福建省永安市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文

数学试题(文科)

（考试时间：120分钟 总分：100分）

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。） 1.已知集合

A{x|2x3},B{x|log2x1}，则A(CRB)（ ）

A. (2,2] B. (2,1] C. (0,3) D. (1,3) 2.若复数z= i（3﹣2i）（i是虚数单位），则 = （ ） A．2﹣3i

B．2+3i

C．3+2i D．3﹣2i

3.“a1”是“直线axy10与直线(a2)x3y20垂直”的（ ）

A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

4．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是( )

A．25 B．66 C．91 D．120

22(m5m4)(m2m)i0，则实数m的值为（ ） 5.若

A. 1 B. 0或2 C. 2 D. 0 6.下列说法正确的是 （ ）

A.类比推理是由特殊到一般的推理 B.演绎推理是特殊到一般的推理 C.归纳推理是个别到一般的推理 D.合情推理可以作为证明的步骤

7.函数f（x）的定义域为（a，b），其导函数f(x)在（a，b）内的图象如图所示，则函数

f（x）在区间（a，b）内极小值点的个数是（ ）

A．4

B．3 C．2

32 D．1

8.函数f（x）=x3x9x4的单调递减区间是（ ） （﹣3，1） B．（﹣∞，﹣3） C．（﹣1，3）

D．（3，+∞）

1

9．设m、n是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m，n//，则mn ②若//，//，m，则m ③若m//，n//，则m//n ④若，，则// 其中正确命题的序号是 ( )

A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④

10曲线y=x3x1在点（1，﹣1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）

324224A．3 B．3 C．9 D．9

11.若点P是曲线yxlnx上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为（ ）

22A．2 B．1 C．2 D．2

f(x)12.已知函数

xex，给出下列结论：

①(1,)是f(x)的单调递减区间；

1k(,)e时，直线y=k与y=f (x)的图象有两个不同交点； ②当

2yx1的图象没有公共点. ③函数y=f(x)的图象与

其中正确结论的序号是（ ）

A．①③ B．① C．①②

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。） 13.执行图1的程序框图，则输出S的值为 . 14.函数 f(x)=x﹣lnx 的单调减区间为 ． 15．已知x，y之间的一组数据如下表：

D．②③

82

对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y＝x＋1；②y＝2x－1；③y＝x－；

55

x y 2 3 3 4 4 6 5 8 6 9 图1

2

3

④y＝x.则根据最小二乘法的思想求得拟合程度最好的直线是 (填序号)．

2

216．已知

882233448k(m,n,k4,39,416,mn33881515„，观察以上等式，若均为

实数），则mkn ． 三．解答题（本大题共6小题，共70分）

17． （本题满分12分）已知复数 z=m（m﹣1）+(m22m3)i，当实数m取什么值时，复数z是：（1）零；（2）纯虚数；（3）z=2+5i；（4）表示复数z对应的点在第四象限．

1218．(本题满分12分)已知p：函数f(x)＝lg(ax－x＋a)的定义域为R；q：a≥1.如果命题“p∨q为真，

16p∧q为假”，求实数a的取值范围．

19．(本题满分12分)某地区甲校高二年级有1 100人，乙校高二年级有900人，为了统计两个学校高二年级在学业水平考试中的数学学科成绩，采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩，如下表：(已知本次测试合格线是50分，两校合格率均为100%) 甲校高二年级数学成绩：

分组 频数 分组 频数 [50,60) 10 [50,60) 15 [60,70) 25 [60,70) 30 [70,80) 35 [70,80) 25 [80,90) 30 [80,90) y [90,100] x [90,100] 5 乙校高二年级数学成绩： (1)计算x，y的值，并分别估计以上两所学校数学成绩的平均分(精确到1分)．

(2)若数学成绩不低于80分为优秀，低于80分的为非优秀，根据以上统计数据写下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异？” 优秀 非优秀 总计

322f(x)xaxbxa(a0)在x＝1处有极值10． 20．(本题满分12分)已知函数

甲校 乙校 总计 （1）求a、b的值； （2）求f(x)的单调区间；

（3）求f(x)在[0，4]上的最大值与最小值．

f(x)ex21．（本题满分12分）已知函数

12xax(aR)2

（Ⅰ）若函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；

（Ⅱ）若函数在R上是增函数，求实数a取值范围；

3

1eg(x)f(x)(a)x2a2有两个不同的极值点x，x，证明：2 （Ⅲ）如果函数12请考生在22、23题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号

22（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程 在极坐标系下，已知圆O：cossin和直线

l:sin(24)2

（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；

（2）当(0,)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标． 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)|x||x1|.

