精选高中模拟试卷
坡头区三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1i7i（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） zA．1 B．1 C． D．i
1． 若复数满足
2． 数列{an}的通项公式为an=﹣n+p，数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣5，设cn=
*
中c8＞cn（n∈N，n≠8），则实数p的取值范围是（ ）
，若在数列{cn}
A．（11，25） B．（12，16] C．（12，17） D．[16，17）
2
3． 点集{y）||x|﹣1）+y2=4}表示的图形是一条封闭的曲线， （x，（这条封闭曲线所围成的区域面积是（ ）A．
B．
C．
D．
4． 在△ABC中，已知a=2
，b=6，A=30°，则B=（ ）
D．45°
A．60° B．120° C．120°或60°
→→→
5． 已知点A（0，1），B（3，2），C（2，0），若AD＝2DB，则|CD|为（ ）
4
A．1 B.
3
5C. D．2 3
6． 已知实数a，b，c满足不等式0＜a＜b＜c＜1，且M=2a，N=5﹣b，P=（）c，则M、N、P的大小关系为（ ）
A．M＞N＞P B．P＜M＜N C．N＞P＞M
7． 已知集合M={0，1，2}，则下列关系式正确的是（ ） A．{0}∈M B．{0}M C．0∈M
D．0M
8． 如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段A1B上的动点，则下列结论正确的有（ ） ①三棱锥M﹣DCC1的体积为定值 ②DC1⊥D1M ③∠AMD1的最大值为90° ④AM+MD1的最小值为2．
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A．①② B．①②③ C．③④ D．②③④
，则异面直线A1C
9． 如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC．若AB=AC=AA1=1，BC=与B1C1所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
10．已知正方体的不在同一表面的两个顶点A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3），则正方体的棱长等于（ ） A．4 B．2 C． D．2 11．已知函数f（x）=ex+x，g（x）=lnx+x，h（x）=x﹣A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c
12．设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数l使得对于任意x∈I（I⊆A），有x+l∈A，且f（x+l）≥f（x），
22
则称f（x）为I上的l高调函数，如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a|﹣a，且
的零点依次为a，b，c，则（ ）
函数f（x）为R上的1高调函数，那么实数a的取值范围为（ ） A．0＜a＜1 B．﹣≤a≤ C．﹣1≤a≤1 D．﹣2≤a≤2
二、填空题
13．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数fxxlnxax有两个极值点，则实数a的取值范围是．
14．把函数y=sin2x的图象向左平移
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵
坐标不变），所得函数图象的解析式为 ． 15．0）P，Q是单位圆上的两动点且满足已知A（1，，16．17．
的展开式中
，则
+
的最大值为 ．
的系数为 （用数字作答)．
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如图，P是直线x＋y－5＝0上的动点，过P作圆C：x＋y－2x＋4y－4＝0的两切线、切点分别为A、B，当
2
2
四边形PACB的周长最小时，△ABC的面积为________．
18．记等比数列{an}的前n项积为Πn，若a4•a5=2，则Π8= ．
三、解答题
1
19．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝x2＋x＋a，g（x）＝ex.
2
（1）记曲线y＝g（x）关于直线y＝x对称的曲线为y＝h（x），且曲线y＝h（x）的一条切线方程为mx－y－1＝0，求m的值；
（2）讨论函数φ（x）＝f（x）－g（x）的零点个数，若零点在区间（0，1）上，求a的取值范围．
20．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
2 3 4 5 零件的个数x（个） 加工的时间y（小时）
2.5
3
4
4.5
（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； （3）试预测加工10个零件需要多少时间？
（2）求出y关于x的线性回归方程=x+，并在坐标系中画出回归直线；
参考公式：回归直线=bx+a，其中b==，a=﹣b．
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21．已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn=2an﹣n2+3n+2（n∈N*） （Ⅰ）求证：数列{an+2n}是等比数列； （Ⅱ）设bn=ansin（Ⅲ）设Cn=﹣
22．如图所示，一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2﹣6x﹣91=0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．
π，求数列{bn}的前n项和；
，数列{Cn}的前n项和为Pn，求证：Pn＜．
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23．已知不等式（1）求，的值 （2）解不等式
24．如图所示，已知
+
=1（a＞＞0）点A（1，
）是离心率为
的椭圆C：上的一点，斜率为
的直
.
