数学建模线性规划的求解

学号：201508241011 XX：何科

班级：2015级10班

一、 实验目的

1. 熟悉并掌握MATLAB的线性规划求解函数linprog()及其用法； 2. 熟悉并掌握LINGO软件求解线性规划的方法；

3. 能运用LINGO软件对线性规划问题进行灵敏度分析。

二、 实验任务

1. 2. 3. 4.

对例1和例2，在MATLAB进行求解。

对例3、4、5，在LINGO软件进行求解，并作灵敏度分析。 对“3.3 投资的收益与风险”的模型I，在MATLAB中进行求解。 对“习题5，6，7，8”进行建模与求解。

三、 实验过程与结果（对重要实验结果，截取全屏图，保存为JPG/PNG图片）

1. 例1： 代码：

f=[13 9 10 11 12 8];

A=[0.4 11 1 0 0 0; 0 0 0 0.5 1.2 1.3]; b=[800;900]; Aeq=[1 0 0 1 0 0; 0 1 0 0 1 0; 0 0 1 0 0 1]; beq=[400;600;500]; vlb=zeros(6,1); vub=[];

[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)

结果：

x = 0.0000 600.0000 0.0000 400.0000 0.0000 500.0000

fval =1.3800e+04

例2：

代码： c=[40 36];

A=[-5 -3]; b=[-45]; Aeq=[]; beq=[];

vlb=zeros(2,1); vub=[9;15];

[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 结果： x = 9.0000 0.0000

fval = 360

例3： 代码：

max=72*x1+*x2;

x1+x2<=50; 12*x1+8*x2<=480; 3*x1<=100;

结果：

Global optimal solution found.

Objective value: 3360.000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 2

Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000

2 0.000000 48.00000 3 0.000000 2.000000

4 40.00000 0.000000

灵敏度分析：

例4： 代码：

model:

title奶制品的生产销售计划;

max=24*x1+16*x2+44*x3+32*x4-3*x5-3*x6; 4*x1+3*x2+4*x5+3*x6<600; 4*x1+2*x2+6*x5+4*x6<480; x1+x5<100; x3=0.8*x5; x4=0.75*x6; end

结果：

Global optimal solution found.

Objective value: 3460.800 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 2

Model Title: 奶制品的生产销售计划

Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 1.680000 X2 168.0000 0.000000 X3 19.20000 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.00000 0.000000 X6 0.000000 1.520000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 3460.800 1.000000

2 0.000000 3.160000 3 0.000000 3.260000 4 76.00000 0.000000 5 0.000000 44.00000 6 0.000000 32.00000

灵敏度分析：

例5： 代码：

model:

title储蓄所招聘计划;

min=100*x1+100*x2+40*y1+40*y2+40*y3+40*y4+40*y5; x1+x2+y1>=4; x1+x2+y1+y2>=3; x1+x2+y1+y2+y3>=4; x2+y1+y2+y3+y4>=6; x1+y2+y3+y4+y5>=5; x1+x2+y3+y4+y5>=6; x1+x2+y4+y5>=8; x1+x2+y5>=8; y1+y2+y3+y4+y5<=3;

结果：

Global optimal solution found.

Objective value: 770.0000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 5

Model Title: 储蓄所招聘计划

Variable Value Reduced Cost X1 2.000000 0.000000 X2 4.500000 0.000000 Y1 0.000000 50.00000 Y2 1.500000 0.000000 Y3 0.000000 0.000000 Y4 0.000000 0.000000 Y5 1.500000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 770.0000 -1.000000

2 2.500000 0.000000 3 5.000000 0.000000 4 4.000000 0.000000 5 0.000000 -50.00000 6 0.000000 -50.00000 7 2.000000 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 0.000000 -50.00000 10 0.000000 60.00000

灵敏度分析：

4. 投资的收益与风险的模型I，在MATLAB中进行求解 代码：

a=0;

while(1.1-a)>1

c=[-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185]; Aeq=[1 1.01 1.02 1.045 1.065]; beq=[1];

A=[0 0.25 0 0 0; 0 0 0.15 0 0; 0 0 0 0.055 0; 0 0 0 0 0.026]; b=[a;a;a;a]; vlb=[0,0,0,0,0]; vub=[];

[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub); a; x=x'; Q=-val; plot(a,Q,'.')

