2015年湖北高考文科数学试题及答案.docx

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数 学（文史类）

本试题卷共5页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的. 1．i为虚数单位，i607

A．i B．i C．1 D．1

2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 A．134石 B．169石 C．338石 3．命题“x0(0,)，lnx0x01”的否定是 A．x0(0,)，lnx0x01 C．x(0,)，lnxx1

B．x0(0,)，lnx0x01 D．x(0,)，lnxx1

D．1365石

4．已知变量x和y满足关系y0.1x1，变量y与z正相关. 下列结论中正确的是 A．x与y负相关，x与z负相关 C．x与y正相关，x与z负相关

5．l1,l2表示空间中的两条直线，若p：l1,l2是异面直线；q：l1,l2不相交，则 A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

B．x与y正相关，x与z正相关 D．x与y负相关，x与z正相关

C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

x25x66．函数f(x)4|x|lg的定义域为

x3A．(2,3) C．(2,3)(3,4]

B．(2,4] D．(1,3)x0,x0, 则 x0.(3,6]

1,7．设xR，定义符号函数sgnx0,1,A．|x|x|sgnx| C．|x||x|sgnx

B．|x|xsgn|x| D．|x|xsgnx

11”的概率，p2为事件“xy” 228． 在区间[0,1]上随机取两个数x,y，记p1为事件“xy 的概率，则

A．p1p2C．p21 2B．p1D．

1p2 21p1 2

1p2p1 29．将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0)个单位 长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则 A．对任意的a,b，e1e2 C．对任意的a,b，e1e2

B．当ab时，当ab时，e1e2 e1e2；D．当ab时，当ab时，e1e2；e1e2

10．已知集合A{(x,y)x2y21,x,yZ}，B{(x,y)|x|2,|y|2,x,yZ}，定义集合

x,1y2y)(1x,1y) AB{(1x2 A．77

AB中元素的个数为 A,(2x,2y)B}，则

B．49 C．45 D．30

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位 置．．．．．．．

上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 11．已知向量OAAB，|OA|3，则OAOB_________．

xy4,12．若变量x,y满足约束条件xy2, 则3xy的最大值是_________．

3xy0,π13．函数f(x)2sinxsin(x)x2的零点个数为_________.

214．某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额 （单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中的a_________；

（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.

第14题图 第15题图

CBD A15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在

西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_________m.

16．如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半 轴交于两点A，B（B在A的上方），且AB2. （Ⅰ）圆C的标准方程为_________； ．．

（Ⅱ）圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_________.

17． a为实数，函数f(x)|x2ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a). 当a_________时，

g(a)的值最小.

y B C A O T x

第16题图

三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）

π某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)(0,||)在某一个周期内的图象

2时，列表并填入了部分数据，如下表：

x 0 0 x Asin(x) π 2π 3π 3π 25π 65 2π 0 5 （Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解 ．．．．．．．．．．． 析式；

π个单位长度，得到yg(x)图象，求 6 yg(x)的图象离原点O最近的对称中心.

（Ⅱ）将yf(x)图象上所有点向左平行移动

19．（本小题满分12分）

设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q．已知b1a1，b22，qd，S10100．

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）当d1时，记cn20．（本小题满分13分）

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.

在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，点E是PC的 中点，连接DE,BD,BE.

（Ⅰ）证明：DE平面PBC. 试判断四面体EBCD是

否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需 写出结论）；若不是，请说明理由；

（Ⅱ）记阳马PABCD的体积为V1，四面体EBCD的

体积为V2，求

V1的值． V2an，求数列{cn}的前n项和Tn． bn第20题图

21．（本小题满分14分）

设函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，

f(x)g(x)ex，其中e为自然对数的底数.

（Ⅰ）求f(x)，g(x)的解析式，并证明：当x0时，f(x)0，g(x)1； （Ⅱ）设a0，b1，证明：当x0时，ag(x)(1a)22．（本小题满分14分）

一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DNON1，

MN3．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动．．N绕O转动，M处的笔尖画出的

f(x)bg(x)(1b). x椭圆记为C．以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设动直线l与两定直线l1:x2y0和l2:x2y0分别交于P,Q两点．若直线l

总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

y NADOBN D O x

M第22题图1

M 第22题图2

绝密★启用前

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（文史类）试题参

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 6．C 7．D 8．B 9．D 10．C 二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）

11．9 12．10 13．2 14．（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000

15．1006 16．（Ⅰ）(x1)2(y2)22；（Ⅱ）12 17．222三、解答题（本大题共5小题，共65分） 18．（12分）

π（Ⅰ）根据表中已知数据，解得A5,2,. 数据补全如下表：

6x x Asin(x) 0 π 12π 2π 3π 7π 123π 25π 65 2π 13π 120 5 0 0 π且函数表达式为f(x)5sin(2x).

