大学专业试卷华南理工大学 理工科专业 《概率论与数理统计》2011-2012试卷A卷及参考解答

华南理工大学期末考试

《概率论与数理统计》试卷A卷

注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 可使用计算器； 3．考试形式：闭卷；

4. 本试卷共题，满分100分。考试时间120分钟。

5. 本试卷的六、七、题，有不同学分的要求，请小心阅题。

题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得 分 评卷人

可能用到的分位点：

20.975(9)2.720.975(10)3.2520.025(9)1920.025(10)20.5

t0.02582.31t0.02592.26t0.025102.23t0.0591.83t0.05101.812

(1)0.8413,(1.5)0.95,(1.96)0.975,(2)0.9772 一、(10分) 已知：

P(A)P(B)P(C)14 P(AB)P(BC)116 P(AC)0求：

P(ABC)

解：P(ABC)P(ABC)

=1-P(ABC) =1-（P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)）

=38

（P(AC)0,P(ABC)0）

二、(15分) 袋中有15个球，10个红球，5个黄球。不放回地分两次从袋中将

球逐个取出，第一次取5个球，第二次取6个球。求以下事件的概率： (1) 第二次6个球中的第5个是红球；

(2) 第一次5个球中有2个黄球且第二次6个球中有4个红球； (3) 第一次5个球中有3个红球或第二次6个球中有2个黄球； 解： (1) 设A：第二次6个球中的第5个是红球

_____________ ________

102 153(2) 设A：第一次5个球中有2个黄球

P(A) B：第二次6个球中有4个红球 原问题转换为求P(AB)

5①: Ω: C15

1AB: C52C62C4

21C52C6C4200P(AB)0.2 5C151001P(AB)P(A)*P(BA)②:

3 C52C10C32C742000.256C15C101001(3) 设A：第一次5个球中有3个红球

设B：第二次6个球中有2个黄球 原问题转换为求P(A∪B)

3423C6C52C10C52C10C9P(A),P(B)565C15C15C15

P(AB)CCCC252651514

P(A∪B)= P(A)P(B)P(AB)=

6200.62 1001三、(15分) 随机变量  服从N(0,4)，=2。求：

(1) 的概率分布密度函数f (y)； (2) E； (3) D

(1) Fη(y)=P(η=P(2ξ122lnyln2ex28dx

fη(y)= F’η(y)

=

11e2ln22yln2y8ln22

1(2) Eη =

222xex28dx

1=

22=e2ln22e1x4ln2216ln228dx

22ln2

(3) Dη = Eη2 – (Eη )2

=

12222xex28dx－e4ln2

2

1=

222e1x8ln22ln228dx－e4ln2

28ln24ln24ln224ln21 =e－e=22

四、(12分) 某种产品装在三个盒子中，第1个盒子装有3个次品和6个正品，第2个盒子装有个2个次品和10个正品，第3个盒子装有6个次品和18个正品。扔一骰子以决定选盒，若出现点数为1，2，3，选第1个盒子；若出现点数为4，选第2个盒子；若出现点数为5，6，则选第3个盒子；从选中的盒中任取一产品。试求：

(1) 取出的产品为次品的概率；

(2) 当取出的产品为次品时，它来自第1、2、3盒的概率各是多少？ 解： 设A：产品为次品 (1) (2)

Bi：产品取自第i盒，i=1、2、3 则：P(B1)=1/2, P(B2)=1/6, P(B3)=1/3

P(A|B1)=3/9, P(A|B2)=2/12, P(A|B3)=6/24 P(A) =

=

P(AB)

ii133P(B)P(AB)5/18

iii1P(Bk|A) =

P(ABk)

P(A)

351=10310k1k2 k3

五、(15分) 商场销售某种商品，每周销售量（件数）服从λ=9的泊松分布，各周的销售量相互，一年按50个销售周计。每销售一件该商品商场可获得10元利润。求 (精确到元) ：

(1) 一年中商场售出该商品件数在400件到500件之间的概率； (2) 以95%的把握估计商场销售该商品一年中能获得的最低利润是多少？ (3) 以95%的把握估计商场销售该商品一年中能获得的最高利润是多少？ 解：设ξi：第i周的销量，则：ξi～P(9)，i=1，…，50

