小学生应用题大全

盈亏问题........................................................................................................................................... 3 行程问题........................................................................................................................................... 5

相遇问题 ................................................................................................................................... 5

简单相遇 ........................................................................................................................... 5 路程、速度差 ................................................................................................................... 9 比例行程 ................................................................................................................................. 12

环形跑道 ............................................................ 14 直线二次相遇 ........................................................ 16 三者往返相遇 ........................................................ 19 追及问题 ................................................................ 21

简单追及 ............................................................ 21 环形追及问题 ........................................................ 24 综合行程 ................................................................ 26 平均速度 ................................................................ 30 平均数 ..................................................................... 31 列车问题.................................................................... 32 行船问题.................................................................... 37 工程问题.................................................................... 39

存款利率问题 ................................................................ 53 溶液浓度问题 ................................................................ 55 最值问题.................................................................... 58

运费.................................................................... 58 购物.................................................................... 60

阶段收费 ................................................................ 61 购票.................................................................... 65 “牛吃草”问题 .............................................................. 67 正反比例问题 ................................................................ 73 比例分配问题 ................................................................ 76 鸡兔同笼问题 ................................................................ 78 抽屉原则问题 ................................................................ 84 公约公倍问题 ................................................................ 86 组合推理问题 ................................................................ 图形面积.................................................................... 90 组合图形的周长和面积 ....................................................... 101 立体图形................................................................... 104 简便运算................................................................... 108

盈亏问题

【含义】 根据一定的人数,分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈)，一次不足（亏）,或两次都有余，或两次都不足,求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。

【数量关系】 一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有： 参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差 如果两次都盈或都亏,则有：

参加分配总人数＝（大盈－小盈)÷分配差 参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差

【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式.

例1 给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小朋友?有多少个苹果?

例2 修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天;如果每天修300米，修完全长仍得延长4天.这条路全长多少米？

例3 学校组织春游,如果每辆车坐40人,就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车?多少人？

4.学校组织春游，学生住店时如果每间房住4人，还有20人没房间住，如果每间房住8人，那么有一间房只住4人，问一个有多少人？

3

5。把一包水果糖分给一群小孩，每人5颗，还剩16颗，若每人7颗则差12颗。这群小孩有多少人？这包水果糖有多少颗？

(1) 小孩有多少人？

(2) 水果糖有多少颗？

4

行程问题

相遇问题 【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。

【数量关系】 相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速） 总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间

简单相遇 南京到上海的水路长392千米,同时从两港各开出一艘轮船相对而行,从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？

甲乙两站相距582千米，一列火车于上午11时从甲站开出，每小时行52千米，另一列火车于中午12时30分从乙站开出，下午5时两车相遇，求乙站开出的那列火车的速度是多少?

甲乙两车分别从相距480千米的A、B两地同时出发相向而行，已知甲车从A城到B城需6小时,乙车从B城到A城需12小时，两车出发后几小时相遇?

AB两地相距60千米，甲乙两车同时从A地出发前往B地,甲车比乙车早30分钟到达B地，当甲车到达B地时，乙车离B地还有10千米，甲车行完全程共用了多少小时？

5

甲乙两人同时从相距4800米的两地相向而行,甲骑自行车,乙步行，6分钟后两人相遇，已知甲速度是乙速度的3倍,求甲乙的速度各是多少？

甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，4小时相遇，相遇后甲车继续行3小时到达B地，已知乙车每小时行24千米,求A、B两地相距多少千米?

甲乙两人从相距40千米的两地同时相向出发，5小时后相遇，如果他们从同一地点同时同向出发,则3小时后甲在乙前6千米，求甲乙两人的速度.

有甲乙丙三辆汽车,各以一定速度从A地开往B地，乙比丙晚出发10分钟，经40分钟后追上丙，甲比乙晚出发20分钟,经50分钟追上乙，那么甲出发后多长时间追上丙?

从甲地去乙地，如车速提高1/9,就可比预定时间提前20分钟赶到，如先按原速行驶72千米,再将车速比原理提高1/3，就比预定时间提前30分钟到达，求甲乙两地路程。

一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高20％，可比原定时间提前1小时到达,如果以原速行驶120千米后，再将车速提高25%，则可提前40分钟到达，求甲乙两地距离.

6

补充练习

1．客货两车分别从甲乙两地同时相向而行，几小时后客车离乙地有时客车比货车多行90千米，甲乙两地相距多少千米？

1，货车到达中点，这82．客车从甲地、货车从乙地同时相对开出，6小时后，客车距乙地还有全程的

1，货车距8甲地还有138千米,已知客车每小时比货车多行15千米，甲乙两地相距多少千米？

3．一列快车和一列慢车分别从甲乙两地同时相对开出,5小时相遇，相遇后两车继续行驶2小时，这时快车距乙地还有全程的25%,慢车共行585千米,求甲乙两地相距多少千米？

4．甲乙两车从AB两地同时相对开出。甲车行全程需要7小时,乙车每小时行45千米,两车行1小时后，共行的路程比全程的15％少12千米,求全程多少千米？

5．甲乙两车从AB两地同时相对开出，3小时后甲车距中点24千米,乙车超过中点3.6千米。已知甲车每小时比乙车每小时慢

1，求乙车每小时行多少千米？ 5

7

6．AB两地相距800米,甲乙两车从AB两地同时相对开出，4小时相遇，相遇后两车继续行驶,甲车又行3小时到达B地。这时乙车离A地多少千米？

7．甲乙两车分别从AB两地同时相对开出,经过5小时相遇,相遇后乙车又继续行驶了3小时到达A地，

8

路程、速度差 距中点

1. 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米,乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。

2。 甲乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行55千米，乙车每小时行50千米,两车在距中点20千米处相遇，求A、B两地的距离。

3。 甲、乙两车同时从东、西两地向而行，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在离中点32千米处相遇，东、西两地相距多少千米？

9

4 一辆客车从甲站开往乙站,每小时行48千米;一辆货车同时从乙站开往甲站,每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇,求甲乙两站的距离。

从甲地到乙地快车要6小时,慢车要8小时，如果两车同时从甲乙两地相对开出，可再距中点35千米处相遇，甲乙两地相距多少千米？

全程类

1. 甲、乙两车同时从A地出发去B地，甲到B地后立即按原路返回，在距B地24千米处与乙相遇，已知甲每小时行55千米，乙每小时行47千米，求AB两地的距离.

2.AB两城相距60千米,甲乙来那个人都骑自行车从A城同时出发，甲比乙每小时慢4千米，乙到B城后立即返回,于距B城12千米处与甲相遇，求甲的速度。

10

3.一架飞机到某地执行任务，原计划每分钟飞行9千米，因任务紧急，现将速度提高到每分钟12千米，结果比原计划早到了30分钟，则机场到某地相距多少千米？

4。一艘轮船顺水每小时行驶24千米,逆水每小时行驶18千米，轮船从甲城到乙城用的时间比从乙城到甲城用的时间多8小时，问甲、乙两城之间的距离是多少千米？ 类型三

甲乙两人从相距100千米的A、B两地出发相向而行，甲先出发1小时，他们两人在乙出发后4小时相遇,又已知甲比乙每小时快2千米,求甲乙二人的速度。

11

比例行程

甲乙两车同时从AB两地相对开出，2小时相遇，相遇后两车继续前行，当甲车到达B地后时，乙车离A地还有60千米,已知两车的速度比是3：2.求两车的速度.