6ππππ（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)5sin(2x)，因此 g(x)5sin[2(x)]5sin(2x).

6666因为ysinx的对称中心为(kπ,0)，kZ. 令2xkZ.

πkππkπ，解得x，6212kππ即yg(x)图象的对称中心为，kZ，其中离原点O最近的对称中（，0）212心为(19．（12分）

π,0). 1210a45d100,2a9d20,（Ⅰ）由题意有，1 即1

ad2,ad2,111a(2n79),a19,na11,an2n1,9解得 或或 2 故n12d2,d.bn2.b9()n1.9n9（Ⅱ）由d1，知an2n1，bn2n1，故cnTn12n1，于是 n1235792n1234n1， ① 222221135792n1Tn2345n. ② 2222222①-②可得

11112n12n3， Tn22n2n3222222n2n3故Tn6n1.

2 20．（13分）

（Ⅰ）因为PD底面ABCD，所以PDBC.

由底面ABCD为长方形，有BCCD，而PDCDD，

所以BC平面PCD. DE平面PCD，所以BCDE.

又因为PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC. 而PC形，

DEC,DEB. 即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是BCD,BCE,BCC，所以DE平面PBC.

由BC平面PCD，DE平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角

11（Ⅱ）由已知，PD是阳马PABCD的高，所以V1SABCDPDBCCDPD；

33由（Ⅰ）知，DE是鳖臑DBCE的高， BCCE，

11所以V2SBCEDEBCCEDE.

36在Rt△PDC中，因为PDCD，点E是PC的中点，所以DECE2CD， 21BCCDPDV132CDPD4. 于是

V21BCCEDECEDE621．（14分）

（Ⅰ）由f(x), g(x)的奇偶性及

f(x)g(x)ex, ①

得 f(x)g(x)ex. ②

11联立①②解得f(x)(exex)，g(x)(exex).

22当x0时，ex1，0ex1，故f(x)0. ③ 1又由基本不等式，有g(x)(exex)exex1，即g(x)1. ④

21x11xex1（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f(x)(ex)(e2x)(exex)g(x)， ⑤

2e2e21x11xex1 g(x)(ex)(e2x)(exex)f(x)， ⑥

2e2e2当x0时，

f(x) ag(x)(1a)等价于f(x)axg(x)(1a)x， ⑦

xf(x) bg(x)(1b)等价于f(x)bxg(x)(1b)x. ⑧

x设函数 h(x)f(x)cxg(x)(1c)x，

由⑤⑥，有h(x)g(x)cg(x)cxf(x)(1c)(1c)[g(x)1]cxf(x). 当x0时，

（1）若c0，由③④，得h(x)0，故h(x)在[0,)上为增函数，从而

h(x)h(0)0，

即f(x)cxg(x)(1c)x，故⑦成立.

（2）若c1，由③④，得h(x)0，故h(x)在[0,)上为减函数，从而

h(x)h(0)0，

即f(x)cxg(x)(1c)x，故⑧成立. 综合⑦⑧，得 ag(x)(1a)22．（14分）

（Ⅰ）因为|OM||MN||NO|314，当M,N在x轴上时，等号成立；

同理|OM||MN||NO|312，当D,O重合，即MNx轴时，等号成立.

f(x)bg(x)(1b). xx2y2所以椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为1.

1y

NP

OQx

DM第22题解答图

1（Ⅱ）（1）当直线l的斜率不存在时，直线l为x4或x4，都有SOPQ448.

21（2）当直线l的斜率存在时，设直线l:ykxm(k)，

2ykxm,222由2 消去，可得(14k)x8kmx4m160. y2x4y16,因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，

所以k2m24(14k2)(4m216)0，即m216k24. ① ykxm,2mm2mm又由 可得P(,)；同理可得Q(,).

12k12k12k12kx2y0,由原点O到直线PQ的距离为dSOPQ|m|1k2和|PQ|1k2|xPxQ|，可得

1112m2m2m2|PQ|d|m||xPxQ||m|. ② 222212k12k14k4k212m282. 14k24k1将①代入②得，SOPQ24k2121当k时，SOPQ8(2)8(12)8；

44k14k14k2121当0k时，SOPQ8()8(1). 22414k14k2因0k21214k1，则0422，，所以2S8(1)8， OPQ2214k14k当且仅当k0时取等号.

所以当k0时，SOPQ的最小值为8.

综合（1）（2）可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.