第２１卷 第１期 ２０１２年２月 运 筹 与 管 理 ０ＰＥＲＡＴ１０ＮＳ ＲＥＳＥＡＲＣＨ ＡＮＤ ＭＡＮＡＧＥＭＥＮＴ ＳＣＩＥＮＣＥ Ｖｏ１．２１，Ｎｏ．１ Ｆｅｂ．２０ｌ２ 一种考虑决策者风险偏好的区间数多属性决策方法 尤天慧， 高美丽 （东北大学工商管理学院，辽宁沈阳ｌ１０００４） 摘要：针对属性值以区间数形式给出的多属性决策问题，提出了一种决策分析方法。在本文中，首先描述了属 性值为区间数形式的多属性决策问题；然后通过引入决策者的风险偏好因子将区间数决策信息映射为实数值 决策信息，并依据属性值与属性均值绝对偏差的大小确定了属性的权重，在此基础上依据所得权重给出了基于 加权和法的方案排序方法，通过对风险偏好因子的不同取值还可进行方案排序的灵敏度分析。最后，通过一个 算例说明了本文给出方法的可行性和有效性。 关键词：多属性决策；区间数；风险偏好因子；绝对偏差；灵敏度分析 中图分类号：Ｃ９３４ 文章标识码：Ａ 文章编号：１００７—３２２１（２０１２）０１—００７０—０５ Ａｎ Ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ Ｍｕｌｔｉｐｌｅ Ａｔｔｒｉｂｕｔｅ Ｄｅｃｉｓｉｏｎ Ｍａｋｉｎｇ ｗｉｔｈ Ｉｎｔｅｒｖａｌｓ Ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｔｈｅ Ｒｉｓｋ Ｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ ｏｆ Ｄｅｃｉｓｉｏｎ—ｍａｋｅｒｓ ＹＯＵ Ｔｉａｎ—ｈｕｉ，ＧＡＯ Ｍｅｉ—ｌｉ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｂｕｓｉｎｅｓｓ Ａｄｍｉｎｉｓｔｒａｔｉｏｎ，Ｎｏｒｔｈｅａｓｔｅｒｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ １ １ ０００４，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｎ ａｐｐｒｏａｃｈ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ａｔｔｒｉｂｕｔｅ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｍａｋｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｔｔｒｉｂｕｔｅ ｖａｌ— ｕｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ ｉｉａｔｅｒｖａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｆｉｒｓｔ，ｔｈｅ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ａｔｔｒｉｂｕｔｅ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｍａｋｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｉｔｈ ｉｎｔｅｒｖａｌｓ ｉｓ ｇｉｖｅｎ．Ｔｈｅｎ，ｔｈｅ ｒｉｓｋ ｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｍａｋｅｒ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｔｈｅ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｗｉｔｈ ｉｎｔｅｒｖａｌｓ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｗｉｔｈ ｒｅａｌ ｖａｌｕｅｓ．Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ａｂｓｏｌｕｔｅ ｄｅｖｉ— ａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ａｔｔｒｉｂｕｔｅｓ ｖａｌｕｅｓ ａｎｄ ａｔｔｒｉｂｕｔｅｓ ａｖｅｒａｇｅ ｖａｌｕｅｓ ｔｏ ｇｅｔ ｔｈｅ ａｔｔｒｉｂｕｔｅ ｗｅｉｇｈｔｓ，ａ ｓｉｍｐｌｅ ａｄｄｉｔｉｖｅ ｗｅｉｇｈ— ｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｆｒｏｒ ｒａｎｋｉｎｇ ａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅｓ ｉｓ ｇｉｖｅｎ，ａｎｄ ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ｉｓ ｍａｄｅ ｂｙ ｓｅｌｅｃｔｉｎｇ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｒｉｓｋ ｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ａ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ｆｅａｓｉｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｖａｌｉｄｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ａｐｐｒｏａｃｈ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｍｕｌｔｉｐｌｅ ａｔｔｒｉｂｕｔｅ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｍａｋｉｎｇ；ｉｎｔｅｒｖａｌ ｎｕｍｂｅｒ；ｒｉｓｋ ｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ；ａｂｓｏｌｕｔｅ ｄｅｖｉａｔｉｏｎ； ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ０ 引言 多属性决策，也称有限方案多目标决策，是在考虑多个属性或指标的情况下，选择最佳备选方案或进 行方案排序的决策问题…。由于多属性决策在经济管理及工程系统等领域有着广泛的实际背景 ，所以 有关多属性决策理论与方法的研究一直是决策分析的一个重要研究方向。在多属性决策问题中，由于决 策问题的复杂性和决策者对事物判断的不确定性，决策者不能给出精确的数值，因此，在描述不确定信息 时可以采用模糊数、区间数的形式。其中，具有区间数的多属性决策问题受到了广大学者的关注 收稿日期：２０１０－０７－１９ 。 基金项目：国家自然科学基金资助项目（７０７０１００８）；教育部人文社会科学研究规划基金项目（１ｌＹＪＡ６３０１８０） 作者简介：尤天慧（１９６７一），女，副教授，研究方向：决策分析、知识管理等；高美丽（１９８４－），女，硕士研究生，研究方向：决策理论与方法。 第１期 尤天慧，等：一种考虑决策者风险偏好的区间数多属性决策方法 ７１ 文献［３～６］基于传统的ＴＯＰＳＩＳ和ＴＯＰＳＩＳ的扩展来求解区间数多属性决策问题；文献［７—１７］通过目标 规划来建模求解，最终得到方案的排序；文献［１８］给出了任意两个区间数的比较但不适于多个区间数的 比较；文献［１９］通过ＶＩＫＯＲ法的扩展来解决区间数多属性决策问题，此方法基于决策者的偏好比较任意 两个区间数，但没有给出不同偏好下的排序结果。本文则是针对属性权重未知的区间数多属性决策问题， 给出了一种决策分析方法。该方法是通过引入决策者的风险偏好因子，将区间数决策信息映射为实数值 决策信息，这样可将区间数多属性决策问题转化为传统的多属性决策问题，然后依据属性值与属性均值偏 差的大小确定属性的权重，在此基础上，给出了一种基于简单加权法的方案排序方法，并针对选取的不同 风险偏好因子，对方案排序结果进行了灵敏度分析。 １问题的描述 为了本文叙述方便，首先给出区间数的定义：设Ｒ为实数域，称 ＝［ ‘， ］＝｛ Ｉ ， ， ， ∈Ｒ｝为闭区问数，若０＜ ，则称 ＝［ ， ］为正闭区间数。若 ＝ ，该区间数退化为普通的 实数。 ． 在本文中，采用下列符号来描述具有区间数的多属性决策问题所涉及的集和量： Ｓ＝｛ｓ。，ｓ：，…，ｓ ｝表示ｍ个备选方案的集合（ｍ≥２），其中，ｓ 表示第ｉ个备选方案； Ｃ＝｛Ｃ ，ｃ ，…，ｃ ｝表示／７，个属性的集合（ｎ ２），假设这些属性是加性的，其中Ｃｉ表示第 个 属性； ｗ＝（ ，Ｗ ，…，ｔ＂Ｏ ｎ） 表示属性的权重向量，其中Ｗ，表示属性 的权重或重要程度，并且满足∑Ｗ』Ｊ １ ＝１，Ｗ ０（．『＝１，２，…，１１，）； ＝［五。『］ 表示具有区间数形式的决策矩阵，其中 ，＝［ｏ ，ｏ ］表示方案ｓ 对应于属性ｃ，上的一个 结果（或评价值），不失一般性，假设口 ０，口 ＞０。 本文要解决的问题就是根据已知的区间数决策信息（即 ，如何确定属性的权重（即ｗ），并依据 和 从备选方案的集合ｓ中选择Ｍ（＜ｍ）个满意的方案或对方案进行排序。 ２原理与方法 ２．１风险偏好的类型 对于不确定性决策问题，不同决策者因其自身性格、意志等原因会有不同的风险偏好，如何鉴别其偏 好，可使用当量法心 ¨。这是让决策者面对一种测试性，一好一坏的结果，发生概率已知，然后 令其评定介于二者之间的某一结果值，要求它与的价值完全相等，称此结果值为当量，并将其数 值记为Ｊｒ。用［ ， ，Ｙ］表示，其中 ＜Ｙ， 表示Ｙ的概率， 概率则为１一Ｏｔ，０ ０［ １。决策者风险偏好 可通过其评定的当量ｒ来刻画。把当量７－与的等价关系记为 ：［ ，Ｏｔ，Ｙ］一ｒ，称此式为当量的 元差异式，其中各变量满足 ＜ ＜Ｙ。决策者评定当量值丁需反复权衡，风险偏好的不同将得到大小不等 的ｒ值，因此不同风险偏好可由ｒ值的大小来区分。实际中可能存在以下三种风险偏好类型：①当［ ， ， Ｙ］一７中．ｒ＜Ｅ（［ ， ，Ｙ］），称决策者偏好为风险规避；②当［ ，Ｏｔ，Ｙ］一 中 ＝Ｅ（［ ，Ｏｔ，Ｙ］），称决策者偏 好为风险中立；③当［ ，Ｏｔ，Ｙ］～Ｊｒ中ｒ＞Ｅ（［．１Ｊ， ，Ｙ］），称决策者偏好为风险偏好，其中Ｅ（・）表示取［ ， ， Ｙ］的数学期望，即（１一 ） ＋ 。 根据上面所介绍的基于当量法确定风险类型的思路，下面给出不确定性区间数的基于风险偏好 的表示方法。 假定Ｏｔ在区间面＝［ ， ］上均匀分布，密度函数为ｆ（仪）＝１／（ 一 ），则Ｅ（ ， ， ）＝ ， ｕ ｌ Ｌ Ｊ ｔ Ｉ厂（ａ）ａｄａ＝ ，设．ｒ。为 ＝凡（ ）＋Ｏｅ（元） （１） ７２ 运 筹 与 管 理 ２０１２年第２１卷 其中， 称为风险偏好因子（Ｉ ｌ ０．５），它表示决策者承担风险的偏好（或程度）；ｎ（ ）为区间数 的中点 值，即ｎ（ ）＝（ ＋ ）／２；ｅ（元）为区间数 的宽度，即ｅ（ ）＝ 一 。具体地，当一０．５ ＜０时，有７－ ＜ Ｅ（ ， ， ），则称决策者为风险规避型；当 ＝０时，有 ＝Ｅ（ ，Ｏｌ， ），则称决策者为风险中立型；当 ０＜ ０．５时，有７－ ＞Ｅ（ ， ， ），则称决策者为风险偏好型。风险偏好因子 可根据决策者的风险偏好 来确定，或者在决策分析中采取关于 的灵敏度分析方法。 ２．２ 决策方法 基于前面给出的风险偏好定义，可将具有区间数的多属性决策问题转化为在风险偏好因子 意义下 具有实数值的传统多属性决策问题。 依据式（１）将区间数决策矩阵 ＝［ａ ，］ 转化为带有风险偏好因子的实数值决策矩阵 Ａ ＝［ｏ：］ ，其中矩阵Ａ 中的元素ｎ：为 Ⅱ：＝（０：＋０ Ｕ ）／２＋ （０ 一口 ），ｉ＝１，２，…，ｍ； ＝１，２，…，ｎ （２） 为了消除不同物理量纲对决策结果的影响，下面采用“比重变换法” ，将决策矩阵Ａ ＝［ｏ：］ 规 范化为决策矩阵Ｂ ＝［ｂ：］ ，其计算公式为 Ｉ ｍ ｂ：＝ｎ；／∑ｎ：， ， ｍ 当ｃｊ为效益型属性时 （３） ６：＝（１／。：）／（∑１／。；）， 当 为成本型属性时 为了确定属性的权重，首先求出各个属性的平均值６ ，即 （４） （５） ｂ ＝∑６：／ｍ， ＝１，２，…，ｎ 由式（３）和式（４）可知６ ＝１／ｍ，然后求各列属性值与其均值的绝对偏差，得到绝对偏差矩阵Ｂ ＝ ［ｂ ］ ，其中矩阵 。