甲乙两列火车同时从东西两城相向开出，甲车每小时行49千米,乙车每小时行47千米,相遇时甲车比乙车多行36千米，求两城之间的距离。

甲乙两车同时分别从两个城市相对开出，经过3小时，两车在距中点18千米处相遇，这时，甲车与乙车所行路程之比为3：2，求两车速度。

AB两城相距60千米,甲乙两人同时骑车从A到B，甲的速度比乙每小时慢4千米，乙到达B城立即返回，在距B城12千米处与甲相遇，甲每小时行多少千米？

甲乙两辆汽车同时从东站开往西站,甲车每小时比乙车多行12千米，甲车行驶4。5小时到达西站后没有停留,立即从原路返回，在距西站31。5千米处与乙车相遇，求甲车速。

12

甲乙两车如果从AB两地同时出发，相向而行,4小时能在途中相遇，已知甲、乙两车的速度比是3：4，照这样的速度,如果两车要在AB两地的中点相遇，甲车应该提前几小时开出？

从甲地到乙地快车要6小时，慢车要8小时，如果两车同时从甲乙两地相对开出，可再距中点35千米处相遇，甲乙两地相距多少千米？

13

环形跑道 小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米,小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑,那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间?

小李和小刘分别位于周长为400米的环形跑道直径的两端，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们,相向而行，多少秒钟后两人第二次相遇？

小兵和小阳在周长400米的环形跑道上锻炼，两人从同一地点同时出发，背向而行,小兵每分钟跑180米,小阳每分钟跑220米，照这样计算，两人第5次相遇时，小阳还需跑多少米才能回到出发点？

小王跑一圈要16分钟，爷爷跑一圈要20分钟，他们两人同时同地背向而行,多久相遇? 如果同时同向而行，多久小王比爷爷多跑一圈?(涉及环形追及,改为如果同时同向而行,他们什么时候相遇？）

14

15

直线二次相遇

1. 甲乙两人分别从A、B两地同时相向出发，往返于A、B之间，第一次相遇在距A地20千米处，相遇后甲继续前行到B地后返回,乙继续前行到A地后返回，然后第二次相遇在距A地40米处,求AB两地之间的距离。

2、 甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在离B地千米处第一次相遇，相遇后，两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距B地48米处第二次相遇,问两次相遇点相距多远。

1、 甲乙两人分别从A、B两地同时相向出发，往返于A、B之间，第一次相遇在距A地35千米处，第二次相遇在距B地40千米处，求AB两地之间的距离。

16

2、甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在离B地千米处第一次相遇,相遇后，两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回,途中两车在距A地48米处第二次相遇，问两次相遇点相距多远.

两种可能的相遇：

甲乙两人分别从A、B两地同时相向出发，往返于A、B之间，第一次相遇在距A地20千米处，第二次相遇在距A地40米处，求AB两地之间的距离.

1、小张和小明两人同时从甲乙两地出发相向而行，两人在离甲地40米处第一次相遇，相遇后两人仍以原速继续行驶，并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回,途中两人在距乙地15米出第二次相遇,甲乙两地相距多少米。

17

2、小张和小明两人同时从甲乙两地出发相向而行,两人在离甲地40米处第一次相遇，相遇后两人仍以原速继续行驶，并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回，途中两人在距甲地30米出第二次相遇，甲乙两地相距多少米。

1。两车同时从东西两站相对开出，第一次在离东站45千米的地方相遇，之后两车继续以原来的速度前进，各自到站后都立即返回，又在距离中点东侧9千米处相遇，两站相距多少千米？

18

三者往返相遇 甲、乙两个车队分别从相距330千米两地同时出发相向而行，甲队每小时行60千米，乙队每小时行50千米，一个人骑摩托车以每小时80千米的速度在两车队之间往返联络，问两个车队相遇时，摩托车行了多少千米？

A、B两地相距400千米，甲乙两车同时从两队相对开出，甲车每小时行38千米,乙车每小时行42千米，一只鸽子以每小时50千米的速度和甲车同时出发，向乙车飞去,遇到乙车又折回飞向甲车,这样一直飞下去，鸽子飞了多少千米时两车相遇？

AB两地之间相距3千米，甲乙两人同时分别从AB两地出发相向而行，甲每分钟行80米，乙每分钟行70米，如果有一只狗与甲从A地同时同向出发,狗每分钟跑150米，当狗遇到乙时立即返回，遇到甲后又掉头向乙跑去，这样狗不停的在甲乙两人之间往返跑，直到两人相遇为止，那么狗在两人之间跑的路程是多少？

19

20

追及问题 【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的,行进速度较慢些，在一定时间之内,后面的追上前面的物体.这类应用题就叫做追及问题。

【数量关系】 追及时间＝追及路程÷（快速－慢速) 追及路程＝（快速－慢速）×追及时间

简单追及

好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马?

甲船每小时行24千米，乙船每小时行16千米，两船在同时同地背向而行，1.5小时后，甲船因事调转船头追乙船，几小时能追上乙船?

哥哥以每分钟50千米的速度从学校步行回家，12分钟后弟弟从学校出来骑车追哥哥，结果在距学校800米处追上哥哥，求弟弟骑车的速度。

21

兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本,立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？

甲乙两人练习跑步，若甲让乙先跑10米,则甲跑5秒钟可以追上乙，若甲让乙先跑3秒钟,则甲跑6秒钟可追上乙,问甲、乙两人速度各是多少？

22

追击敌军类 我人民追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，在晚上22点接到命令,以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问几个小时可以追上敌人?

我骑兵以每小时22千米的速度追击敌军，当到某站时，得知敌军已于2小时前逃跑，已知敌军逃跑的速度是每小时12千米，问我骑兵几小时可以追上敌军？

23

环形追及问题 小明和小亮在200米环形跑道上同时同向跑步,小明每秒钟跑3米,小亮每秒钟跑5米，多少秒钟后，小亮追上小明？

小明和小亮在200米环形跑道上同时同向向前跑步，小明每秒钟跑3米，200秒后小亮追上了小明,问小亮每秒钟跑多少米？

小明和小亮在环形跑道上同时同向向前跑步,小明每秒钟跑3米,小亮每秒钟跑5米，100秒后小亮追上了小明，环形跑道长多少米？

小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。

有一条400米的环形跑道，甲乙两人同时从某一点沿跑道向相反的方向跑，一分钟后相遇，如果两人向同一方向跑,10分钟后相遇，已知甲比乙快,求甲乙两人的速度。

24

在周长为400米的环形跑道的一条直径的两端，甲乙两人分别以每秒6米和每秒4米的速度骑自行车同时同向出发（顺时针）沿圆周行驶，经过多长时间，甲第二次追上乙？

甲乙两人环湖竞走，环湖一周是400米，乙每分钟走80米，甲的速度是乙的1.25倍，现在甲在乙的前面100米，多少分钟后两人相遇?

甲乙两人在操场400米的环形跑道练习跑步，两人同时同地同向出发,甲每分钟跑300米，乙每分钟跑250米，多少分钟后甲乙两人第一次相遇。

25

综合行程 自行车队出发12分钟后，通信员骑摩托车去追他们,在距出发点9千米处追上了自行车队，然后通信员立即返回出发点,到达后又返回去追自行车队,再追上时恰好离出发点18千米，自行车和摩托车每分钟各行多少千米？

某学校原定9时来车接六年级学生去春游,为了争取时间,8时学生们就学校步行向春游地点出发,在途中遇到准时来接他们的大巴，于是乘大巴去春游地点，这时比原定时间早到12分钟，汽车每小时行48千米，同学们步行的速度是每小时多少千米？

狗追兔子,开始追时，狗与兔子相距30米，追了48米后与兔子 相距6米,狗还要追多少米才能追上兔子？

甲、乙、丙三人,甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲、乙两人从A地，丙一人从B地同时出发相向而行，丙在遇到乙2分钟后又遇到了甲，AB两地相距多少米?

