古典概型解题技巧
摘 要
概率论是数学学科中从数量的侧面来研究部分随机现象的规律性方面，其理论和方法渗透到了自然科学的各个领域，而古典概型是古典概率论的主要研究内容之一，也是概率论的研究中的一个经典的研究概型。古典概型的主要研究对象是等可能事件，深入研究古典概型有助于我们更好地理解概率论中一些基本的概念，掌握概率论中的基本规律，有助于我们提高分析问题和解决问题的能力。本文主要研究古典概型中的摸球问题，分球入盒问题，随机取数问题等几种模型，分析其解题思路，总结解题技巧以及思考其应用范围。
关键词：古典概型；分球入盒；摸球问题 Title
Abstract
Keywords：
1 古典概型简介
随机现象，是现实生活中非常常见，非常普遍的一种现象。事件的发
生或者是其走向，都是由随机决定的。而这些随机性的事件都可以用概率模型来进行一定的分析，以求得相对准确的期望值。随机性虽然容易给人们生活带来一定的烦恼，但同时也是最公平的象征。在模拟计算，统计运筹中都有运用概率论的思想以及方法，所以，概率论有着明显的现实意义以及数学应用范畴。
在概率论的发展过程中，数学家们根据不同的问题，从各个不同的角
度，给与了概率不同的定义和计算的方法。但是这些定义或者计算的方法往往针对的是非常具体类型的事件和情况，所以多数都有一定的缺点，常常只是经验公式。而经过长期的发展，概率论先后给出了古典概率，几何概率，统计概率，最后才给出了概率的数学定义。
在所有的随机事件中，有一类随机事件有两个明显的特点：第一，只
有有限个可能的结果；第二，每个结果发生的可能性相同。这类随机事件是概率论初期的研究对象，我们也把这类事件叫做古典概型。 2 古典概型的计算
我们可以根据古典概型的等可能性和有限性的特点，得出模型下的概
率。古典概型的概率计算过程可以分解为三个步骤：第一，确定所研究的对象为古典概型；第二，计算样本点数；第三，利用公式计算概率。
如果本次随机事件只有有限个可能的结果，并且每一个可能的结果出
现的可能性相同，则可以确定该事件为古典概型问题。假设Ω是一个古典概型的样本空间，则对事件A：P（A）= A中的样本点数/Ω中的样本点数=m/n。在计算m和n时，经常使用排列与组合计算公式。在确定一个实验的每个基本事件发生的可能性相同的时候，往往依据问题本身所具有的某种对称性，即利用人们长期积累的关于对称性的实际经验，认为某些基本事件发生的可能性没有理由偏大或者
【1】曾宏伟 古典概型的概率计算方法与应用 偏小。
3．1 分球问题
分球问题一般为将n个球分别放到N个盒子中去，这需要考虑各种不
同的情况，比如，这n个球是否可辨，每个盒子是否有储存球的上线。而根据这些情况的不同，解题的方法与技巧也有所不同，得到的结论更是相差巨大。所以计算时需要仔细理解该题目的各项条件。例题如下：
四个可分辨的球，随机的投入到三个不同的盒子中，试求三个盒子都
【2】安永红 古典概型问题的推广
不空的概率。
这一类题目可以从2种不同的角度去思考：
第一种从多余球的角度，有四个不同的球，而有三个盒子，那么基本
的总的事件数是34。而在每个盒子都不空的情况下，必然会多出一个球。则我们需要讨论的是哪个球放入了那个盒子里面。首先，从四个球中任取三个球，以每个球放入一个盒子的形式放入盒子中，则有C34·3！种方法，这样保证了每个盒子都不空的条件。然后将余下的球放入任意一个盒子中，于是有3种方法。但是这里有一个非常容易出错的地方，在于我们是先放了三个球再放了一个球，对于两个球一个盒子的情况，我们相当于对其进行了排序，所以在计算结束的时候要除以A22。可得：
3
C4·3!·34
P（A）= 423·A2
=9
第二种思想我们可以从空盒子的角度去思考：基本事件总数是34。要
求得三个盒子都不空，我们可以用总数减去至少空一个盒子的情况：我们可以轻
1松地求出至少空一个盒子的情况：C3·(24−1) 。可得：
P（A）=1-
4C13·(2−1)4
34=9 我们可以将这个结论进行推广：
我们有N+1个球，随机的放入N个盒子中，试求每个盒子都不空的概
率。
我们可以根据第一种解题角度来思考这个问题，设所求的概率为Pn，
则：
Pn=
C2n+1·n!(n+1)!nn+1=2!·nn
3．2 随机取数问题
3．2. 1 随机地同时从袋中取出若干球
随机地同时从不可透视的口袋中取出若干球的问题是古典概型中的一类
基本的问题，它的特点是在此事件中会涉及球的种类但不涉及球的先后顺序，在计算过程中只需要考虑组合即可。例题如下：
一个袋中有8个球，其中5个黑球，3个白球，现随机地从袋中取出4本题的解题思路在于，当恰好有一个白球的时候，取出的四个球为三个
个球，求恰好有1个白球的概率。
3黑球加一个白球。从五个黑球中取出三个黑球的结果数为C5，从三个白球中取出14一个白球的结果数为C3，总的事件数为C8。可得：
P =
1C3·C53
C48
= 7
3
我们可以将这个问题进行推广：一个袋中有m个黑球，n个白球，共m+n我们可以根据上一题的解题思路用相同的方法可知，若符合题意，则一
k−q
q