axis([0 0.1 0 0.5]) hold on a=a+0.001; end

xlable('a'),ylable('Q')

结果：

习题5：

建立数学模型

解：设该工厂每天分别生产A1,A2产品x1,x2件

目标函数：maxZ=6*x1+4*x2 约束条件为：

零件装配工时： 2x1+3x2<=100 零件检验工时： 4x1+2x2<=120

X1,x2>0,且为整数 模型为：

maxZ6*x14*x22x13x2100s.t.4x12x2120x1,x2为非负整数1. 求解 程序：

max=6*x1+4*x2;

2*x1+3*x2<=100; 4*x1+2*x2<=120; x1>=0; x2>=0;

结果

Global optimal solution found.

Objective value: Infeasibilities: Total solver iterations:

Variable X1 X2

Row 1 2 3

200.0000 0.000000 2 Value Reduced Cost 20.00000 0.000000 20.00000 0.000000 Slack or Surplus Dual Price 200.0000 1.000000 0.000000 0.5000000 0.000000 1.250000

4 20.00000 0.000000 5 20.00000 0.000000

（3）灵敏度分析

Ranges in which the basis is unchanged:

Objective Coefficient Ranges

Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease

X1 6.000000 2.000000 3.333333 X2 4.000000 5.000000 1.000000

Righthand Side Ranges

Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease

2 100.0000 80.00000 40.00000 3 120.0000 80.00000 53.33333 4 0.0 20.00000 INFINITY 5 0.0 20.00000 INFINITY

（1）最优生产方案： A1型号产品为20件 A2型号产品为20件

此时型号产品获得的最大利润为200元

（4）试制了A3产品后，方案改变如下：

Global optimal solution found.

Objective value: 206.6667 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 2

Variable Value Reduced Cost X1 23.33333 0.000000 X2 0.000000 0.3333333 X3 13.33333 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 206.6667 1.000000

2 0.000000 0.6666667 3 0.000000 1.166667 4 23.33333 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 13.33333 0.000000

试制了A3产品后，生产方案变为A1生产23件，A2生产0件，A3生产13件，此时总利润增加，增加为206元，所以可以投入生产A3型产品。

习题6： 1. 建立数学模型

（1）解：设A厂供给这三个居民的煤量分别为x1,x2,,x3 B厂供给这三个居民的煤量分别为x4,x5,x6

目标函数：minZ10x15x26x34x48x515x6

约束条件为：

x1x2x360x4x5x6100x1x445x2x575x3x640xi0i1,2,3,4,5,6 模型为：

minZ10x15x26x34x48x515x6x1x2x360x4x5x6100x1x445s.t.x2x575x3x640xi0i1,2,3,4,5,6 2. 求解

3. min=10*x1+5*x2+6*x3+4*x4+8*x5+15*x6; 4. x1+x2+x3>=60; 5. x4+x5+x6>=100; 6. x1+x4>=45; 7. x2+x5>=75; 8. x3+x6>=40; 9. x1>=0; 10. x2>=0; 11. x3>=0; 12. x4>=0; 13. x5>=0; 14. x6>=0; 15.

3.结果

Global optimal solution found.

Objective value: 960.0000 Infeasibilities: 0.000000

Total solver iterations: 4

Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 9.000000 X2 20.00000 0.000000 X3 40.00000 0.000000 X4 45.00000 0.000000 X5 55.00000 0.000000 X6 0.000000 6.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 960.0000 -1.000000

2 0.000000 -1.000000 3 0.000000 -4.000000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 -4.000000 6 0.000000 -5.000000 7 0.000000 0.000000 8 20.00000 0.000000 9 40.00000 0.000000 10 45.00000 0.000000 11 55.00000 0.000000 12 0.000000 0.000000

4.灵敏度分析

Ranges in which the basis is unchanged:

Objective Coefficient Ranges

Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 10.00000 INFINITY 9.000000 X2 5.000000 5.000000 1.000000 X3 6.000000 6.000000 5.000000 X4 4.000000 4.000000 1.000000 X5 8.000000 1.000000 4.000000 X6 15.00000 INFINITY 6.000000

