第２７卷第１２期 ２００６年１２月 仪 器 仪 表 学 报 Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ Ｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔ Ｖｏ１．２７ Ｎｏ．１２ Ｄｅｃ．２００６ 三种形状柔性铰链转动刚度的计算与分析 左行勇 刘晓明 （电子科技大学机械电子工程学院成都摘要６１００５４） 本文针对３种形状的柔性铰链进行力学分析，推导出它们各自绕ｚ轴的转动刚度计算公式；通过计算、比较和分析得出 柔性铰链中外形、几何尺寸等设计参数对转动刚度的影响程度。根据分析结果确定３种形状柔性铰链各自的微制造工艺及适 用场合，为ＭＥＭＳ中柔性铰链的设计与应用提供一定的依据 关键词柔性铰链转动刚度 弓形倒圆角直梁形椭圆形 ４６０．４０ 中图分类号ＴＨ７０３文献标识码Ａ国家标准学科分类代码Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｒｏｔａｔｉｏｎａｌ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｆｏｒ ｔｈｒｅｅ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｆｌｅｘｕｒｅ ｈｉｎｇｅｓ Ｚｕｏ Ｘｉｎｇｙｏｎｇ Ｌｉｕ Ｘｉａｏｍｉｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍｅｃｈａｔｒｏｎｉｃｓ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｏｆ Ｃｈｉｎａ，Ｃｈｅｎｇｄｕ ６１ ００５４，Ｃｈｉａ）ｎ Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｒｅｅ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｆｌｅｘｕｒｅ ｈｉｎｇｅｓ，ｔｈｅｉｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａｓ ｏｆ ｒｏ— ｔａｔｉｏｎａ１ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ａｒｏｕｎｄ ｚ～ａｘｉｓ ａｒｅ ｄｅｄｕｃｔｅｄ．Ｔｈｅ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ｄｅｓｉｇｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ，ｓｕｃｈ ａｓ ｓｈａｐｅ ａｎｄ ｇｅｏｍｅｔ— ｒｉｃ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ Ｏｎ ｒｏｔａｔｉｏｎａ１ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｔｈｒｏｕｇｈ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ，ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ａｎｄ ａｎａｌｙｓｉｓ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｒｅｓｕｌｔｓ，ｔｈｅ ｍｉｃｒｏ ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ａｐｐｌｉｃａｂｌｅ ｃｃｏａｓｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｒｅｅ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｌｆｅｘｕｒｅ ｈｉｎｇｅｓ ａｒｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａ ｇｏｏｄ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｆｏｒ ｆｌｅｘｕｒｅ ｈｉｎｇｅ ｄｅｓｉｇｎ ａｎｄ ａｐｐｌｉａｔｃｉｏｎ ｉｎ ＭＥＭＫ Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ｆｌｅｘｕｒｅ ｈｉｎｇｅ ｒｏｔａｔｉｏｎａｌ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ａｒｃｈｅｄ ｃｏｒｎｅｒ－ｆｉｌｌｅｔｅｄ ｅｌｌｉｐｔｉｃａｌ １ 引 言 弧半径Ｒ、最小厚度ｔ之间的数值关系；文献［４１则利用 Ｂａｓｉｃ语言编制的程序计算出在给定设计参数时柔性铰 链转动刚度的取值，但对于不同形状的柔性铰链没有进 步分析。 本文通过对弓形、倒圆角直梁形、椭圆形３种形状柔 随着微机电系统（ＭＥＭＳ）技术的迅速发展，柔性铰 链因具有无机械摩擦和空程、无间隙、运动灵敏度高和稳 定性好等优点而被广泛地应用于陀螺仪、加速度计、精密 天平等仪器仪表中。利用压电元件或形状记忆合金驱 动，柔性铰链机构能实现精密定位，被广泛应用于精密微 动工作台、激光焊接、光学自动聚焦系统等装置中。因 此，柔性铰链在微米级领域内有着广阔的应用前景，对其 进行研究的意义十分重大。 性铰链转动刚度计算公式的推导，利用推导的结果，在 ＭＡＴＬＡＢ软件中编写程序，计算在一定偏转角度的条件 下各设计参数与力矩 之间的关系，比较分析得出各 设计参数对柔性铰链特性参数（转动刚度）的影响程度及 ３种形状柔性铰链各自的微制造工艺和适用场合，以便 在ＭＥＭＳ设计过程中应用柔性铰链时，有确切的依据。 文献Ｅｌｉ最先给出了计算柔性铰链刚度的公式，但公 式繁琐、变量较多；文献［２］利用变量代换和微积分知识， 对文献［１］中的公式进行了简化，但仅仅分析了圆形柔性 铰链各参数对刚度的影响程度；文献［３］利用数值积分和 Ｒｏｍｂｅｒｇ方法，给出一定参数下转动刚度与柔性铰链圆 ２柔性铰链刚度计算公式的推导 ２．１ 弓形柔性铰链刚度计算公式 弓形柔性铰链的主视图如图１（ａ）所示，其横截面为 ＊本文于２００５年１２月收到。 １７２６ 仪器仪表学报 第２ ７卷 矩形，立体图如图ｌ（ｂ）所不。ｔ、ｈ、ｂ分别为弓形柔性铰 截囱为矩彤，ｔ、ｈ、ｂ分别为倒圆角直梁彤柔性铰链的最小 链的最小厚度、高度和宽度，Ｒ为弓形的圆半径， 为圆 弧的圆心角。 厚度、高度和宽度，Ｒ为倒圆角的半径，￡为直梁部分长 度。在力矩Ｍ 的作用下柔性铰链的角变形ａ 为： １２Ｍ￣ ａ 一 如图１（ａ）所示，在横轴上截取微元，在受力作用前 微元截面垂直于横轴。微元高度为ａ，长度为Ａｘ一 ＆（Ｒｓｉｎ０），宽度等于弓形的最小宽度ｂ。