的解集为
或
线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求△ABD面积的最大值； 的值；否则说明理由．
（Ⅲ）设直线AB、AD的斜率分别为k1，k2，试问：是否存在实数λ，使得k1+λk2=0成立？若存在，求出λ
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坡头区三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）
一、选择题
1． 【答案】A 【解析】
试题分析：i41,i21i7i3i,因为复数满足虚部为,故选A.
考点：1、复数的基本概念；2、复数代数形式的乘除运算. 2． 【答案】C
【解析】解：当an≤bn时，cn=an，当an＞bn时，cn=bn，∴cn是an，bn中的较小者， ∵an=﹣n+p，∴{an}是递减数列，
n5
∵bn=2﹣，∴{bn}是递增数列，
i1i1i7i,所以ii,zi1，所以复数的zz∵c8＞cn（n≠8），∴c8是cn的最大者，
则n=1，2，3，…7，8时，cn递增，n=8，9，10，…时，cn递减， ∴n=1，2，3，…7时，2当n=7时，2当n=9时，2
n﹣5
＜﹣n+p
总成立，
7﹣5
＜﹣7+p，∴p＞11，
n=9，10，11，…时，2n﹣5＞﹣n+p总成立，
9﹣5
＞﹣9+p，成立，∴p＜25，
而c8=a8或c8=b8，
3
若a8≤b8，即2≥p﹣8，∴p≤16，
则c8=a8=p﹣8， ∴p﹣8＞b7=2
7﹣5
，∴p＞12，
故12＜p≤16，
若a8＞b8，即p﹣8＞28﹣5，∴p＞16，
3
∴c8=b8=2，
那么c8＞c9=a9，即8＞p﹣9， ∴p＜17， 故16＜p＜17， 综上，12＜p＜17． 故选：C．
3． 【答案】A
22
【解析】解：点集{（x，y）|（|x|﹣1）+y=4}表示的图形是一条封闭的曲线，关于x，y轴对称，如图所示．
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由图可得面积S=故选：A．
=+=+2．
【点评】本题考查线段的方程特点，由曲线的方程研究曲线的对称性，体现了数形结合的数学思想．
4． 【答案】C 【解析】解：∵a=2
，b=6，A=30°，
=
=
，
∴由正弦定理可得：sinB=∵B∈（0°，180°）， ∴B=120°或60°． 故选：C．
5． 【答案】
【解析】解析：选C.设D点的坐标为D（x，y）， →→
∵A（0，1），B（3，2），AD＝2DB，
∴（x，y－1）＝2（3－x，2－y）＝（6－2x，4－2y），
x＝6－2x，5∴即x＝2，y＝，
3
y－1＝4－2y
55→
∴CD＝（2，）－（2，0）＝（0，），
33
55→
∴|CD|＝02＋（）2＝，故选C.
336． 【答案】A
【解析】解：∵0＜a＜b＜c＜1，
a
∴1＜2＜2，
＜5﹣＜1，
b＜（），
c
）＜1，
c
5﹣b=（故选：A
）＞（
b
）＞（
c
即M＞N＞P，
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【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键．
7． 【答案】C
【解析】解：对于A、B，是两个集合的关系，不能用元素与集合的关系表示，所以不正确； 对于C，0是集合中的一个元素，表述正确．
对于D，是元素与集合的关系，错用集合的关系，所以不正确． 故选C
【点评】本题考查运算与集合的关系，集合与集合的关系，考查基本知识的应用
8． 【答案】A
【解析】解：①∵A1B∥平面DCC1D1，∴线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1，又△DCC1的面积为定值，因此三棱锥M﹣DCC1的体积V=
=为定值，故①正确．
②∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，故②正确． ③当0＜A1P＜
时，在△AD1M中，利用余弦定理可得∠APD1为钝角，∴故③不正确；
④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值， 在△D1A1A中，∠D1A1A=135°，利用余弦定理解三角形得AD1=故④不正确． 因此只有①②正确． 故选：A．
=
＜2，
9． 【答案】C
【解析】解：因为几何体是棱柱，BC∥B1C1，则直线A1C与BC所成的角为就是异面直线A1C与B1C1所成的角．
直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC．若AB=AC=AA1=1，BC=CA1=故选：C．
，
，BA1=
，
三角形BCA1是正三角形，异面直线所成角为60°．
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10．【答案】A
，
【解析】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3）， ∴AB是正方体的体对角线，AB=设正方体的棱长为x， 则故选：A．
，解得x=4．
∴正方体的棱长为4，
【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式，以及正方体的体积的有关知识，属于基础题．
11．【答案】B
x
【解析】解：由f（x）=0得e=﹣x，由g（x）=0得lnx=﹣x．由h（x）=0得x=1，即c=1． 在坐标系中，分别作出函数y=e，y=﹣x，y=lnx的图象，由图象可知
x
a＜0，0＜b＜1， 所以a＜b＜c． 故选：B．
【点评】本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决本题的关键．
12．【答案】 B
【解析】解：定义域为R的函数f（x）是奇函数， 当x≥0时，
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f（x）=|x﹣a2|﹣a2=
图象如图，
2
∵f（x）为R上的1高调函数，当x＜0时，函数的最大值为a，要满足f（x+l）≥f（x），
1大于等于区间长度3a2﹣（﹣a2），
22
∴1≥3a﹣（﹣a），
∴﹣≤a≤ 故选B
【点评】考查学生的阅读能力，应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，用图解决问题的能力，属中档题．
二、填空题
13．【答案】
.
