10.5_可以化成一元一次方程的分式方程

10．5可以化成一元一次方程的分式方程

上海宁区娄山中学 陈越

教学目标

1.进一步了解数学思想中的“转化”思想,认识到能将分式方程转化为整式方程,从而找到解分式方程的途径。

2. 在教师的引导下,探索分式方程是如何转化为整式方程,并发现解分式方程验根的必要性。

3．在讨论可以化为一元一次方程的分式方程时，提高学生综合分析和解决实际问题的能力。 教学重点与难点

1.探索如何将分式方程转化为整式方程。 2.探索分式方程产生增根的原因。 教学流程设计

创设情景 引出新知 提出问题 引发思考 归纳总结 发现规律 加以理解 实际运用 教学过程设计

一、情景引入

小明和小丽比赛打字的速度，小丽每分钟比小明少打30个字，在相同的时间里，小丽打了2400个字，小明打了3000个字。

请问：小丽和小明每分钟分别可打多少个字？

解：设小明每分钟可打x个字，则小丽每分钟可打(x-30)个字。 根据题意可列出以下等量关系：

24003000 x30x这个方程的分母中含有未知数，与以前学过的方程不同，这就是我们要学习的分式方程。

1

分式方程的定义：

分母中含有未知数的方程叫做分式方程

以前学过的像一元一次方程、二元一次方程等这类分母中不含有未知数的方程叫整式方程

二、引发思考

如何解这个方程呢？

先由学生讨论如何解这个方程，教师可适当引导，可以设法去掉方程中分式的分母，转化为以前学过的方程来求解。

方程两边同时乘以x（x-30），得 2400x=3000（x-30）

这就转化成我们以前学过的整式方程，得 x=150 得，x－30=120

如果我们想检验一下这种方法的正确性，就需要检验一下求出的数是否是方程的解。

检验：把x=150代入原方程，

24003000 因为 左边=15030=20 右边=150=20

所以 左边=右边

所以x=150是原方程的解。

答：小明每分钟可打150个字，小丽每分钟可打120个字。

三、学习新课

练习：判断下列哪些方程是分式方程？

2

1． x+3y= 3. 5.

27 3x1 2. x1=5

x12351 4. x22x151 3x2x3 6.

x7x1 532学生讨论回答,得出结论 (1) (6)是整式方程, (2) (3) (4) 是分式方程, (5)是代数式.

例1. 解方程

2x11. 3x12 先由学生讨论如何解这个方程

在学生讨论的基础上分析,解分式方程的关键是去分母,如何去掉分母呢? 可以两边同时乘以分母的最简公分母,将分式方程转化为我们比较熟悉的整式方程

解 方程两边同时乘以2(3x+1) 2(2x-1)=3x+1 去括号,得 4x-2=3x+1 移项,化简得 x=3 检验,将x=3代入原方程,得 左边=2x11=右边

3x12所以x=3是原方程的解 一元方程的解也叫做方程的根 如x=3也可以说是方程2x11的根

3x12例2. 解方程

x1 1x1x1 由学生完成,看是否能发现问题,并发现问题产生的原因 解 方程两边同时乘以x-1,得

3

x+x-1=1, 移项,化简得 x=1,

检验,将x=1代入原方程,结果发现方程中分式的分母为零,此时分式无意义.

所以x=1不是原方程的解,原方程无解.

引出增根的概念, 使分式方程中分母为零的根叫做增根 x=1就是分式方程

x1的增根 1x1x1讨论: 1,2两题都是方程两边同时乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程,为什么第2题求出的x=1不是原方程的解呢?解分式方程时为什么有时会产生增根呢?

分式方程转化为整式方程的过程必须两边同时乘以一个适当的整式.由于这个整式可能为零,使本不相等的两边也相等了,这时就产生了增根.所以解分式方程必须检验,而检验的方法只需看所得的解是否使所乘的式子为零.

由此可以想到,只要把求得的x的值代入所乘的整式(即最简公分母),若该式的值不等于零,则是原方程的根; 若该式的值为零,则是原方程的增根,这种验根方法比较便捷.

练习: 解方程 (1).

231111x 3 (2) 3x2xx2xx2注意学生书写的格式规范

学生讨论归纳出解分式方程的一般步骤: 1.在方程的两边都乘以最简公分母,化为整式方程.

4

2.解方程. 3.检验.

教学设计说明：

本章讨论可以化为一元一次方程的分式方程，解方程中要应用分式的基本性质，并且出现了必须验根的环节，这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程，是本章教学中的难点，克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。

借助对分式的认识学习分式的内容，是一种类比的认识方法，解分式方程用的是化归思想，分式方程一般要先化为整式方程再求解，注意验根是必不可少的步骤。

本节课的引入安排了实际生活中的例子，更贴近学生的实际，在学生讨论时，注意结合分析、解决实际问题的逐步深入。在讨论分式方程的解法时，从分析分式方程的特点入手，引出解分式方程的基本思路，即通过去分母使分式方程化为整式方程，再解出未知数。这里解分式方程的基本思路是很自然、很合理地产生的，这种处理既突出了分式方程解法上的特点及其算理，又反映了整式方程与分式方程在解法上的内在联系。

在讨论增根问题时，通过具体例子展现了解分式方程时可能出现增根的现象，并结合例子分析了什么情况下产生增根，然后归纳出验根的方法。

5