长沙理工大学随机过程总复习题

随机过程总复习题

1、设随机过程X(t)RtC，t(0,)，C为常数，R服从[0,1]区间上的均匀分布。

（1）求X(t)的一维概率密度和一维分布函数； （2）求X(t)的均值函数、相关函数和协方差函数。

2、设W(t),t是参数为的维纳过程，R~N(1,4)是正态分布随机变量；且

2对任意的t，W(t)与R均。令X(t)W(t)R，求随机过程

X(t),t的均值函数、相关函数和协方差函数。

3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180；且每个

顾客的消费额是服从参数为s的指数分布。求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。

4、强度的泊松过程的协方差函数RX

5．设XN(0,1)，写出其特征函数及E(X),E(X), E(X

6、（15分）设N(t),t0是参数为的泊松过程，计算EN(t)N(ts)。 7．设{X(t),t22n1(s,t),CX(s,t)

),E(X2n) (n1,2,)，

0}是泊松过程，且对于任意t2t10， ，则

P{X(1)2,X(3)4,X(5)6},P{X(5)6|X(3)4}

8、已知X,Y分别服从参数为1和2的分布，且X,Y相互，求： （1）求在XYn的条件下，X的条件分布列 （2）E(X/XYn)

9 {B(t);t0}是标准布朗运动，则B(3)服从B(2)B(1(1)分布，

Cov(B(1)(3)B(2)B,(3))，。

(，2)P(|B(3)|1|B(1)1,B(2)1)

10 设{X(t),t服从

0}是正态过程，EX(t)0,EX(t)X(s)1ts0.5(ts), 则X(1)分布，X(0)X(1)服从

(5)(6)分布。

11 {N(t);t0}表示在(0,t]小时内收到的短信数目。设{N(t);t0}是强度为5条的泊松过程，且每条短信地以概率0.6是垃圾短信。则1小时内收到2条短信的概率为

(9)，1小时内收到的垃圾短信数目为2条的概率为

(10)。

12 设X(t)Acos(t)B,t，这里A,B,相互,

|x|,1x1; AN(1,1),U(0,2)，B具有概率密度f(x)0，其它. (1)计算{X(t)}的均值函数和自相关函数，并证明它是一个宽平稳过程； (2)计算时间的均值X(t)和时间的相关函数X(t)X(t)； (3)简述宽平稳过程的遍历性

（公式

cos()coscossinsin,sin()sincoscossin.)

13、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：

0.30.70P00.20.8

0.700.3（1）求两步转移概率矩阵P(2)及当初始分布为

P{X01}1,P{X02}P{X03}0

时，经两步转移后处于状态2的概率。

（2）求马尔可夫链的平稳分布。

14、设马尔可夫链的状态空间I{1,2,3,4,5}，转移概率矩阵为：

0.30.40.60.4P0100000000000

00.30.70100.30求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。

11115．已知马尔可夫链的状态空间为I{1,2,3}，初始分布为(,,)，

424141P(1)3034131401，则P12(2)334，P{X01,X12,X22}

16．设马尔可夫链{Xn,n0,1,2,}的状态空间I{0,1}，若一步转移概率矩阵为

210.90.1，初始分布为(,)，则X2的分布律为P330.10.9P(2)，P(X21,X31,X40)

17.设Xn(n0,1,2...)是只有两个状态的齐次马氏链，其n步转移概率矩阵为

11n3P(n)Dn

Cn1，则Cnn2Dn

18．设任意相继两天中，雨天转晴天的概率为

11，晴天转雨天的概率为，任一天晴或雨

23是互为逆事件，以0表示晴天状态，以1表示雨天状态，Xn表示第n天的状态（0或1）。 写出马氏链{Xn,n1}的一步转移概率矩阵；

在5月1日为晴天的条件下，5月3日为晴天；5月5日为雨天的概率各是多少？；

1/32/3002/3，19．设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为P1/3证明此链具有遍历性，

01/32/3并求其平稳分布。

20、 将2个红球4个白球任意地放入甲、乙两个盒子中，每个盒子中放3个，现从每个盒

子中各取一球，交换后放回盒中，以

X(n)表示经过n次交换后甲盒子中的红球数，则

{X(n),n0}是一齐次马尔可夫链，试求：（1）求初始分布；（2）求一步转移概率矩阵；

（3）证明{X(n),n0}是遍历链。

21、设马尔可夫链的状态空间I{1,2,3,4,5}，转移概率矩阵为：

0.30.40.60.4P0100000000000

00.30.70100.30求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。

22、考虑状态空间{1,2,3,4}上的马氏链(Xn,n0)，其一步转移概率如下

00011/201/20 P01/201/20010求从状态2出发，被4吸收的概率是多少？

23{Xn;n0}是时齐的Markov链，状态空间I{1,2,3,4}，一步转移矩阵

00011/41/41/41/4。已知P(X1)1/4,P(X2)3/4。计算 P0001/201/20001(1)P(X22); (2)P(X12,X32,X44); (3)P(X01|X11);

(4)令T4min{n0:Xn4}，求P(T4)。