初中数学中的“非负
数”问题
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初中数学中的三个“非负数”问题
巴州区大和小学 李平 邮编：636031
我们知道：绝对值、偶次方、二次根式都是一个“非负数，即0（n为整数）、
≥0，
≥
。我们称其具有非负性。这三条性质常作为求解很多实
数问题的隐含条件，对于解答“0+0=0”形的代数问题非常重要，要求学生要熟练掌握。
一、绝对值的非负性
例1 若m、n满足
解：∵
，
又
，则－ｍ·ｎ= 。
∴3m－６＝０ ｎ+４＝０ ∴ｍ＝２ ｎ＝－４ ∴—ｍｎ＝－２×（－４）＝８ 。
例2 若
求：解：∵
，
，
的值
又
∴a－１＝０ ａｂ－２＝０ ∴ａ＝１ ｂ＝２
原式＝
＝
＝１－＝
二、偶次幂的非负性
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例３ 已知
解：∵
，
，求：⑴ 又
； ⑵
∴ｘ－２＝０ ３－ｙ＝０ ∴ｘ＝２ ｙ＝３
∴⑴
＝＝８ ⑵ ＝
三、二次根式的非负性 例4
已知
＋
≥０，
＝０，求ｘ，ｙ的值．
≥０，根据几个非负数之和等于
分析：因为
０，则每个非负数都等于０，可知之，得ｘ＝－１，ｙ＝４．
，从而，解
例5
＿＿．
若实数ａ、ｂ满足＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿
分析：因为≥０，≥０，故由非负数的性质，得
，两式相加，即得２ｂ－ａ＋１＝０．
例6
已知实ａ满足，求ａ-2010的值．
=
解：由ａ-20110，得ａ2011。故已知式可化为ａ-2010+ａ，
∴
=2010，两边平方并整理，得：ａ-2010＝2011．
例7
在实数范围内，求代数式的值．
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解：考虑被开方数，得故
＝０，ｘ＝４．∴原式＝１． 设等式
＝
从而，又，
例8
在实数范围内成立，其中
ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值．
解：由ａ（ｘ－ａ）≥０及ｘ－ａ≥０得ａ≥０；由ａ（ｙ－ａ）≥０及ａ－ｙ≥０得ａ≤０，故ａ＝０，从而已知式化为
，ｘ＝－ｙ≠
０，故原式＝＝.
由上面八道例题，我们可以看出：绝对值、偶次幂、二次根式的非负性通常都是作为隐含条件出现的。解答这类问题的一般思路是：①先根据绝对值、偶次幂、二次根式的非负性，求出有关字母的值；②再将所求得的字母值代入相应的代数式。求解时，还要注意突出分析过程，而不能直接代值计算。
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