x,y,z,)f(x,y,z,)(x,y,z,)， 问题转化为求F对4个变量x,y,z,,的无条件极值的必要条件.即令

F(x,y,z,,)f(x,y,z)(x,y,z)0,xxxFy(x,y,z,)fy(x,y,z)y(x,y,z)0,解出(x0,y0,z0,0)，相应的(x0,y0,z0)即Fz(x,y,z,)fz(x,y,z)z(x,y,z)0F(x,y,z,,)(x,y,z,)0.为在约束条件0下u(x0,y0,z0)为极值的必要条件.

7．简单应用题中的最值问题的解题方法

（1）建立目标函数及相应的定义域D，如果有约束条件，也应同时写出； （2）求出D内部的驻点（有约束条件时，可用拉格朗日乘子法求出驻点），如果驻点唯一；

（3）按实际问题检查，如果最大（小）值必定存在，并且最大（小）值必定在D的内部.

在上述“如果”都成立时，则此唯一驻点处的函数值必为最大（小）值．

题型四 极值的概念题

【例18】设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)处取极小值，则下列结论正确的是

47

(A)f(x0,y)在y0处导数大于零. (B)f(x0,y)在y0处导数等于零. (C)f(x0,y)在y0处导数小于零. (D)f(x0,y)在y0处导数不存在. 【例19】设zf(x,y)在点(0,0)处连续，且limf(x,y)1，则

x0sin(x2y2)y0(A)fx(0,0)不存在. (B)fx(0,0)存在但不为零. (C)f(x,y)在点(0,0)处取极小值.(D)f(x,y)在点(0,0)处取极大值. 【例20】已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个领域内连续，且limx0y0f(x,y)xy1(x2y2)2

(A)点(0,0)不是f(x,y)极值点 (B)f(x,y)在点(0,0)处取极大值. (C)f(x,y)在点(0,0)处取极小值. (D)根据条件无法判断(0,0)是否为极值点

题型五 求无条件极值

【例21】求由方程x2y2z22x2y4z100所确定函数zz(x,y)的极值

题型六 条件极值与最值

【例22】 求函数f(x,y)x2y23在条件xy10下的极值.

【例23】 求函数zx2y(4xy)在直线xy6，x轴和y轴所围成的区域D上的最大值和最小值.

48

第六讲 二重积分

1．二重积分的定义：

设D是平面Oxy上的有界闭区域，f(x,y)是定义在D上的有界函数，f(x,y)在D上的二重积分 f(x,y)dDdeflimf(i,i)i

d0i1n 这里D被分割为n个小区域i(i1,2,,n), d是i的直径，而D

imaxdi,(i,i)是在小块i中任取的点(i1,2,,n)．

i2．二重积分的存在性：

（1）有界闭区域D上的连续函数必可积；

（2）设f(x,y)在平面有界闭区域D上连续,或f(x,y)在平面有界闭区域D上有界,且它的不连续点仅落在有限条光滑曲线上,则f(x,y)d存在.

D 3．二重积分的性质：

设函数f(x,y), g(x,y)在有界闭区域D上可积,则有

49

(1)dA,其中A为区域D的面积；

DBg(x,y)d，其中A,B是(2)线性性质：[Af(x,y)Bg(x,y)]dAf(x,y)dDDD常数；

(3)对区域的可加性：f(x,y)df(x,y)df(x,y)d,其中DD1D2；

DD1D2(4)比较性质：设在D上若有f(x,y)g(x,y),则

f(x,y)dg(x,y)d；

DD特殊地有|f(x,y)d||f(x,y)|d；

DD(5)设M,m分别是f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值,A是D的面积,则有 mAf(x,y)dMA；

D(6)积分中值定理：设f(x,y)在有界闭区域D上连续,则至少存在一点(,)D,使f(x,y)df(,)A, 其中A是D的面积；

D(7)奇偶对称性：若积分区域D关于y轴对称，被积函数f(x,y)关于变量x具有奇偶性，则

D0f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdyD{x0}f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)；

若积分区域D关于x轴对称，被积函数f(x,y)关于变量y具有奇偶性，则

0f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdyD{y0}f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y).

D3．二重积分计算： 直角坐标系下：

若区域D为X型，即D:axb,y1(x)yy2(x)，则

f(x,y)dxdydxDaby2(x)y1(x)fx,ydy；

若区域D为Y型，即D:cyd,x1(y)xx2(y)，则

50

f(x,y)dxdydyDcdx2(y)x1(y)fx,ydx.

极坐标系下：

设极点远离积分域，即D:,r1()rr2()，则 f(x,y)df(rcos,rsin)rdrd dDDr2()r1()F(r,)rdr

其中F(r,)f(rcos,rsin)；

极点在积分域的边界上，即D:，0rr2()，则有 f(x,y)ddDr2()0f(rcos,rsin)rdr;

极点在积分域的内部，即D:02，0rr2()，则有 f(x,y)ddD02r2()0f(rcos,rsin)rdr.

.

题型一 与二重积分概念和性质有关的题

【例1】设I1cosx2y2d,I2cos(x2y2)d,I3cos(x2y2)2d,

DDD其中D{(x,y)|xy1},则 (A) I3I2I1

(B) I1I2I3

(C) I2I1I3

(D) I3I1I2

22【例2】设I1x2y21(x2y2)d,I2(B) I2I3I1

xy12xyd,I3xy1(x2y2)d,则

(A) I1I2I3

(C) I3I1I2 (D) I3I2I1

题型二 更换二重积分的次序

【例3】更换下列二重积分的次序

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1) Idy012y2yf(x,y)dx

2) Idy114001y2yyf(x,y)dx

f(x,y)dxdyf(x,y)dx

121412y3) Idy

【例4】累次积分2d0cos0f(cos,sin)d可写成

(B)

(A) (C)

dy01yy20f(x,y)dx

dy011y201f(x,y)dx

xx20dx0110f(x,y)dy

(D)

dx0f(x,y)dy

题型三 二重积分的基本计算方法

【例5】计算Dsinxd,其中D由yx2和yx围成. x【例6】计算x2y2dxdy,其中D由曲线x2y22ay(a0)所围成

D

【例7】计算ydxdy,其中D由x2,y0,y2以及曲线x2yy2所围成.

D

题型四 利用对称性计算二重积分

【例8】计算x[1yf(x2y2)]d,其中D是由yx3,y1,x1围成的区域,

Df(u)为连续函数.

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题型五 分段函数二重积分的计算

【例9】计算x2y21d,其中D为(x,y)0x1,0y1D

53