在力矩Ｍ 的作 用下柔性铰链的角变形ａ 为： 十Ｊ＿ｒ－／ ２丽 。￡＋ 十瓦 Ｊ （４） 』 ｄｒ一 齑 －厂２一ｆ ——— ——＿ 一３ ｎ／２（ ｔ＋２—２ｃｏｓＯ） （１） ＾一』 ｃｏｓＯ 一 ８ （２ｙ＋１）ｔａｎ ：：：：．．．．．，．．． ，．．．．．．．．一Ｊ （４ｙ＋１） ｒ１＋（４ｙ＋１）ｔａｎ２ ］。。 ４ （６ ＋３ｙ＋１）ｔａｎ （４ｙ＋１）ｚ ｒ１＋（４ｙ＋１）ｔａｎ２ ］。 ａｒｃｔａｎ（ 干Ｔｔａｎ ） （２） 式中： 。 弓形柔性铰链的转动刚度计算公式为： 是】一 Ｅ ｂＲ ２ （３） ｏ ｌ （ａ）主视图 图１弓形铰链 ２．２倒圆角直梁形柔性铰链刚度计算公式 倒圆角直梁形柔性铰链的主视图如图２所示，其横 ａｒｃｔａｎ Ｊ一４ｌｆ＋１＋器 （５） 式中： 一了Ｒ倒圆角盲梁形柔件铰锛的转动刚度计算公式为： Ｅｂｔ。．ＥｂＲ 一面十 万 （６） ／ ｏ △ 厂 ｆ 、 图２倒圆角直梁形柔性铰链主视图 ２．３椭圆形柔性铰链刚度计算公式 椭圆形柔性铰链的主视图如图３所示，其横截面为 矩形，ｔ，ｈ、ｂ分别为椭圆形柔性铰链的最小厚度、高度和 宽度，ａ 、ａ 分别为椭圆的长、短半轴。在力矩Ｍ 的作 用下柔性铰链的角变形ａ：为： ｆⅡ｜Ｍ （ ） 一ｊ一 丽 一 ２Ｍ以 （７） Ｅ （考＋２－２ｃｏｓ０）。 （考＋２－２ｃｏｓＯ）。 ａｒｃｔａｎ ４４；Ｔ－ｆ＋ （８） 式中一争。 图３椭圆形柔性铰链主视图 第１２期 左行勇等：三种形状柔性铰链转动刚度的计算与分析 １７２７ 椭圆形柔性铰链转动刚度计算公式为： （９） 当ａ 一 时，柔性铰链为圆形柔性铰链，其转动刚 度计算公式为： 汤ｎ （１０） ３柔性铰链转动刚度的计算、比较和分析 通过在ＭＡＴＬＡＢ软件中编写程序，计算在一定偏 转角的情况下，弓形、倒圆角直梁形、椭圆形和圆形柔性 铰链各设计参数与所需施加力矩Ｍ 的值，比较和分析３ 种形状的柔性铰链转动刚度与其设计参数的关系。 ３．１ 弓形柔性铰链刚度与设计参数的关系 弓形柔性铰链的转动刚度计算公式如式（３）所示， 设计参数为：材料弹性模量Ｅ，柔性铰链宽度ｂ及柔性铰 链最小厚度ｔ，圆弧半径Ｒ，圆心角 。各设计参数与柔 性铰链偏转一定角度所需力矩 之问的关系曲线如图 ４～图７所示。 ｇ 之 图４柔性铰链宽度ｂ与力矩Ｍ２的关系曲线 ２５ ２Ｏ １５ 兰 姜１０ ５ Ｏ ０ １ ０ ２ ０ ３ ０ ４ ０ ５ ０，６ ０ ７ ０ ８ ０．９ １ 柔性铰链最小厚度／ｍｍ 图５柔性铰链最小厚度ｔ与力矩Ｍ：的关系曲线 由式（３）和图４～图７分析得： （１）转动刚度与宽度ｂ呈线性递增关系。弓形和圆 图６柔性铰链圆弧半径Ｒ与力矩Ｍ：的关系曲线 １ ０．９ Ｏ ８ ０ ７ ｇ Ｏ ６ Ｏ ５ ０．４ Ｏ ３ ０．２ ０ １０ ２０ ３Ｏ ４Ｏ ５Ｏ ６Ｏ ７Ｏ ８Ｏ ９Ｏ 柔性铰链圆心角（。） 图７柔性铰链圆心角 与力矩Ｍｚ的关系曲线 形柔性铰链中ｂ与Ｍ 的关系曲线非常接近，如图４ 所示； （２）转动刚度与最小厚度ｔ呈曲线递增关系，且增速 越来越快； （３）转动刚度与半径Ｒ呈曲线递减关系，但减幅 较小； （４）转动刚度与圆心角 呈曲线递减关系，且减速 越来越平缓； （５）转动刚度与材料的弹性模量Ｅ成正比。 弓形柔性铰链各设计参数对其转动刚度的影响程度 依次为：最小厚度ｔ影响最大，其次为圆弧半径Ｒ，再次 为圆心角 ，最后为宽度ｂ。 ３．