26

孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进,到学校恰好准时上课.后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。

AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5，如果甲乙二人分别同时从AB两地相对行使,40分钟后两人相遇，相遇后各自继续前行,这样，乙到达A地比甲到达B地要晚多少分钟？

甲乙两车同时从AB两地相对开出.第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点后立即返回.第二次相遇时离B地的距离是AB全程的1/5。已知甲车在第一次相遇时行了120千米。AB两地相距多少千米？

从A地到B地，甲、乙两人骑自行车分别需要4小时、6小时，现在甲乙分别AB两地同时出发相向而行，相遇时距AB两地中点2千米。如果二人分别至B地,A地后都立即折回.第二次相遇点第一次相遇点之间有( ）千米

一船以同样速度往返于两地之间,它顺流需要6小时；逆流8小时。如果水流速度是每小时2千米,求两地间的距离？

快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇时已行了全程的七分之四，已知慢车行完全程需要8小时，求甲乙两地的路程。

27

甲乙辆车同时从a b两地相对开出,几小时后再距中点40千米处相遇？已知，甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时，求a b 两地相距多少千米?

慢车车长125米，车速每秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么,快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？

在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变,还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？

9.在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米,两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米?

10.一个人在铁道边,听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过她前面，已知火车鸣笛时离他1360米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求火车的速度（得出保留整数）

11．狗跑5步的时间马跑3步,马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？

28

12.猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔,马上紧追上去,猎犬的步子大，它跑5步的路程,兔子要跑9步,但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。

13.小华从甲地到乙地,1/3骑车,2/3乘车；从乙地返回甲地，5分之3骑车,5分之2乘车，结果慢了半小时。已知，骑车每小时12千米，乘车每小时30千米,问：甲乙两地相距多少千米?

29

平均速度

从家到学校有1200米，小红以4米/分的平均速度去学校，然后以6米/分的平均速度返回,小红往返的平均速度是多少？

1。小红以4米/分的平均速度去学校，然后以6米/分的平均速度返回，小红往返的平均速度是多少？

（2）小明骑自行车从甲地去乙地，平均每小时行12千米,到达乙地后,原地返回,平均每小时行15千米，求他往返的平均速度？

（3)小英骑自行车从甲地到乙地，每小时行30千米，回来时步行速度是骑车的1/3，求某人往返甲乙两地平均每小时行多少千米？

30

平均数

1.已知某班一次数学测试平均成绩是92分，男女生的平均成绩分别是90.5和93。8分，这个班男女生人数之比是多少?

2.全班平均分式.3分，男生平均分为87。5，女生平均分为92分,其中男生有18人,女生有多少人？

3.红旗小学组织100人参加植树，男同学平均每人植3棵树,女同学平均每人植树2棵。所有人平均每人植树2。6棵，参加植树的男生与女生分别有多少人？

4.一批作业本若只分给男生每人可以分3本，若分给全班同学每人则只可以分2本。如果只分给女生则平均每人可以分多少本？

31

列车问题

列车过电线杆

1.一列火车长700米，从一颗大树旁边经过,用了1。75分，求这列火车的速度.

（2）一列火车以54千米/时的速度行驶，通过铁路旁的一根电线杆花去16秒.这列火车有多长？

列车过桥

2.一列火车以72千米/小时的速度通过一座300米的大桥，用了21秒，这列火车的长度是多少？

（1）一座大桥长2400米,一列火车以每分钟900米的速度通过大桥,从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟.这列火车长多少米？

32

（2） 一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间,求大桥的长度是多少米？

两车同行求车长

3。快车每秒行28米，慢车每秒行16米,这两列火车若齐头同向行驶，10秒钟后，快车超过慢车；若齐尾同向行驶，7秒后快车超过慢车。求这两列火车的车长。

（1）.甲车每秒行22米，乙车每秒行16米，若两车齐头并进，则甲车30秒超过乙车；若两车齐尾并进，则甲车26秒后超过乙车。求这两列火车的车长.

列车过行走的人-—相向而行

4。一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？

（1）一列长119米的火车，以15米每秒的速度行驶，小花以每秒2米的速度从对面走来，经过几秒火车从他身边驶过？

（2)一列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来,火车从工人身旁驶过用了10秒,火车有多长？

33

(3)火车以15米每秒的速度行驶,小花以每秒2米的速度从对面走来，经过20秒火车从他身边驶过,火车有多长？

（4)。一列客车以108千米/时的速度沿京广线由北往南疾驶，一列货车以72千米/时的速度沿京广线由南往北行驶.两车在某处相遇,货车司机发现客车通过他花了10秒.求客车长多少米?

列车过行走的人-—同向而行

5。某人骑自行车沿铁路匀速行驶，一列长300米的火车以18米/秒的速度与骑车人同向行驶。这列火车通过骑车人花去20秒。问骑车人的速度是多少？

(1）一列车长150米，以每秒22米的速度行驶,有一个扳道工人迎面走来，火车从工人身旁驶过用了10秒，人的速度是多少?

（2）一列车长240米，以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人迎面走来，火车从工人身旁驶过用了10秒,人的速度是多少?

34

（3）一列长225米的火车以57.6千米/时的速度行驶，通过一个沿铁路同向行走的行人花去15秒，求行人的速度。

（4)一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒，以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？

列车过两条隧道

6。一列火车穿越一条长1500米的隧道用了90秒，以同样的速度通过一条长800米的大桥用了55秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？

7.一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒，以同样的速度通过一根电线杆用了48秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？

35

一列火车通过一条长1800米的大桥，已知从火车车头上桥到离开桥共用120秒，火车完全在桥上的时间为80秒，这列火车长多少米?

甲乙两人沿铁道以每秒1米的速度相向而行，一列匀速行驶的火车从甲身边经过用了10秒，三分钟后,火车与乙相遇，火车从乙身边经过只用了9秒，火车离开后多少时间两人相遇?

36

行船问题 【数量关系】 （顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速 （顺水速度－逆水速度)÷2＝水速

顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2 逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2

例1 一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米,这只船逆水行这段路程需用几小时？

一艘船顺水平均每小时行28千米，逆水平均每小时行22千米，求船速与水速？

一只小船在一条180千米长的河上航行，顺流而下需要6小时，逆流而上需要9小时,如果有一只木箱只靠水的流动而漂移，若走完同样长的距离需几小时？

例2 甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间？

37

例3 一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时576千米，风速为每小时24千米，飞机逆风飞行3小时到达，顺风飞回需要几小时？

一艘船顺水从A到B要3小时，逆水从B到A 需要4小时,请问,如果一只木桶仅靠水的流动而漂移，走完同样长的距离需要多少小时？

38

工程问题 工作量＝工作效率×工作时间 工作时间＝工作量÷工作效率

工作时间＝总工作量÷(甲工作效率＋乙工作效率)

基础类

1。900个零件,甲独做要10小时完成，乙独做需要15小时完成,现两队合作,多少小时可以完成？

2.一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？

3.一件工作,甲独做12小时完成,乙独做10小时完成，丙独做15小时完成.三人合做需几小时才能完成？

4.小白兔和小灰兔清扫街道,小白兔独自清扫要30分钟才能扫完，小灰兔独自清只需要20分钟，现在两兔分别从街道的两端开始清扫,他们什么时候相遇?