(1)

令：μ=Eξi=9，σ2=Dξi=9

P(400i500)

i150

40050=P50i150i505050050

50

50=21=22.361=0.9818

350设：m为最低利润，求m，s.t. P10im0.95

i1(2)

m450mP10im1Pi=1－10

10i1i13505050

m45010=0.95， m=4151元 35050设：M为最高利润，求M，s.t. P10iM0.95

i1(3)

50MM450450i45050=10P10iMPi110 350350i1350

M45010=0.95， M=4849元 350

六、（2学分）(9分) 机械加工设备加工某种工件的长度 服从N(100,2.34)，在正

式出厂前需要试生产100个该种工件。试问在试生产的100个工件中长度误差不小于3%的工件个数不少于3件的概率？

解：设：事件A：长度误差不小于3%，n=100，p=P(A)

η：试生产的n个工件中长度误差不小于3%的工件个数 则：η～B(n,p) p= P(A)=P(|ξ－100|≥3)

31003=1P

2.342.342.34=21

3=0.05

2.34

λ=np=5

P(η≥3)=1-e-5(1+5+25/2)=0.8753

七、（2学分）(12分) 设二维连续型随机变量(,)的联合概率密度函数为：

Ae(2x3y) x0,y0 (x,y) x0,y00

求：(1) A的值

1 (2) (,) 落在区域D中的概率，D是由2x+3y=6，y-x=，x+6y= –1围

3成的封闭区域

解：① dx(x,y)dyAdxe(2x3y)dy1， A=6

00 ② P((ξ,η)∈D)=

1x13(x,y)D(x,y)dxdy

dy6dx1362x30

=6dx00e(2x3y)e(2x3y)dy

223=1e1e6

550 x01 0x122八、（2学分）(12分) 设随机变量  的分布函数为：Fx 1x2

31112 2x31 x3

求： ( 1 ) P1； ( 2 ) P24； ( 3 ) E 21解：① P=P1P2P3

2

=211121111 32123122111 4123②P24P2P3③ Eξ =iPii037 6六、（3、4学分）(11分) 某地某种商品在一家商场中的月消费额～N(μ,σ2),且已知σ=100元。现商业部门要对该商品在商场中的平均月消费额μ进行估计，且要求估计的结果须以不小于95%的把握保证估计结果的误差不超过20元，问至少需要随机调查多少家商场？

解：求n，s.t. PX200.95

20X20PX20P

/n/n/n

nn

55n=0.975 n=96.04 至少调查97家

5

七、（3、4学分）(10分) 自动包装机将水泥装袋，每袋的标称重量为100千克，

实际重量～N(μ,σ2)，（μ,σ2未知）标准差不能超过2千克。为检查机器的工作情况，随机地抽取10袋，测得样本均值x98.2千克，样本均方差s2.25千克。

通过检验期望和方差2来判断包装机的工作是否正常(=0.05)？

解： 1、σ未知，检验H0：μ=100 （n=10，α=0.05）

tX98.2100~tn1t9 观察值=2.53 S/n2.25/10tn1t0.02592.26拒绝原假设H0：μ=100

22、μ未知，检验H0：σ2 =σ02 =4

2102i1niX2n102S2~2n129

观察值=9*2.252/4=11.39

02.975(9)2.7,02.025(9)19 接受H0：σ2 =σ02 =4

结论：工作不正常，装袋量偏低。

x,2e2(x)八、（3、4学分）(12分) 设总体X的概率密度为：f(x)