（Ⅰ）若f(x)|m1|恒成立，求实数m的最大值M；

（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a,b满足a2b2M，证明：ab2ab.

4

永安一中2015---2016学年高二下学期期中考试

数学试题(文科)答案

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）AACCD/CDCAB/CA二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）

13. 34 14．（0,1） 15.③ 16. 三．解答题（本大题共6小题，共70分）

17.（1）由可得m=1；（3分）（2）由可得m=0；（6分）

（3）由可得m=2；（9分）

（4）由题意，解得即﹣3＜m＜0（12分）

a>0

18．（12分）由p真可知1

Δ＝1－4a·a<016

（4分），解得a>2，（6分）

由p∨q为真，p∧q为假知，p和q中一个为真、一个为假．（8分） 若p真q假时a不存在，若p假q真时1≤a≤2. 综上，实数a的取值范围是1≤a≤2. （12分）

19【解】 (1)依题意甲校应抽取110人，乙校应抽取90人，

故x＝10，y＝15，估计甲校平均分为

55×10＋65×25＋75×35＋85×30＋95×10

≈75，

110

乙校平均分为

55×15＋65×30＋75×25＋85×15＋95×5

≈71.

90

(2)列2×2列联表如下：

甲校 乙校 总计 优秀 40 20 60 非优秀 70 70 140 总计 110 90 200 220040×70－20×70k＝≈4.714，

110×90×60×140

又因为4.714＞3.841，故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异”．

5

20．（1）由f(1)32ab0,f(1)1aba210，得a=4或a=-3 a0,a4,b11（经检验符合）

（2）f(x)x34x211x16,f(x)3x28x11，

由f(x)0得x1113,x21 列表分析得： f（x）在(,11113),(1,)上单调递增，(3,1)上单调递减。

（3）由（2）知: f（x）在（0，1）上单调递减，（1，4）上单调递增，

又因为f（0）=16，f（1）=10，f（4）=100，所以f（x）的最大值为100，最小值为10．

21．解：（Ⅰ）∵f（x）=ex

﹣

12x2﹣ax，∴f′（x）=ex

﹣x﹣a， ∴根据导数的几何意义可得，切线的斜率k=f'（0）=1﹣a， ∵切线方程为y=2x+b，则k=2，∴1﹣a=2，解得a=﹣1，

∴f（x）=ex

﹣

12

2x+x，∴f（0）=1，即切点（0，1）， ∴1=2×0+b，解得b=1；

（Ⅱ）由题意f'（x）＞0即ex

﹣x﹣a≥0恒成立， ∴a≤ex

﹣x恒成立．

设h（x）=ex

﹣x，则h′（x）=ex

﹣1．

当x变化时，h′（x）、h（x）的变化情况如下表： x （﹣∞，0） 0 （0，+∞） h′（x） ﹣ 0 + h（x） 减函数 极小值 增函数 ∴h（x）min=h（0）=1，∴a≤1；

（Ⅲ）∵g（x）=f（x）﹣（a﹣

12）x2

， ∴g（x）=ex

﹣

12x2﹣ax﹣ax2+12x2=ex﹣ax2﹣ax，∴g′（x）=ex

﹣2ax﹣a， ∵x1，x2是函数g（x）的两个不同极值点（不妨设x1＜x2），

6

∴ex

﹣2ax﹣a=0（*）有两个不同的实数根x1，x2 当x12时，方程（*）不成立 则，令，则

由p′（x）=0得：

当x变化时，p（x），p′（x）变化情况如下表： x p（x） ﹣ ﹣ 0 + p′（x） 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 ∴当时，方程（*）至多有一解，不合题意；

当时，方程（*）若有两个解，则

所以，．

22

12x, x023.解：（1）由已知可得f(x)1, 0x1，

2x1, x1所以fmin(x)1， „„„„„„„„„„„„3分 所以只需|m1|1，解得1m11，

7

0m2，

所以实数m的最大值M2. „„„„„„„„„„„„5分 （2）法一：综合法

a2b22ab ab1

ab1，当且仅当ab时取等号，① „„„„„„„„„„„„7分

又abab2 abab12 ababab2，当且仅当ab时取等号，② „„„„„„„„„„„„9分 由①②得，abab12，所以ab2ab „„„„„„„„„„„„10分法二：分析法因为a0,b0,

所以要证ab2ab，只需证(ab)24a2b2， 即证a2b22ab4a2b2，

a2b2M，所以只要证22ab4a2b2，„„„„„„„„„„„„7分

即证2(ab)2ab10，

即证(2ab1)(ab1)0，因为2ab10，所以只需证ab1， 下证ab1，

因为2a2b22ab，所以ab1成立，

所以ab2ab „„„„„„„„„„„„10分

8