中的元素６：为 ｂ ＝Ｉ ｂ 一６ Ｉ，ｉ＝１，２，…，ｍ； ＝１，２，…，ｎ （６） 在此基础上计算各列的绝对偏差之和，当属性的绝对偏差和越大，说明该属性对决策的重要性越大，相应 的权重也应该越大；反之，当属性的绝对偏差和越小，属性的权重应越小或为零。据此确定出属性的权重 向量Ｗ ＝（Ｗ？，Ｗ ，…，Ｗ：） ，并对其进行归一化处理，具体的计算公式为 ∑６；／∑∑６；， ｉ：１ ，＝１ ｆ＝１ 根据所得属性的权重向量利用简单加权和法可计算各个方案的综合评价值ｄ 为 ｎ ｄ ＝∑ｗｌｂ骨 ， １，２，…，ｍ （８） 根据综合评价值ｄ 的大小对方案进行优劣的排序或选优，ｄ 愈大，相应方案愈排在前面。 综上，在考虑决策者风险偏好时，求解区间数多属性决策问题的具体步骤如下： 步骤１基于决策者的风险偏好确定０值，然后依据式（２）将区间数决策矩阵 ＝［ａｉ ］ 映射为实 数值决策矩阵Ａ ＝［ｏ：］ ； 步骤２依据式（３）和（４）将决策矩阵Ａ ＝［ａ：］ 规范化为决策矩阵Ｂ ＝［ｂ：］ ； 步骤３依据式（６）求各列属性值与其均值的绝对偏差，得到绝对偏差矩阵刀 ＝［ｂ：］ ； 步骤４ 依据式（７），求得属性的权重向量Ｗ ； 步骤５ 依据式（８），求得每个方案的综合评价值ｄ ； 步骤６ 依据求得的每个方案的综合评价值，对所有方案进行排序； 步骤７ 根据决策分析的需要，可以得出在给定风险偏好因子 意义下的方案排序结果的灵敏度分 析，即可选取不同的０值，并分析 变化对方案排序的影响。 第１期 尤天慧，等：一种考虑决策者风险偏好的区间数多属性决策方法 ７３ ３ 算例 ０ ０ ０ ● ● ● Ｏ ０ ● ● ８ ０ ８ ８ ８ ５ ９ ８ ５ ６ ， ， ， ， ， 采用文献［７］中的干部选拔例子来说明本文给出的方法的求解过程。由于考核、选拔干部是一个多 ０ Ｏ ０ Ｏ ０ 因素的决策问题，某单位在对干部进行考核选拔时，首先制定了６项考核指标（属性）：思想品德（ｃ。）、工 ０９ ９５ ９１ ８７ ８９ 作态度（ｃ ）、工作作风（Ｃ，）、文化水平和知识结构（ｃ ）、领导能力（ｃ ）和开拓能力（ｃ６），然后由群众推荐、 评议，对各项指标分别打分，再进行统计处理，并从中确定了５名候选人Ｓ＝｛Ｓ。，ｓＯ Ｏ ０ ● ● ● ０ ０ ● ● ：，ｓ ，ｓ ，Ｓ ｝。由于群众 对同一候选人所给出的指标值（属性值）并不完全相同，经过统计处理后的每个候选人在各指标（属性）下 ０ ９ ４ ９ ８ ８ ９ ９ １ ０ ：，●，， 的评价值是以区间数的形式给出的，Ｏ ０ ０ 具体的决策矩阵数据为 ● ● ● Ｏ ０ ● ● ９ ９ ８ ９ ９ ２ １ ６ ３ ２ Ａ＝ ０ ０ ０ ● ● ● ０ ０ ● ● ９１ ９ ９ ０ １ ８ ９ ５ Ｏ ， ， ， ， ， ０ ０ Ｏ ● ● ● ０ ０ ● ● ９ ９ ９ ８ ９ 本文以 ＝０（即决策者为风险中立型）为例来说明具体计算过程。首先可依据步骤１利用式（２）将决 ４ ２ ４ ８ ５ 策矩阵 映射为实数值决策矩阵Ａ。；然后由于各项属性均为效益型，可依据步骤２利用式（３）将决策矩阵 ０● ０ ０ ● ● ０ Ｏ ● ● ３ ０ １ ９ ９ ９ ８ ９ ６ １ Ａ。规范化为决策矩阵Ｂ。；再依据步骤３求得各个属性值的绝对偏差，得到绝对偏差矩阵Ｂ。；依据步骤４ ●， ， ，●， ， ● ● ● ● ● 求出相应属性权重向量ｗｏ＝（０．１６０８，０ ０ ０ ０ Ｏ ９ ０．１６４５，９ ９ ８０．１５２２， ９ ０．１５１４，０．１８０１，０．１８５０） ；并依据步骤５计算出相 ６ ２ ４ ９ ３ 应方案的综合评价值分别为：ｄ ＝０．２０３３，ｄ：＝０．２０３４，ｄ；＝０．１９８２，ｄ：＝０．１９６６，ｄ ＝０．１９８６。由此可得到 ５个方案的排序结果为１５ Ｓ，＞＿－ Ｓ，＞＿０ Ｏ Ｏ －Ｓ 。当风险偏好不同时（即选取不同的风险偏好因子时），方案的 ● ● ● Ｏ Ｏ ● ■ 排序结果可能会产生一些变化（见表１），从表１可以看出，当决策者为风险规避型时最佳候选人为ｓ，；当 ９ ９ ８ ８ ９ Ｏ ， ４ ６ ， ， ７ ０ ， ， 决策者为风险中立型或风险偏好型时最佳候选人为Ｓ，。