39

5。一项工程甲乙两人合作需要12天,乙丙两人合作需要15天，甲丙两人合作需要18天，现甲乙丙三人合作需要多少天？

40

合作独做结合类

1.一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成.现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做,还需几小时才能完成？

2.一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成,丙独做15小时完成.现在乙丙先做2小时，余下的由甲独做，还需几小时才能完成?

3.单独完成某项工程，甲队需要10天,乙队需要15天，丙队需20天。开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天

4.一件工作，甲乙合做8天可以完成，甲独做12天可以完成，现在甲乙两人合作若干天后，余下的由乙继续做3天才完成，乙一共做了多少天？

41

5.一件工作，甲乙合作15天可以完成,现在甲先做3天，乙接着做5天，完成了工程的35％，甲乙两人独做这项工程各需多少天？

6。一项工程甲乙丙三人独做分别需要20天，30天和60天，现在三人合作完成这项工作，在工作过程中,甲休息了2天，乙休息了3天，丙没有休息,最后把工作完成了。问完成这项工作一共用了多少天？

7。甲乙两个工程队合作完成一项工程，甲队的工作效率是乙队的3/5，两队合作15天,正好完成工程的2/3。余下的由乙队单独做，乙队还要多少天才能完成？

8。某建筑公司修路,甲工程队单独做需要15天，乙工程队单独做需要10天，甲乙两队合作了5天，因其他地方发生冰灾,道路被毁，公司决定抽一个队参加抢修会战，你认为会调哪个工程队？说出你的理由，留下的工作还需要多少天才能把这项工程完成?

9。有AB两项工程，甲单独完成A、B两项工程分别需要9天和12天，乙单独完成成A、B两项工程分别需要3天和15天。现两队合作完成两项工程，最少需要多少天？

42

10。甲乙丙合修一堵围墙,甲乙合修6天完成了1/3，乙丙合修2天完成了余下工程的1/4，剩下的再由三人合修5天完成，现在领工资共18000元，依工作量分配，甲乙丙各得多少元?

11.加工一批零件，甲乙两人合干1小时完成这批零件的11/60，接着乙丙两人合干1小时完成这批零件的1/4，后来甲丙合干了2小时完成这批零件的1/5，剩下的任务由甲乙丙三人合做，问还要多少时间完成？

43

多项工程

1.有A、B两项相同的工程，甲单独完成一项工程需要10天，乙单独完成一项工程需要12天，丙单独完成一项工程需要15天，现甲做A工程，乙做B工程,丙先帮助甲做，中途又帮助乙做B工程，最后两项工程同时完成，丙帮助乙做了多少天？

2.甲乙丙三人打扫A、B两间相同的教室，单独打扫一间教室甲需要20分钟，乙需要24分钟，丙需要30分钟，甲负责A教室,乙负责B教室,丙先帮甲打扫A教室，再帮乙打扫B教室，最后两间教室同时打扫玩，则丙分别帮甲乙两人各打扫了多久？

3。甲乙两人做ABC三项相同的工程,独做其中一项工程甲需要12天,乙需要15天，现甲做A工程,乙做B工程,做完属于自己的工程后继续完成C工程， C工程中甲乙各做了几天？

4.有甲乙两件教室，分别由ABC三位同学负责打扫卫生，其中甲教室的工作量比乙多1/3。A、B、C三位同学单独打扫完两间教室的时间分别是10分钟，12分钟，和15分钟。为了同时放学回家，安排任务时规定B、C先打扫甲教室，A打扫乙教室，中途B到乙教室帮助A打扫。问：B、C应同时打扫甲教室多少分钟？

5.有甲乙两件教室，分别由ABC三位同学负责打扫卫生，其中甲教室的工作量比乙多1/3。A、B、C三位同学单独打扫完甲教室的时间分别是10分钟，12分钟,和15分钟.为了

44

同时放学回家，安排任务时规定B、C先打扫甲教室，A打扫乙教室，中途B到乙教室帮助A打扫。问：B、C应同时打扫甲教室多少分钟?

6.有甲乙两件教室，分别由ABC三位同学负责打扫卫生,其中甲教室的工作量比乙多1/3。A、B、C三位同学单独打扫完乙教室的时间分别是10分钟，12分钟，和15分钟.为了同时放学回家，安排任务时规定B、C先打扫甲教室，A打扫乙教室，中途B到乙教室帮助A打扫。问:B、C应同时打扫甲教室多少分钟？

将余下工程当做单位1

1.一项工程,甲乙两队合作10天后,还剩下一些,剩下的如果给甲单独修要20天，如果让乙单独修则要30天，如果这项工程让甲乙合作，一共要多少天才能完成任务？

2.机械厂要生产一批零件,厂长把生产任务交给甲车间。甲车间主任说：“我们40天刚好可以完成任务。\"甲车间生产10天后，厂长接到客户电话，要求12天后提货,厂长想尽可能满足客户要求，于是把剩下的生产任务交给乙车间。乙车间主任说：“这些任务我们不可能在12天内完成,需要18天才能完成任务。”厂长说：“那你们与甲车间共同完成这些任务.”请你算一算,甲乙两车间能不能在12天内完成剩下的生产任务？

45

工效变化类

一项工程，甲单独修20天完成，以单独修30天完成，如果两人合修，由于相互影响,甲的工作效率变成原来的五分之四，乙的工作效率变成原来的十分之九，要使工程16天内完成，但要是合作天数最小，应该怎样安排？

46

比例工程

1.一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成.现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个?

2。一项工程甲乙两人合作一天半可完成工程的1/16，然后甲休息5天，继续与乙合作,已知甲乙效率之比为2：3，则修完这条路需要多少天?

3.生产一批零件，甲每小时可做18个，乙单独做要12小时完成。现在由甲乙两人合作完成任务时，甲乙生产零件数量之比是3：5，这批零件共有多少个？

4。单独完成某工程，甲按规定时间可以提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。如果甲乙两人合作2天后，剩下的继续由乙单独做,那么刚好在规定时间完成。问：甲乙两人合作完成任务需要多少天？

5单独完成某工程,甲按规定时间可以提前4天完成,乙则要超过规定时间5天才能完成。如果甲乙两人合作2天后,剩下的继续由乙单独做,那么刚好在规定时间完成。问：甲乙两人合作完成任务需要多少天？

6。单独完成某工程,甲按规定时间可以提前4天完成,乙则要超过规定时间6天才能完成。如果甲乙两人合作4天后，剩下的继续由乙单独做,乙能在规定时间提前2天完成任务.问：甲乙两人合作完成任务需要多少天？

47

7.某项工程，可由若干台机器在规定时间内完成，如果增加两台机器，则只需要用规定时间7/8就可以做完;如果减少两台机器，那么就要推迟2/3小时做完，请问：由一台机器去完成这项工程需要多少时间？

8。甲乙两个工程队中甲的工效比乙高25％，因此，甲队比乙队单独完成A工程要少用6天，求两队合作完成A工程要用多久？

交替工作类

1。一项工程，甲、乙单独完成此项工程分别要12小时和18小时，若甲先做1小时,然后乙接替甲做1小时，……，两人如此交替工作,请问:完成任务时，一共用了多少小时？

（2）。一项工程，甲、乙单独完成此项工程分别要6小时和10小时，若甲先做1小时,然后乙接替甲做1小时,……,两人如此交替工作，请问:完成任务时，一共用了多少小时？