个球，现随机中取出k个球（kk从n个白球中取出q个白球的可能有Cn，总的事件数为Cm+n。可得：Cm·CnP = k Cm+n
3．2. 2随机从带中取球若干次
随机取数问题不仅仅只包括了从袋中取出若干球的类型，它还涉及了随
机地从袋中取球若干次，这一类问题有分为两个种类：取出球之后放回袋中与取出球之后不放回袋中。这一类问题不止需要考虑球的种类，同时因为是多次选取，所以会涉及到取球的顺序。例题如下：
一袋中装有m+n个球，其中m个黑球，n个白球，现在每次不放回地随
机地从中取出一个球，求下列事件的概率：（1）第i次取到的是白球；（2）第i次才取到白球；（3）前i次中能取到白球；（4）前i次恰好取到了q个白球；（5）到第i次为止才取到q个白球。
（1）第i次取到的是白球，我们可以分开理解。首先，一共取了i次，
一共取了i个球，所以有Aim+n种不同的可能；其次，第i次取到的是白球则有
1Ai−1m+n−1Cn种可能。可得：
k−qq
P1=
1Ai−1m+n−1Cn
Aim+n
=m+n。
n
该问题可以理解为抽签这类概率问题的数学模型，而其结果则表现出这
类数学模型的公平性。
（2）“第i次才取到白球”，我们可以认为：“前i-1次取出的都是黑球，
1第i次取出的是白球。”根据乘法原理我们可知有Ai−1mCn种不同的取法。可得：
P2=Ai1Ai−1mCnm+n
=AinAi−1m
m+n
（3）“前i次中能取到白球”，我们可以将这个问题倒推得出，我们只要
知道“前i次都取到的是黑球”即可得出“前i次中能取到白球”的概率。而“前i次取出的都是黑球”的概率为：P=Ai
Aim
m+n
，所以“前i次中能取到白球的概率”
为：
P3=1- AiAim
m+n
i−qq
（4）“前i次中恰好取到q个白球”，我们可以理解为：“一共取出了q
个白球，i-q个黑球”，根据乘法原理我们可知应有CmCnAii种可能，可得：
CmCnAiiCmCnP4=Ai=Ci
m+nm+n
（5）“到第i次为止才取到q个白球”，我们可以理解为：“前i-1次取
到了q-1个白球，第i次取到的是白球”。其中，由“前i-1次取到了q-1个白
1i−1
球”，可知有CmCnAi−1，可知有Cn−q+1种i−1种可能，由“第i次取到的是白球”
q−1
i−qqi−qq
可能，可得：
P5=
Ci−1mCn
q−1i−11
Ai−1Cn−q+1Aim+n
CmCn(n−q+1)
= iiCm+n
i−qq−1
再让我们来讨论又放回的取球的情况。我们依然选择相同的问题：一袋
中装有m+n个球，其中m个黑球，n个白球，现在每次随机地从中取出一个球，然后放回袋中，求下列事件的概率：（1）第i次取到的是白球；（2）第i次才取到白球；（3）前i次中能取到白球；（4）前i次恰好取到了q个白球；（5）到第i次为止才取到q个白球。依次分析：
（1）“第i次取到的是白球”说明“前i-1次都是取出再放回，并且对
口袋中的球的种类及个数没有任何影响，然后第i次从n个白球中取出了一个白
1
球”，那么根据乘法原理可得应有(m+n)i-1Cn种可能的取法。可得：
P1=
(m+n)i−1C1n(m+n)i=m+n n
(2)“第i次才取到白球”说明“前i-1次都是从m个黑球中取出1个黑
球，然后第i次从n个白球中取出了1个白球”，一共有mi-1n种取法。可得：
P2=(m+n)i
(3)“前i次中能取到白球”的对立事件是“前i次中取出的都是黑球”，显然由第二问可得事件“前i次中取出的都是黑球”有mi种可能。所以可得“前i次中能取到白球”的概率为：
mi−1n
P3=1-
mi
i（m+n）
(4)“前i次中恰好取到q个白球”说明“取出的i个球中有q个白球和
i-q个黑球”，由于取出后有放回，所以每次取出白球都是从n个白球中取出，每次取出黑球都是从m个黑球中取出。根据乘法原理我们可以知道“前i次中恰好取到q个白球”应该有Cinqmi−1种取法，因此可得：
q
P4=
Cinqmi−1（m+n）
iq
(5)“到第i次为止才取到q个白球”说明“前i-1次中恰好取到q-1个白球，第i次取到的是白球”,由上题可知前i-1次中恰好取到q-1个白球共有Ci−qnq−1mi−1种可能；由于在第i次取球是，袋中仍然有n个白球，所以，第i次取到白球由n种可能。所以有乘法原理我们可以得出“到第i次为止才取到q个白球”有Ci−qnqmi−1种可能。从而可得：
q−1
q−1
P5=
Ci−qnqmi−1（m+n）
iq−1
在现实生活中，“随机从袋中取球若干次”这个问题模型有非常多的实际
应用。最常见的隶属于“抽奖”，抽奖有多种多样的形式，包括，抽签，刮卡，转盘等等。在不考虑黑心商贩谎报奖励数目的情况下，抽签可以理解为不放回地从袋中取球若干次，而转盘的所有区如果平均分成n个大小相等的区域，则可以将其看作是有放回的从袋中取球若干次。而根据两道例题的（1）问的结论，我们可以得知，这两种形式对于单个顾客而言都是相对公平的。
综上所述，古典概型在生活中有大量的实际应用，并且古典概型作为概
率论的基础模型，学好古典概型有助于加强我们对于概率的理解和学习。