０ ● ０ ０ ● ● ０ ０ ● ● ０．８７５ ｌ ９ ９ ８ ０．９ｌ７ ９ Ｏ ２ ０．９２５ ０．９４５ ９ ９ ０．９０５ ０．９６ 、Ｊ １Ｊ １ｊ １Ｊ １Ｊ ０．９２５ Ｏ．９Ｏ Ｏ．９１ ０．９１ ０．９５５ ０．９１５ ＿．．１－ ．【－．．【 Ａ。： ０．８９５ ０ ● ０．８５ ０．９２５ ０．９２５ ０ ０ ● ● Ｏ ０ ● ● ０．８７５ ０．９１５ ０．８６ ５ ９ ９ ９ ０．９２ ０．８６５ ０．８７５ ０ １ ９ ８ ２ ５ ０．８８５ ０．９２５ ， ， ， ， ， ０．８７５ ０ ● Ｏ．９１ ０．９２５ ０ Ｏ ● ● ０ ０ ● ● ０．９２ ０．９１ Ｏ．８６ ０．１９７５ ９ ９ ９ ９ ８ ７ ３］］０．２０２７ ０．２０３３ ０．２０６６ ０．１９９８ ２ ３ ７ ｉ］ －０．２０９８ ０．２０８８ ０．２００４ ０．２ ０．１９８９ ０．２１０８ ０．２ 日。： ０．２０２０ ０．１８９３ ０．２０３３ ０．２０２２ ０．１９３２ ０．２ ０．１９４ｌ ０．２０４９ ０．１９０１ ０．１９１３ ０．１９５４ ０．２０２２ ０．１９７５ ０．２０２７ ０．２０３３ ０．２０１０ ０．２００９ ０．１８８ ０．００２３ ０．００２７ ０．００３３ ０．００６６ ０．０００２ ０．００９８ ＾ ０．００８８ ０．０００４ ０ ０．００１１ ０．０ｌＯ８ ０ Ｂ。＝ ０．００２ ０．０１０７ ０．００３３ ０．００２２ ０．００６８ ０ ０．００５９ ０．００４９ ０．００９９ ０．００８７ ０．００４６ ０．００２２ ０．００２５ ０．００２７ ０．００３３ ０．００１１ ０．０００９ ０．０１２ 表１ 风险偏好因子取不同值及方案排序结果 由上述算例分析可见，决策者的风险偏好对决策结果有一定影响，但是变化还是比较稳定的，所以更 ７４ 运 筹 与 管 理 ２０１２年第２１卷 加符合实际情况，更具有科学性和合理性。 ４ 结束语 对于属性值为区间数、属性权重未知的区间数多属性决策问题，本文所给出的决策分析方法考虑了决 策者的风险偏好。其核心是引入了风险偏好因子，在此基础上给出了基于绝对偏差的权重确定方法，进而 利用简单加权和法得到方案的排序或选优，进一步地，可通过选取不同的风险偏好因子，对方案排序结果 进行灵敏度分析。该方法概念清晰、计算简单、并且有可操作性。 参考文献： ［１］ Ｈｗａｎｇ Ｃ Ｌ，Ｙｏｏｎ Ｋ．Ｍｕｌｔｉｐｌｅ ａｔｔｒｉｂｕｔｅ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｍａｋｉｎｇ：ｍｅｔｈｏｄｓ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ，１９８１ ２００４． ［２］ 徐泽水．不确定多属性决策方法及应用［Ｍ］．北京：清华大学出版社，尤天慧，张尧．属性权重信息不完全的区间数多属性决策方法［Ｊ］．东北大学学报（自然科学版），２００５，２６（８）： ［３］ 樊治平，７９８ ８００． ［４］ 张尧，樊治平．部分指标权重信息下的区问数多指标决策方法［Ｊ］．哈尔滨工业大学学报，２００８，４０（１０）：１６７２—１６７５． ［５］ 尤天慧，樊治平．一种基于决策者风险态度的区间数多指标决策方法［Ｊ］．运筹与管理，２００２，１１（５）：１—４． ｉ Ｆ Ｈ，Ｉｚａｄｉｋｈａｈ Ｍ．Ａｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｃ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｅｘｔｅｎｄ ＴＯＰＳＩＳ ｆｏｒ ｄｅｃｉｓｉｏｎ—ｍａｋｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｉｔｈ ｉｎｔｅｒ－ ［６］ Ｊａｈａｎｓｈａｈｌｏｏ Ｇ Ｒ，Ｌｏｔｆｖａｌ ｄａｔａ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｅｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２００６，１７５（２）：１３７５—１３８４． ［７］ 徐泽水．