x0其中0是未知参数。从总体X中抽取简单随机样本X1,X2,,Xn， (1) 求  的矩估计； (2) 讨论  是否具有无偏性。

2(x)x2edx解： 1、Exf(x)dx1 2

1X21n1X 其中：XXi

ni12112、EEX

22是参数的无偏估计

( 密 封 线 内 不 答 题 ) ………………………………………密………………………………………………封………………………………………线…………………………………… 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 姓名 学号 学院 专业 座位号 华南理工大学期末考试 《概率论与数理统计》试卷(A) 注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚； 2. 允许使用计算器，所有答案请直接答在试卷上； 3．考试形式：闭卷； 4. 本试卷共题，满分100分，考试时间120分钟。 题 号 一 二 三 四 得 分 评卷人 五 六 七 八 九 总分 Φ(1)=0.8413, Φ(1.65)=0.95，Φ(1.96)=0.975, Φ(1.622)=0.9474， Φ(1.298)=0.9032, ， ，, _____________ ________ 一（10分）已知在10件相同的玩具中有2件次品，从中随机取出两件，求以下事件的概率： （1） 两件都是正品 （2） 一件是正品，一件是次品 解： (1)取出两件玩具的样本数是 两件都是正品的概率 5分 (2)一件正品一件次品的概率 10分 二（12分）今有两口箱子，第一箱装有2个红球1个白球，第二箱装有3个红球2个白球。现在从两箱中任取一箱，然后再从该箱中任取两球，每次取一个，不放回。 （1） 求第一次取到红球的概率； （2） 在第一次取到红球的条件下，求第二次取到红球的概率； 2;Bj取到第j箱（j1,2) 解：记Ai第i次取到红球i1,p(B1)p(B2)12183,p(A1B1),p(A1B2) 4分 23305 p(A1)p(A1B1)p(B1)p(A1B2)p(B2)19

30 6分

19

60 10分

（2）p(A1A2)p(A1A2B1)p(A1A2B2)p(B2)p(A2A1)

p(A1A2)1 12分

p(A1)2三（10分）某工厂甲、乙、丙三车间生产同一种产品,产量分别占25%,35%,40%,

废品率分别为5%,4%和2%.产品混在一起,求： （1） 总的废品率

（2）抽检到废品时,这只废品是由甲车间生产的概率.

解：设A1={产品由甲厂生产}, A2={产品由乙厂生产}, A3={产品由丙厂生产},

B={产品是废品},由题意

P(A1)25%,P(A2)35%,P(A3)40%；

P(B|A1)5%, P(B|A2)4%, P(B|A3)2%. 3分 由全概率公式,

P(B)P(Ai)P(B|Ai)0.250.050.350.040.400.020.0345i13,

5分

从而由贝叶斯公式,

P(A1|B)

P(A1B)P(A1)P(B|A1)0.250.050.36P(B)P(B)0.0345. 10分

四（12分）设考生的外语成绩（百分制）X服从正态分布，平均成绩（即参数之值）为72分，96分以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生的成绩，

以Y表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）Y的分布列.（2）EY和DY.

解：(1) Y～B（100，p），其中

p

=

P(60X84）84-7260-7212-2-1 由0.023=p(X96)19672241() 4分 得2424120.997,即2，故1 5分 (1）-10.6826 6分 所以p2kk100kp(Yk)C(0.6826)(0.3174)100故Y的分布列为 8分

（2）EY1000.682668.26, DY68.260.317421.6657 12分

五(12分)设ξ,η是两个随机变量，其联合概率密度为

求：（1）求ξ,η边缘密度函数；

(2)判断ξ,η是否相互，并求随机变量=+的概率密度函数。

解：（1）已知

则有所以 3分

所以 6分

（2）因为 所以X Y相互。 7分

8分

此时应满足

既有

既

10分

12分

六（10分）学校食堂出售盒饭，共有三种价格4元，4.5元，5元。出售哪一种

盒饭是随机的，售出三种价格盒饭的概率分别为0.3，0.2，0.5。已知某天共售出200盒，试用中心极限定理求这天收入在910元至930元之间的概率。

解：设Xi为第i盒的价格(i1,2,,200.)，则总价XXi 1分

i1200 E(Xi)4.6,200i1D(Xi)0.19 3分

E(X)E(X)2004.6920. 4分

i D(X)D(X)2000.1938. 5分

ii1200P(910X930)P(2(910920XE(X)930920)38D(X)3810)12(1.622)120.947410.4838 9分

[ P(912X928)2(1.298)10.80 ] 10分

七（2学分）（12分）设(X,Y)的联合密度为f(x,y)Ay(1x),0x1,0yx， （1）求系数A；

（2）求(X,Y)的联合分布函数。 解：（1）由

有

所以可得：A=24 6分 （2）根据

可得：

03y48y312(xx2/2)y2F(x,y)3y48y36y24x33x41

x0或y00x10yxx10y1 0x1xyx1y1 6分

八、（2学分）(10分)若连续型随机变量X的密度函数为

ax2bxc当0x1f(x)