Righthand Side Ranges

Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease

2 60.00000 55.00000 0.0 3 100.0000 INFINITY 0.0 4 45.00000 0.0 INFINITY 5 75.00000 0.0 55.00000 6 40.00000 0.0 40.00000 7 0.0 0.0 8 0.0 20.00000 9 0.0 40.00000 10 0.0 45.00000 11 0.0 55.00000 INFINITY

12 0.0 0.0

结果：A厂分给三居民煤量分别为0吨，20吨，40吨 B厂分给三居民煤量分别为45吨，55吨，0吨 总运煤量为960吨，使得总运输量最小。 习题7：

1. 建立数学模型

解：设生产Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ种产品分别为x1,x2,x3件

目标函数：maxZ10x16x24x3 约束条件:资源约束，非负整数约束

技术服务约束：x1x2x3100劳动力约束：10x14x25x3600行政管理约束：2x12x26x3300x10,x20,x30，且x1,x2,x3为整数

模型为：

INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY maxZ10x16x24x3x1x2x310010x14x25x3600s.t.2x12x26x3300x10,x20,x30，且x1,x2,x3为整数

1、求解

max=10*x1+6*x2+4*x3; xi+x2+x3<=100; 10*x1+4*x2+5*x3<=600; 2*x1+2*x2+6*x3<=300; x1>=0; x2>=9; x3>=0;

2、结果：

Global optimal solution found.

Objective value: 800.0000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 3

Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000

X2 100.0000 0.000000 X3 0.000000 3.000000 XI 0.000000 2.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 800.0000 1.000000

2 0.000000 2.000000 3 0.000000 1.000000 4 60.00000 0.000000 5 20.00000 0.000000 6 91.00000 0.000000 7 0.000000 0.000000

习题8：

1. 建立数学模型

解：设厂生产Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三种产品分别为x1,x2,x3件

目标函数：maxZ=3x1+2x2+2.9x3

约束条件：设备有效台时约束，非负整数约束

设备A有效台时约束：8x12x210x3300设备B有效台时约束：10x15x28x3400设备C有效台时约束：2x113x210x3420x10,x20,x30，且x1,x2,x3为整数

maxZ3x12x22.9x38x12x210x330010x15x28x3400s.t.2x113x210x3420模型为： x10,x20,x30，且x1,x2,x3为整数求解

max=3*x1+2*x2+2.9*x3; 8*x1+2*x2+10*x3<=300; 10*x1+5*x2+8*x3<=400; 2*x1+13*x2+10*x3<=420; x1>=0; x2>=0;

x3>=0;

结果

Global optimal solution found.

Objective value: 135.2667 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 3

Variable Value Reduced Cost X1 22.53333 0.000000 X2 23.20000 0.000000 X3 7.333333 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 135.2667 1.000000

2 0.000000 0.3000000E-01 3 0.000000 0.2666667 4 0.000000 0.4666667E-01 5 22.53333 0.000000 6 23.20000 0.000000 7 7.333333 0.000000

（1） 当Ⅰ生产24件，Ⅱ生产24件，Ⅲ生产5件时，此方案最优，生产盈利

最大值为134.5千元 （2）由灵敏度分析可知，

Ranges in which the basis is unchanged:

Objective Coefficient Ranges

Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 3.000000 0.3333333 1.454545 X2 2.000000 0.2142857 0.7777778

X3 2.900000 1.600000 0.1500000

Righthand Side Ranges

Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 2 300.0000 165.7143 36.66667 3 400.0000 44.00000 122.9091 4 420.0000 397.71 220.0000 5 0.0 22.53333 INFINITY 6 0.0 23.20000 INFINITY 7 0.0 7.333333 INFINITY

设备B每增加一台时，利润增加0.2666667千元

若设备B借用60台时，因租金要1.8万元，此时一台时B需要的费用为0.3千元，超出了B的影子价格，顾借用设备B不合算。 由题意，投产两种新产品方案如下

这两种新产品投产后，总利润为135.96元，此时Ⅰ生产26件，Ⅱ生产19件，Ⅲ生产1件，Ⅳ生产1件，Ⅴ生产8件，相比原来的生产方案，利润有所提高，综上所述，两种新产品投产在经济上合算。 （4）改进结果如下：

Ⅰ生产22件，Ⅱ生产24件，Ⅲ生产2件，此方案的最优值为152.8千元，方案进行改进后相对于原计划总利润增加152.8134.518.3千元，该方案在原方案的基础上进行了优化，使得获利增加。