求解不确定型多属性决策问题的一种新方法［Ｊ］．系统工程学报，２００２，１７（２）：１７７—１８１． Ｘｕ Ｚ Ｓ．Ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｉｎ ｇｒｏｕｐ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｍａｋｉｎｇ［Ｊ］．Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，２００７，１７７ ［８］ （１１）：２３６３—２３７９． ｍｕｌｔｉｐｌｅ ａｔｔｒｉｂｕｔｅ ｄｅｃｉｓｉｏｎ—ｍａｋｉｎｇ ａｐｐｒｏａｃｈ ｆｏｒ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇ ｓｕｂｊｅｃｔｉｖｅ 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Ｓｅｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ，１９９４，６６（３）：３０１—３０６． ［１８］ Ｓｅｎｇｕｐｔａ Ａ，Ｐａｌ Ｔ Ｋ．Ｏｎ ｃｏｍｐａｒｉｎｇ ｉｎｔｅｒｖａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ［Ｊ］．Ｅｕｒｏｐｅａｎ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｏｐｅｒａｔｉｏｎａｌ Ｒｅｓｅａｒｃｈ，２ＯＯ０，１２７（１）：２８－４３． ｄｉ Ｍ Ｋ，Ｈｅｙｄａｒｉ Ｍ，Ｓｈａｈａｎａｇｈｉ Ｋ．Ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ＶＩＫＯＲ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆｒ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｍａｋｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍ ｗｉｔｈ ｉｎｔｅｒｖａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ［Ｊ］． ［１９］ ＳａｙａＡｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ，２００９，３３（５）：２２５７—２２６２． ｑｕｈａｒ Ｐ Ｈ．Ｓｔａｔｅ ｏｆｔｈｅ ａｒｔ—ｕｔｉｌｉｔｙ ａｓｓｅｓｓｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄｓ［Ｊ］．Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ Ｓｃｉｅｎｃｅ，１９８４，３０（１１）：１２８３—１３００． ［２Ｏ］ Ｆａｒ２００６，２１（５）：７７．８１． ［２１］ 姜青舫．证券投资的风险偏好与期望效用决策模型［Ｊ］．审计与经济研究，［２２］ Ｇｏｈ Ｃ Ｈ，Ｔｕｎｇ Ｙ Ｃ Ａ，Ｃｈｅｎｇ Ｃ Ｈ．Ａ ｒｅｖｉｓｅｄ ｗｅｉｇｈｔｅｄ ｓｕｍ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ ｒｏｂｏｔ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ＆Ｉｎｄｕｓｔｒｉａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，１９９６，３０（２）：１９３一ｌ９９．