3.甲工程队工作6天休息一天，乙工程队工作5天休息两天,一件工程，甲队单独做需要经过97天，乙队单独做需经75天,如果两队合作，从2016年2月10日开工,几月几日可以完工？

48

一项工程，甲单独做完要30天，乙单独做完要36天,两人合作,甲每做2天休息1天，乙每做4天后休息1天，两人合作完成这项工作共花去多少天？

4。蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管。要灌满一水池,单开甲管需要3小时,单开丙管需要5小时。要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时.现在池内有1/6池水.如果按甲乙丙丁的顺序循环开各水管，每次每管开1小时，问经过多少时间后水开始溢出水池？

49

商品利润问题 【数量关系】 利润＝售价－进货价

利润率＝(售价－进货价）÷进货价×100％ 售价＝进货价×(1＋利润率） 亏损＝进货价－售价

亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100％

例1 某商品的平均价格在一月份上调了10%，到二月份又下调了10％，这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何？

例2 某服装店因搬迁，店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去52元,已知衣服原来按期望盈利30%定价，那么该店是亏本还是盈利?亏（盈）率是多少？

例3 成本0。25元的作业本1200册，按期望获得40%的利润定价出售,当销售出80％后,剩下的作业本打折扣，结果获得的利润是预定的86％.问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣？

例4 商店同时卖出两件商品，每件售价都是60元，一件赚20%，一件亏20％ ，则商店卖出的这两件商品最终是亏还是赚？亏或赚多少?

50

例5 某种商品,甲店的进货价比乙店的进货价便宜10％，甲店按30％的利润定价，乙店按20％的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵6元，求乙店的定价.

6.一件衣服进货价是80元，按定价六折出售仍可获得52元的利润，则这件衣服的定价是多少?

7.商店将某种服装按成本价提高40%标价，又以8这优惠卖出，结果每件仍获利15元,那么这种服装每件成本是多少元?

1. 一双鞋子若卖价是180元,可赚钱20%.若卖120元，是赚是亏？赚或者亏多少?

2. 商店以40元的价钱卖出一件商品,亏了20%.这件商品原价多少元，亏了多少元？

3. 一件商品6折出售，亏10%，该商品的成本价为30元,请问商品的标价是多少？

51

4. 一件商品原价100元，先提价10％，再降价10％,现价是多少？现价是原价的百分之多

少？

5。商店同时买出两件商品，每件售价100元，一件赚25%，一件亏20％，那么商店卖出这两件商品是赚了，还是亏了？

6.某商店同时卖出两件商品，每件各得30元，其中一件盈利20％,另一件亏本20％.这个商店卖出这两件商品总体上是盈利还是亏本?具体是多少?

7。同一种商品，甲店比乙店的进货价便宜10%，甲店按20％的利润定价，乙店按15％ 的利润定价.甲店的定价比乙店便宜11.2元。乙店的进货价是多少元?

8.一件商品随季节变化降价出售，如果按现价降价10％,仍可获利180元;如果降价20%就要亏损240元。这种商品的进价是多少元？

9。甲乙两店，甲店买五送二,一点便宜25％，那个店便宜？

52

存款利率问题 【含义】 把钱存入银行是有一定利息的,利息的多少,与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数.

【数量关系】 年（月）利率＝利息÷本金÷存款年(月）数×100％ 利息＝本金×存款年（月)数×年(月）利率 本利和＝本金＋利息

＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数]

例1 李大强存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长。

例2 银行定期整存整取的年利率是:二年期7.92%，三年期8。28%,五年期9％。如果甲乙二人同时各存入1万元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同时取出，那么,谁的收益多？多多少元？

例3、（解决税前利息)李明把500元钱按三年期整存整取存入银行,到期后应得利息多少元？

存期（整存整取） 一年 二年 三年

53

年利率 3。87％ 4.50％ 5.22％ 例4、（解决税后利息）方明将1500元存入银行，定期二年，年利率是4.50％。两年后

方明取款时要按5％缴纳 利息税，到期后方明实得利息多少元？

1、李叔叔于2000年1月1日在银行存了活期储蓄1000元,如果每月的利率是0。165％,存款三个月时，可得到利息多少元?本金和利息一共多少元？

2、叔叔今年存入银行10万元，定期二年,年利率4。50％ ，二年后到期,扣除利息税5％ ，得到的利息能买一台6000元的电脑吗？

54

溶液浓度问题 【数量关系】 溶液＝溶剂＋溶质 浓度＝溶质÷溶液×100%

例1。含盐30％ 的盐水50千克，现要将其变为含盐40% 的盐水,需蒸发多少千克水。 练习:

（1)含盐30％的盐水60千克蒸发为含盐40%的盐水时，盐水的重量是多少千克?

（2）要从含糖16%的20千克糖水中蒸去水分，制出含糖20%的糖水，问应当蒸去多少千克水分？

例2 爷爷有16％的糖水50克，（1）要把它稀释成10%的糖水,需加水多少克？ （2)若要把它变成30％的糖水，需加糖多少克？

练习：有300克浓度为10%的盐水．现在要将这盐水的浓度变为8%，问应加入多少克水?

55

例3。要把30％的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30％和15％的糖水各多少克？

练习：

(1）要配制浓度为20%的硫酸溶液1000克,需要用浓度为18%和23%的硫酸溶液各多少克？

（2）现有浓度为10%的盐水20千克,再加入多少千克浓度为30％的盐水，可以得到浓度为22%的盐水？

（3）要配制浓度为20%的硫酸溶液1000克，需要用浓度为10%和30％的硫酸溶液各多少克?

（4）在浓度为40%的酒精溶液中加入5千克水，浓度变为30%，原来有多少千克酒精？

56

（5)在一杯清水中放入10克盐，然后再加入浓度为5％的盐水200克，这时配成浓度为2.5％的盐水，问原来杯中有多少克清水?

4。大瓶酒精溶液是小瓶酒精溶液的2倍，大瓶酒精溶液的浓度为20%，小瓶酒精溶液的浓度为35%．将两瓶酒精溶液混合后,酒精溶液的浓度是多少?

57

最值问题 【含义】 科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多办事，办好事,以最小的代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。

【数量关系】 一般是求最大值或最小值。

运费

例1 在火炉上烤饼，饼的两面都要烤,每烤一面需要3分钟,炉上只能同时放两块饼，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟？

例2 在一条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是10千米，已知1号煤场存煤100吨，2号煤场存煤200吨，5号煤场存煤400吨，其余两个煤场是空的。现在要把所有的煤集中到一个煤场里，每吨煤运1千米花费1元，集中到几号煤场花费最少?

例3 北京和上海同时制成计算机若干台，北京可调运外地10台，上海可调运外地4台。现决定给重庆调运8台,给武汉调运6台，

若每台运费如右表，问如何调运才使运费最省？

重庆 北京 上海

58

武汉 400 300 800 500

59

购物

1.某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠: (1）一次性购买不超过1万元不予优惠

（2）一次性购买超过1万元，但不超过3万元，给九折优惠

（3）一次性购买超过3万元，其中3万元九折优惠，超过3万元部分八折优惠。 某厂因库容原因，第一次在该供应商出购买原料付款7800元，第二次购买付款26100元，如果他一次性购买同样数量的原理可以少付多少元？

巩固练习：

1。 某超市对顾客实行优惠购物,规定如下: （1）若一次性购物少于200元，则不予优惠；

（2）若一次性购物超过200元，但不超过500元，按标价的九折出售；

（3）若一次性购物超过500元，其中500元及以下的部分（含500元）九折优惠，超过500元部分8折优惠.