２倒圆角直梁形柔性铰链刚度与设计参数的关系 倒圆角直梁形柔性铰链的转动刚度计算公式如式 （６）所示，设计参数为：材料弹性模量Ｅ，柔性铰链宽度ｂ 及最小厚度ｔ，倒圆角半径Ｒ，直梁部分长度ｚ。各设计参 数与柔性铰链偏转一定角度所需力矩Ｍ 之问的关系曲 线如图４～图６和图８所示。 由公式（６）和图４～图６以及图８分析可得： （１）转动刚度与宽度ｂ呈线性递增关系； （２）转动刚度与最小厚度ｔ呈曲线递增关系，且增速 越来越快； １７２８ 仪器仪表学报 第２ ７卷 暑 之 ０ １ ０ ２ ０ ３ ０ ４ ０ ５ ０ ６ ０ ７ ０ ８ ０ ９ １ 倒圆角直梁形，、椭圆形 ， ｍｍ 图８倒圆角直梁形￡、椭圆形ｎ 与Ｍ：的关系曲线 （３）转动刚度与倒圆角的半径Ｒ呈曲线递减关系， 但减幅较小； （４）转动刚度与直梁部分长度ｚ呈曲线递减关系，减 幅也较小，但较Ｒ对Ｍ：的影响大； （５）转动刚度与材料的弹性模量Ｅ成正比。 倒圆角直梁形柔性铰链各设计参数对其转动刚度的 影响程度依次为：最小厚度ｔ影响最大，其次为倒圆角的 半径Ｒ，再次为直梁部分长度ｚ，最后为宽度ｂ。 ３．３椭圆形柔性铰链刚度与设计参数的关系 椭圆形柔性铰链转动刚度计算公式如式（９）所示，设 计参数为：材料弹性模量Ｅ，柔性铰链宽度ｂ及最小厚度 ｔ，椭圆长半轴ｎ 、短半轴ｎ 。各设计参数与柔性铰链偏 转一定角度所需力矩 之间的关系曲线如图４～图６ 和图８所示。 由公式（１０）和图４～图６以及图８分析可得： （１）转动刚度与宽度ｂ呈线性递增关系； （２）转动刚度与最小厚度ｔ呈曲线递增关系，且增速 越来越快； （３）转动刚度与椭圆的长半轴ｎ 成反比； （４）转动刚度与椭圆的短半轴ｎ 呈曲线递增关系， 但增幅较小； （５）转动刚度与材料的弹性模量Ｅ成正比。 椭圆形柔性铰链各参数对其转动刚度的影响程度依 次为：最小厚度ｔ影响最大，其次为椭圆的长半轴ｎ ，再 次为椭圆的短半轴ｎ ，最后为铰链的宽度ｂ。 ４结 论 在ＭＥＭＳ设计过程中，需要分析系统输入（力矩 Ｍ ）与柔性铰链相应的输出（偏转角 ）之间的关系。３ 种形状柔性铰链的最小厚度ｔ都对其特性参数（转动刚 度）影响最大。在最小厚度ｔ相等的情况下，偏转同样的 角度，倒圆角直梁形柔性铰链所需力矩最大，适合大力矩 驱动场合。弓形、圆形、椭圆形柔性铰链所需力矩相对较 小，适合小力矩驱动场合；在改变同样大小力矩的情况 下，椭圆形柔性铰链转角偏移量最大，灵敏度最高，适合 精度要求较高的场合。其次是圆形和弓形，转角偏移量 最小的是倒圆角直梁形，灵敏度最低，适合精度要求较低 的场合。 ＭＥＭＳ中元器件的设计过程中需要集成相关的微 制造加工工艺。倒圆角直梁形、圆形柔性铰链形状比较 规则，可以利用ＭＥＭＳ中体硅微制造工艺加工出来，流 程简单、成本较低。椭圆形、弓形柔性铰链则可以采用超 精密加工工艺制造出来，但费用比较昂贵；倒圆角柔性铰 链中间距离较长，系统结构设置容易，采用特殊工艺折弯 后，可作为ＭＥＭＳ中多芯片的联接件，有利于芯片散热、 增加联接强度和缩短信号传输延迟时间。椭圆形、圆形 和弓形柔性铰链可以作为ＭＥＭＳ中的传动机构和微执 行器。３种形状的柔性铰链各有优点和不足，分别能满 足不同场合的工作需要。 参考文献 ［１］ＰＡＲＯＳ Ｊ Ｍ，ＷＥＩＳＢＯＲＯ Ｌ．Ｈｏｗ ｔＯ ｄｅｓｉｇｎ ｆｌｅｘｕｒｅ ｈｉｎｇｅｓ［Ｊ］．Ｍａｃｈｉｎｅ 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