其他0已知EX13，DX，求系数a、b、c. 220解： 由于

f(x)dx1，所以(ax2bxc)dx1，即

0111abc1 （1） 32已知EX1112x(axbxc)dx，所以有，即 0221111abc （2） 432212222由DXEX(EX)知EX，所以x(axbxc)dx，即

0552221112abc （3） 5435联立式（1）（2）（3），解得a12,b12,c3.

(九) （2学分）（12分） 今有两封信投入编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个邮筒，设X、Y(X,Y)的联合分布；分别表示投入第Ⅰ号和第Ⅱ号邮筒信的数目，试求：（1）（2）

（3）随机变量Umax(X,Y)及Vmin(X,Y)的分布律. X和Y是否；

（1）(X,Y)的联合分布列为

Y 0 1 2

X

0 1/9 2/9 1/9

1 2/9 2/9 0 2 1/9 0 0

4分

（2）

Y 0 1 2

1 4/9 4/9 1/9

X 0 1 2

1 4/9 4/9 1/9

因P(X=0)*P(Y=0)≠P(X=0,Y=0)

X与Y不相互. 8分

（3）U、V的分布列分别为

U 0 1 2 V 0 1 2 P 1/9 6/9 2/9 P 7/9 2/9 0

12分

（七）（3、4学分）(10分)某糖厂用自动打印机装糖，已知每袋糖的质量（单位：

kg）服从正态分布。现随机地抽取9袋，并称出它们的质量，计算得

样本均值，样本标准差S＝2.5，在下列两种情形下，分别检验。

取显著性水平α＝0.05。 （1）已知

（2）未知。

解：(1)①提出假设H0:050. 1分

②找统计量.uX0~N0,1. 2分

/n③求临界值.对给定的0.05,查表得u0.0251.96. 3分 ④求观察值.u2.25. 4分 ⑤作出判断.当0.05时,u2.251.96,所以拒绝H0. 5分 (2)①提出假设H0:050. 6分

②找统计量.tX0S/n~tn1. 7分

③求临界值.对给定的0.05,查表得t0.02582.31. 8分 ④求观察值.X48.5,S2.5,t1.8. 9分 ⑤作出判断.当0.05时, t1.82.31,所以接受H0. 10分

（八）（3、4学分）（12分）设总体X的概率密度为

(1)x,f(x,)0,已知X1,X2,x(0,1)x(0,1) 1为未知参数.

,Xn是取自总体X的一个样本。求：

(1) 未知参数的矩估计量；

(2) 未知参数的极大似然估计量； (3) E(X)的极大似然估计量.

ˆ12X [ ˆ解：（1） 矩估计量 X1ˆ1 （2） 极大似然估计量 1X ] 4分 1Xˆ [11nlnXini1] 8分

1nlnXini1（3） E(X)的极大似然估计量

ˆ1ˆE(X)ˆ2

ˆˆ [ E(X)nˆ111nlnXi1i111nlnXi1n ] 12分

i1（九）（12分）设某种油漆的9个样本,其干燥时间(单位:h)分别（3、4学分）

为:6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,6.1,5.0.设干燥时间总体服从正态分布N,的置信度为95%的置信区间: (1)若由以往知0.6h; (2)若未知.

2 ,求解：(1)当方差2已知时,的置信度为0.95的置信区间为

 XZ,XZ/2/2nn 2分

已知 10.95,0.05,/20.025,n9,0.6

X16.05.795.06

4分

查表得Z/2Z0.0251.96,将这些值代入上面的区间得5.608,6.392. 6分 (2)当方差2未知时,的置信度为0.95的置信区间为

SS Xtn1,Xtn1/2/2nn 8分

已知 10.95,0.05,/20.025,n18

1X6.05.791n5.06, S(xix)20.33 n1i1 10分

2查表得t/2n1t0.02582.3060,将这些值代入上面的区间得5.558,6.442. 12分 分