小李两次去超市购物，分别付款198元和554元，现在小张决定一次性购买小李分两次所购的物品,他需要付款多少元？

60

2。某商场促销，晚上八点以后全场商品在原折扣基础上再打九五折，付款时满400元再减100元，已知某鞋柜全场八五折，某人晚上九点多来到商场去该鞋柜买了一双鞋，花了384.5元，问这双鞋原价是多少元?

3。有两种电话卡，第一种每分钟话费0。3元，除此以外，无其他费用；第二种电话卡，每分钟0。2元，另有每月固定费用10元.如果小王每月通话量不低于两个小时,则他办哪种卡比较合算?

阶段收费

1.某市水厂为鼓励居民节约用水,对居民用水费用实行水费梯度制：

每户用水量 单价（元/吨) 不超过10吨的部分 1。8 超过10吨的部分 2 （1）若小明家9月用水5吨,应付水费多少元？ （2）若小明家9月用水15吨，应付水费多少元？

（3）若小明家9月付水费26元，他家这个月用了多少吨水?

61

2。我国是水资源比较贫乏的国家之一，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源,某市采用价格手段来达到节约用水的目的，规定如下，，每户每月用水不超过6立方米时,水费按基本价收费,超过6立方米，不超过的部分按基本费收费，超过的部分按调节价收费,某户今年3、4月份用水量和水费如表：

3月 5立方米 4月 （1） （2） （3）

3.某市居民生活用电基本价格为0。6元，为了节约用电,超过a度，超过部分在基本电价上提高10%进行收费

（1)某户1月份用电90度，共交电费55.8元，求a （2)若该用户2月分用电80度，他应该交多少元电费？

（3）如果该用户3月份电费平均0.624元每度，那么该用户3月用电多少度？

62

水费12元 水费20。4元 7.5立方米 该市每立方米水费的基本价是多少元？ 调节价是多少元？

若该用户6月份的水费是26。4元,那么他用了多少水？

4.某地电价按以下:不高于50千瓦时电价按照0。53元计算，高于50且不高于200千瓦部分每千瓦上调0。03元;超过200千瓦的部分每千瓦上调0.10元. （1）已知小明家10月份用电量为a千瓦,请完成下列填空： ①若a≤50千瓦时，则10月份小明家应付电费为________元；

②若50〈a≤200千瓦时，则10月份小明家应付电费为________________________元； ③若a>200千瓦时，则10月份小明家应付电费为________________________元； (2)若小明家10月份用电量为130千瓦，则10月小明家应付电费多少元? (3)若11月小明家应付电费96.5元，则11月小明家用电多少千瓦?

5.国家规定个人发表文章，出版图书所得稿酬应该缴纳个人收入调节税,计算方法如下 （1）稿酬不高于800元的不纳税，

（2）稿酬高于800元但不超过4000元,超过800元部分按14% 纳税 （3）稿酬高于4000元的，应缴纳全部稿酬的11%，的税款

有人说：按照这样的规定，有时所得稿酬高的人反而比所得稿酬底的人纳税少,你认为这说法对吗,请举例说明。

63

6.某市出租汽车的车费计算分式如下：路程在3公里以内（包括3公里）为8.00元；达到3公里后,每增加1公里收1.4元；达到8公里以后，每增加1公里收2。1元，增加不足1公里按1公里计算.某乘客乘坐该种出租车交了44。4元车费,则此乘客乘坐了多少公里？

购票

1。公园门票价格规定如下：

购票张数 1-50张 51—100张 100张以上 11元 9元 每张票价格 13元 某校一班和二班共104人去游公园，其中一班人数较少不足50人,经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问： （1）两班各有多少学生？

（2）如果两个班联合起来，作为一个团体购票,可省多少钱?

（3）如果一班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱?

2.流花公园每张个人票5元，供1人入园，每张团体票30元，供不超过10人的团体入园，买10张或者更多张团体票可以优惠10％。某单位秋游，原来准备的钱刚好够145人门票用，临时又增加了两个人,幸好这两人每人带了m元,结果147人刚好都能购票入园，m是多少元？

65

3.某单位计划10月份组织员工到H地旅游，人数估计在10-25人之间。甲乙两旅行社服务质量相同，且组织到H地旅游的价格都是每人200元.该单位联系时,甲旅行社表示可给予每位游客七五折的优惠，乙旅行社表示可以免去一位带队游客费用，其余游客八折优惠。问该单位应该怎样选择才费用最低。说说你的理由。

66

“牛吃草”问题 【含义】 “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题,也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

【数量关系】 草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数

例1 一块匀速生长的草地，27头牛6天可以把草吃完，23头牛9天可以把草吃完。问多少头牛18天可以把草吃完？

一块匀速生长的草地，27头牛6天可以把草吃完，23头牛9天可以把草吃完。问21头牛多少天可以把草吃完？

一块匀速生长的草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？

一块匀速生长的草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。供25头牛可吃多少天？

67

68

例2一块匀速生长的草地,可供16头牛20天或者供100只羊吃12天，如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量,那么这块草地可供10头牛和75头羊一起吃多少天？

一片牧草每天生长的速度相同,现这片牧草可供16头牛20天或者供80只羊吃12天，如果一头牛一天吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10头牛和60头羊一起吃多少天？

例3有一水池不断有泉水匀速涌出，用10台抽水机20小时可将水抽干,用15台同样的抽水机10小时可将水抽干，问用25台抽水机多少小时可将水抽干？

有一水池不断有泉水匀速涌出，用5台抽水机20小时可将水抽干，用6台同样的抽水机15小时可将水抽干，若要6小时将水抽干，需要多少台同样的抽水机？

69

一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完;如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？

一只船被发现漏水时，已经进了一些水，水均匀进入船内，如果10人淘水,3小时淘完，如果5人淘水，8小时淘完，如果要求2小时淘完，需要安排几人淘水

70

例4 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客一样多，从开始检票到队伍消失，若开5个检票口要30分钟，开6个检票口只要20分钟，如果要在10分钟消失要开多少个检票口？

例5 三块草地长满草，草每天匀速生长,第一块草地33亩，可供22头牛吃54天,第二块草地28亩，可供17头牛吃84天，第三块草地40亩，可供多少头牛吃24天?

一块匀速生长的草地，24头牛6天可以把草吃完，21头牛8天可以把草吃完。 （1）如果放16头牛，几天可以吃完牧草？ （2）要使牧草永远吃不完，最多可以放多少头牛？

一片牧草每天生长的速度相同，现这片牧草可供17头牛30天或者供19头牛吃24天，现有若干头牛吃草，吃了6天,4头牛死亡，余下的牛吃了2天才将草吃光，问原来有多少头牛？

71

一片牧草每天生长的速度相同，现这片牧草可供18头牛4天或者供23头牛吃3天，现有13头牛吃草，吃了3天后，又购进5头牛，问还吃几天正好吃完全部的草?

72

正反比例问题 【含义】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定(即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系.正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用.

例1 修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米?

例2 张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题？

例3 孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页,几天就可以看完？

例4 一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积.

A 36

两个正方形边长之比为2：3，他们的周长之比为_________,面积之比为_____________.

1）、一块合金内铜和锌的比是2：3，现加入6克锌，共得新合金36克，求新合金内铜和锌

的比？

25 B 20 16

73

2)、一条路全长60千米,分成上坡、平坡、下坡三段，各段路程比是1：2：3,各段所用

时间比是4:5：6，已知上坡速度是每小时3千米，此人走全程用多长时间？

3）、师徒共同加工168个零件，师傅加工一个零件用5分钟，徒弟加工一个零件用9分钟，

完成任务时,两人各加工多少个零件?