【解析】由题意,y′=lnx+1−2mx
令f′（x）=lnx−2mx+1=0得lnx=2mx−1，
函数fxxlnxmx有两个极值点,等价于f′（x）=lnx−2mx+1有两个零点， 等价于函数y=lnx与y=2mx−1的图象有两个交点，
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，
1时，直线y=2mx−1与y=lnx的图象相切， 21由图可知,当021则实数m的取值范围是（0,），21故答案为：（0,）.
2当m=
14．【答案】 y=cosx ．
【解析】解：把函数y=sin2x的图象向左平移故答案为：y=cosx．
15．【答案】 ．
【解析】解：设∴
+
．
=
故答案为：
=
，则=1×
×
=
≤
=
，
的方向任意．
．
，因此最大值为
个单位长度，得
，即y=cos2x的图象，把y=cos2x
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cosx的图象；
【点评】本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题．
16．【答案】20
【解析】【知识点】二项式定理与性质 【试题解析】通项公式为:所以系数为：
令12-3r=3，r=3．
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故答案为：17．【答案】
【解析】解析：圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的标准方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝9. 圆心C（1，－2），半径为3，连接PC，
∴四边形PACB的周长为2（PA＋AC） ＝2PC2－AC2＋2AC＝2
PC2－9＋6.
当PC最小时，四边形PACB的周长最小． 此时PC⊥l.
∴直线PC的斜率为1，即x－y－3＝0，
x＋y－5＝0由，解得点P的坐标为（4，1）， x－y－3＝0
由于圆C的圆心为（1，－2），半径为3，所以两切线PA，PB分别与x轴平行和y轴平行， 即∠ACB＝90°，
119
∴S△ABC＝AC·BC＝×3×3＝. 222
9
即△ABC的面积为. 2
9答案： 2
18．【答案】 16 ．
【解析】解：∵等比数列{an}的前n项积为Πn，
44
∴Π8=a1•a2a3•a4•a5a6•a7•a8=（a4•a5）=2=16．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查等比数列的计算，利用等比数列的性质是解决本题的关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）y＝g（x）＝ex关于直线y＝x对称的曲线h（x）＝ln x， 设曲线y＝h（x）与切线mx－y－1＝0的切点为（x0，ln x0），
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由h（x）＝ln x得
1
h′（x）＝，（x＞0），
x1x0＝m则有，
mx0－ln x0－1＝0解得x0＝m＝1. ∴m的值为1.
1
（2）φ（x）＝x2＋x＋a－ex，
2φ′（x）＝x＋1－ex， 令t（x）＝x＋1－ex， ∴t′（x）＝1－ex，
当x＜0时，t′（x）＞0，x＞0时，t′（x）＜0， x＝0时，t′（x）＝0.
∴φ′（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，∴φ′（x）max＝φ′（0）＝0， 即φ′（x）≤0在（－∞，＋∞）恒成立， 即φ（x）在（－∞，＋∞）单调递减， 且当a＝1有φ（0）＝0.
∴不论a为何值时，φ（x）＝f（x）－g（x）有唯一零点x0， 当x0∈（0，1）时，则φ（0）φ（1）＜0， 2e－3
即（a－1）（a－）＜0，
2
2e－32e－3
∴1＜a＜，即a的取值范围为（1，）．
22
20．【答案】
【解析】解：（1）作出散点图如下：
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…（3分）
（2）=（2+3+4+5）=3.5， =（2.5+3+4+4.5）=3.5，…（5分）
=54，
∴b=
xiyi=52.5
=0.7，a=3.5﹣0.7×3.5=1.05，
∴所求线性回归方程为：y=0.7x+1.05…（10分） ∴加工10个零件大约需要8.05个小时…（12分）
（3）当x=10代入回归直线方程，得y=0.7×10+1.05=8.05（小时）．
【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
21．【答案】
2*
∴当n≥2时，【解析】（I）证明：由Sn=2an﹣n+3n+2（n∈N），
，
an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1﹣2n+4，
变形为an+2n=2[an﹣1+2（n﹣1）]，当n=1时，a1=S1=2a1﹣1+3+2，解得a1=﹣4，∴a1+2=﹣2，∴数列{an+2n}是等比数列，首项为﹣2，公比为2；
n1n
（II）解：由（I）可得an=﹣2×2﹣﹣2n=﹣2﹣2n．
∴bn=ansin
π=﹣（2n+2n）
，∵ =
=（﹣1）n，
n+1n
∴bn=（﹣1）（2+2n）．
设数列{bn}的前n项和为Tn．
*2342k12k
当n=2k（k∈N）时，T2k=（2﹣2+2﹣2+…+2﹣﹣2）+2（1﹣2+3﹣4+…+2k﹣1﹣2k）
=﹣2k=﹣n．
﹣2k﹣（﹣2﹣4k）=
2k
当n=2k﹣1时，T2k﹣1=（III）证明：Cn=﹣
=
+n+1+2n+1=
+n+1．
，当n≥2时，cn．
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∴数列{Cn}的前n项和为Pn＜==，
当n=1时，c1=综上可得：∀n∈N，
*
成立．
．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“放缩法”、三角函数的诱导公式、递推式的应用，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22．【答案】
【解析】解：（方法一）设动圆圆心为M（x，y），半径为R，设已知圆的圆心分别为O1、O2，
2222
将圆的方程分别配方得：（x+3）+y=4，（x﹣3）+y=100， 当动圆与圆O1相外切时，有|O1M|=R+2…① 当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|=10﹣R…② 将①②两式相加，得|O1M|+|O2M|=12＞|O1O2|，
∴动圆圆心M（x，y）到点O1（﹣3，0）和O2（3，0）的距离和是常数12， ∴2c=6，2a=12， ∴c=3，a=6
2
∴b=36﹣9=27
所以点M的轨迹是焦点为点O1（﹣3，0）、O2（3，0），长轴长等于12的椭圆．
，轨迹为椭圆．
∴圆心轨迹方程为
（方法二）：由方法一可得方程2
，移项再两边分别平方得：
22
两边再平方得：3x+4y﹣108=0，整理得
所以圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆．
【点评】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，确定轨迹是椭圆是关键．
23．【答案】
【解析】
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解：（1）因为不等式所以所以
，
是方程，解得
的解集为
的两个解
或
（2）由（1）知原不等式为当当
时，不等式解集为时，不等式解集为
;
;
，∴a=
+
=1
c，
，即，
当时，不等式解集为
24．【答案】 【解析】解：（Ⅰ）∵
22∴b=c
= …
∴椭圆方程为又点A（1，∴
2∴c=2 ∴a=2，b=
）在椭圆上，
，
=1 …
=1，
∴椭圆方程为
（Ⅱ）设直线BD方程为y=
2
与椭圆方程联立，可得4x+22
△=﹣8b+＞0，∴﹣2
x+b，D（x1，y1），B（x2，y2）， bx+b2﹣4=0
=
，
＜b＜2
x1+x2=﹣∴|BD|=
b，x1x2=
设d为点A到直线y=∴△ABD面积S=
x+b的距离，∴d=
≤
当且仅当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为
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（Ⅲ）当直线BD过椭圆左顶点（﹣此时k1+k2=0，猜想λ=1时成立． 证明如下：k1+k2=
+
，0）时，k1=
=2
+m
=2﹣，k2=
=2 ﹣2
=﹣2
=0
当λ=1，k1+k2=0，故当且仅当λ=1时满足条件… 【点评】本题考查直线与椭圆方程的综合应用，考查存在性问题的处理方法，椭圆方程的求法，韦达定理的应
用，考查分析问题解决问题的能力．
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