4)、一个长方形长与宽的比是14：15，如果长减少13厘米，宽增加13厘米，则面积增加

182平方厘米,求原长方形面积?

5）、求阴影面积。 25

30 20 6）、玻璃瓶内原有盐是水的

11，加进15克盐后盐占盐水的,瓶内原有盐水多少克？ 119

7）、甲乙两包糖重量比是4：1，如果从甲包取出10千克放入乙包后,甲乙两包重量比是7：

5，两包共重多少千克？

74

8)、两组数，第一组的平均数是12。8，第二组的平均数是10。2，两组数总的平均数是12。

02，第一组数的个数是第二组数的几分之几？

9）、硬糖每千克5。1元，软糖每千克8。9元，现要求混合后的糖价为每千克5。4元，求

软糖、硬糖的数量比是多少？

10）、小明要买一些圣诞卡，由于圣诞卡减价20％，用同样的钱就可以多买6张，小名原来

可以买多少张？

75

比例分配问题 【含义】 所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式:一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。

总份数＝比的前后项之和

例1 学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？

例2 从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2,二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分,求三个儿子各分多少只羊.

例3 某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21，第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人？

人 数 对应的份数

例4 甲乙两人合开一家公司,甲占6成的股份，乙占4成，现丙投资20万元，三人重新平均分配股份,这20万元,甲乙各分多少万元？

76

80人 12－8 一共多少人？ 8＋12＋21

例 5 甲乙丙三村合修一条路，三个村所修路程比是8：7:5,现在要三个村所修路程派遣劳动力，丙村由于特殊原因没有派遣劳动力，但需要付给甲乙两村劳动报酬1350元，这样甲村派出60人,乙村派出40人,甲乙两村从丙村那各得多少元?

三角形三内角之比为5：3:2，则这是-——-———-——三角形 两圆周长之比为1：4，他们的面积之比为：

77

鸡兔同笼问题

假设全都是鸡，则有 兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2) 假设全都是兔，则有 鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数)÷（4－2) 第二鸡兔同笼问题：

假设全都是鸡，则有 兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2) 假设全都是兔,则有 鸡数＝(4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

例1 长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算,多少兔子多少鸡？

例2 2亩菠菜要施肥1千克,5亩白菜要施肥3千克,两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？

例3 用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本 3 .20元，日记本每本0。70元。问作业本和日记本各买了多少本？

78

例4 （第二鸡兔同笼问题)鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？

例5 有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人？

。今有鸡兔同笼，上有35头，下有94只。问鸡兔各有多少？

小华有100元，他们是由5元和10元的人民币共14张组成，问,有多少张五元的？

小明有一元,二元和五元的人民币111张共592元，其中二元的人民币比一元的多一张，问他们分别有几张？

蜘蛛有退，蜻蜓有6条退和2对翅膀，蝉有6条退和1对翅膀，现在有这三种小虫共18只，有11退和20对翅膀，他们分别有多少只？

79

数学测试中，共有20道题，答对一道得5分，答错一道扣3分，小明得分60分，他答错了几道题？

.松鼠采松籽，晴天每天采40个，雨天每天采25个。它一连采了好几天，共采集280个，平均每天采集28个.这几天中有几个晴天?

鸡与兔共100只，鸡的腿数比兔的腿数少2,问鸡与兔各有几只？

车库中停放若干辆双轮摩托和四轮轿车，车的辆数与轮数之比是2:5,求摩托车辆数与小轿车辆数之比。

80

鸡兔总只数与总脚数之比是3：7，求鸡兔只数之比。

81

植树问题

【含义】 按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间,已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。

【数量关系】 线形植树 棵数＝距离÷棵距＋1 环形植树 棵数＝距离÷棵距

例1 一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？

例2 一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？

例3 一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯？

例4 给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖,所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖？

例5 一座大桥长500米,给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯,一共可以安装多少盏路灯？

82

有一个工人把12米长的圆钢锯成3米长的小段，每锯断一次要5分钟，共需要多少分钟？

一根木棒锯成3段花了6分钟，照这样计算，锯成6段需要几分钟？

同学栽花，每七主之间的距离是12米，照这样计算，载20株花的距离是多少米？

时钟4点敲4下，6秒钟敲完，那么8点敲8下，几秒钟敲完?

83

抽屉原则问题 【含义】 把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把2只苹果放进一个抽屉,剩下的一个放进另一个抽屉；要么把3只苹果都放进同一个抽屉中.这两种情况可用一句话表示：一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题.

通俗地说,如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更多的元素。

例1 育才小学有367个2000年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同一天的？

例2 据说人的头发不超过20万跟,如果陕西省有35万人,根据这些数据，你知道陕西省至少有多少人头发根数一样多吗?

例3 一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。其中红球10个,白球9个，黄球8个，蓝球2个.某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少要取多少个球，才能保证至少有4个球颜色相同?

25个小朋友，至少有_______个小朋友在同一个月出生.

84

同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，问最少要摸出几只手套才能保证有3副同色的？

2．有四种颜色的积木若干，每人可任取1—2件，至少有几个人去取，才能保证有3人能取得完全一样？

3．某盒子内装50只球，其中10只是红色，10只是绿色，10只是黄色,10只是蓝色，其余是白球和黑球,为了确保取出的球中至少包含有7只同色的球，问:最少必须从袋中取出多少只球?

85

公约公倍问题 最大公约数和最小公倍数的求法，最常用的是“短除法”.

例1 一张硬纸板长60厘米，宽56厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形，不许有剩余。问正方形的边长是多少？

一张硬纸板长75厘米，宽45厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形，不许有剩余.问正方形的边长是多少?

例2 甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶，甲车行一周要36分钟,乙车行一周要30分钟，丙车行一周要48分钟，三辆汽车同时从同一个起点出发，问至少要多少时间这三辆汽车才能同时又在起点相遇？

例3 一个四边形广场,边长分别为60米，72米，96米,84米,现要在四角和四边植树，若四边上每两棵树间距相等，至少要植多少棵树?

86

例4 一盒围棋子，4个4个地数多1个，5个5个地数多1个,6个6个地数还多1个.又知棋子总数在150到200之间，求棋子总数。

一个数同时被2、3、5整除余1 ，这个数最小是多少？

一个数同时被2、3、5整除少1 ，这个数最小是多少？

一个数除以3余数是2，这个数除以4余数是1，那么它除以12余数是多少？

某会议代表200人左右，分住房时,如果每4人住一间多1人，每6人住一间少1人，每7人住一间多6人，共有代表多少人？

一筐橘子，三三数之余一，五五数之余四，七七数之余二，框里最少有多少个橘子？

某年级学生人数在200-250之间，若列队4人一排余一人，五人一排余三人，六人一排余五人，问这个年级有多少学生?

87

例5，祖孙两人，今年爷爷的年龄是孙子年龄的6倍，过几年后，爷爷的年龄是孙子年龄的5倍，再过若干年后，爷爷的年龄是孙子年龄的4倍，那么爷爷今年多少岁,孙子今年多少岁?

例6 甲乙两数之比为5：3、他们的最大公因数最小公倍数的和是240，求甲乙两数?

有两个自然数，其最小公倍数与最大公因数之差为162，两数之比为4:7，则这两数之差是多少？

88

组合推理问题

在下表中第100行左边第一个数是：____________________

5 6 13 14 4 7 12 15 3 8 11 16 2 9 10 17 ……

1000位于第____________列

第一列 9 17 第二列 2 8 10 16 第三列 第四列 第五列 3 7 11 15 ……

4 6 12 14 5 13 图形面积 1. 一个等腰直角三角形，最长边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？

2. 一个正方形的边长是2米，以正方形的对角为直径做一个圆。这个圆的周长和面积分别

是多少?

3. 一个梯形的上底是10厘米，下底是30厘米，请问在此梯形的上底和下底所对应的三角

的面积之比。

90

梯形ABCD，对角线AC、BD相交于E,三角形ABE与三角形DCE大小有什么关系？

91

直角三角形ABC三边分别是5、3、4将直角边AC对折到斜边AB上求阴影部分（未重合部分）面积要计算过程

如图，长方形ABCD中，BE：EC=2:3，DF：FC=1：2，三角形DFG的面积为2平方厘米,求长方形ABCD的面积.

92

如图长方形ABCD的面积为24平方厘米,而△ABE、△AFD的面积分别为4和9平方厘米，求阴影部分面积.

93

已知长方形ABCD的面积是24平方厘米，△ABE的面积是5平方厘米,△AFD的面积是6平方厘米,求△ECF的面积?

如图长方形，长18厘米,宽12厘米，AE,AF两条线段把长方形面积三等分,求三角形AEF的面积.

如图,在长方形ABCD中,线段AE,AF将长方形分成三等分.已知三角形AEF的面积是10平方厘米，求ABCD面积.

94

如下图的长方形ABCD被AE分成两部分,已知阴影部分面积比空白部分大20平方厘米,阴影

如下图BD，DE,EC的长分别是2厘米，4厘米,2厘米,F是AE的中点,三角形ABC中BC边上的高为4厘米,则三角形DEF的面积是多少?

如下图，三角形ABC面积为27平方厘米，AE=三分之一CE BF=三分之一BC，求三角形BEF的面积

95

96

97

98

练习五

99

100

组合图形的周长和面积

例1.求阴影部分的面积。(单位:厘米)

补充：下图中三角形最长边是12厘米，求阴影部分面积

例2.正方形面积是7平方厘米,求阴影部分的面积。（单位：厘米）

补充：正方形面积为30平方厘米，求阴影部分面积

例3。求图中阴影部分的面积。（单位：厘米)

101

例4。求阴影部分的面积。(单位：厘米)

例5。求阴影部分的面积.(单位：厘米）

例13。求阴影部分的面积。(单位：厘米）

例14。求阴影部分的面积。(单位：厘米）

例15.已知直

角三角形面积是12平方厘米，求阴影部分的面积。

102

例30.如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分甲比阴影部分乙面积大28平方厘米，AB=40厘米。求BC的长度.

一段长62。8米的篱笆，要围成一个花坛，一面靠墙,要使面积最大,怎样做？

103

立体图形

一个长方体的棱长总和是96厘米，如果长、宽、高的比是3：2：1，那么这个长方体的体积是多少立方厘米？

一个长方体棱长之和是220cm,长与宽的比为2：1，宽与高的比为3：2，求长方体的体积．

一个长方体，它的长宽高分别是6分米，5分米，4分米,把她分成两个长方体，面积最大增加多少？最少增加多少？

长宽高分别是50厘米,40厘米、60厘米 的长方体水箱中装有AB两个进水管，先开A管，15分钟时水位升高到10厘米处，然后立即再开B管,到20分钟时，水位升高到30厘米处，问每分钟进水多少毫升?

104

有一个长方体容器,它的底面是一个边长60厘米的正方形，容器里直立着一个高一米，底面边长为十五厘米的长方体铁块,这时容器里的水深0.5米,现在把铁块向上提起24厘米,那么水面会下降多少厘米？露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？

一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱比圆锥的体积多2.8平方米，则圆柱的体积是多少立

一个圆柱和一个圆锥等底等高.已知他们的体积相差30立方厘米，求圆柱和圆锥的体积.

一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知它们的体积之和是96立方米,已知半径是2米，圆柱的侧面积是多少？

105

有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈）,容积是30立方分米.现在瓶中装有一些饮料,正放时饮料高度为20厘米,倒放时空与部分的高度为5厘米.问：瓶中现有饮料多少立方分米？

有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是480ml,现在平中装有一些饮料。瓶子正放时,饮料高度为20cm,倒放时空余部分高度为4cm。瓶内现有饮料多少毫升?

把一个横截面为正方形的长方体削成一个最大的圆锥体，已知圆锥底面周长6.28厘米，高4厘米,原来长方体的体积是多少？

106

学校要盖一间教室,内长9米,宽6米,为了打墙基,需要挖宽0。5米,宽0.5米的沟,一,一共要挖多少立方米的土

在一个长46厘米,宽25厘米，高30厘米的长方体观赏鱼缸中放有一块高为28厘米,体积为4200立方厘米的假石山如果水管以每分8立方分米的流量向鱼缸注水那么至少需要多长时间才能使假山石完全淹

一个无水观赏鱼缸长50厘米，宽35厘米,里面放有一块高为30cm，体积为300cm 3 的假石山．如果水管以每分钟9dm 3 的流量向鱼缸内注水，至少需要多少时间才能将假石山完全淹没？

107

简便运算

加法的巧算

1999+199

1、计算下列各题，写出巧算的必要步骤。

（1）298+76 （2）786+2003 (3)678+996

2、计算下列各题,写出巧算的必要步骤。

（1）203+499+97+501 （2）236+192+208+7

3、计算下列各题，写出巧算的必要步骤。

（1)454+（546+198) （2)80+（573+520)

4、计算下列各题，写出巧算的必要步骤。

（1）536+541+5+459 (2）125+428+875+572

5、计算下列各题，写出巧算的过程.

108

（1)9999+999+99+9 （2)1998+998+98

1、计算。

（1）576+（257—176） (2)5816

2、计算。

（1）375+283+225+17 3、计算.

(1)587+(215+313)+585

4、计算。

（1）79998+7998+798+78

—（978—194） （2)487+321+113+479 2）539+1+297 （3）996+597+407 （2）294+304+295+306+296+305 109

（5、计算。

98+97-96—95+94+93—92-91+…+6+5—4—3

110

乘法

7713255999510 3142531.41703.143200

23152.37700.46400

888125

1998199819981999

3325452445125 2536

2010201020102011

111

2003200320041200420049.654354.3520000.4352850.120062005 8

17215371741.91721582

33523455555252566.4336

112

简便运算之约分

2323232399999999

123123123123

678678678678

12345432177777

123432199993333

1211211211211212121221212121132132132132

(19191919191919191919)96969696969696969696(111111111111111111)373737373737373737 113

提取公因式再约分

997997997997997997998999899998

12336971421135391572135

13526107213512324671421

12336971421135391572135

132333173336393513

498381382498382116

114

4557974556797341

115

设元法

11111111111111（）（1）（）（1）23452342342345

11111111111111（）（1）（）（1）35793573573579

(111111111111111)()()(1)767767

116

117

拆项法（一）

111121212111111a(a1)aa1 1

1111126122030142156

1216112190

111111226312420530

61111118

11111111261220304256

151119294155261220304256

拆项法（二)

11311111313133113211511511515155118

11

111113355710011003

119

3143473710361

1232222215356399142

120

拆项法(三)

ab11abab

552323116232323232371211

11

57911131612203042

579111315 61220304256

121

122