2022-2023学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线A. 2.抛物线A.
3.在空间直角坐标系A. 直线C. 直线4.在A. 65.在长方体( )A. 6.若直线A. C.
B. 与圆
B. D. C.
D.
相离，则实数m的取值范围是( )
坐标平面xOy坐标平面xOz的展开式中，
的系数为( )
C. 24
中，
，
，
D. 36，则二面角
的余弦值为
的倾斜角等于( )B.
的准线方程为( )
B.
中，点
C. ，B. 直线D. 直线
D. ，则( )坐标平面xOy坐标平面xOz
C.
D.
B. 12
7.2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有( )A. 8.设
种
，则“
B.
种
：
C.
种与直线
B. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
D. ：
种
平行”的( )
”是“直线
A. 充分不必要条件C. 充分必要条件
9.如图是一个椭圆形拱桥，当水面在l处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆．此时拱顶离水面2m，水面宽6m，那么当水位上升1m时，水面宽度为( )
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A. 10.设点A.
，
B.
，直线l：B. 6
C.
，
C. 4
D.
于点M，则D.
的最大值为( )
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.设12.在
，
，则过线段AB的中点，且与AB垂直的直线方程为__________.
的展开式中，常数项等于__________.
的焦点，点A在抛物线C上，点
，且
，则
13.设F为抛物线C：__________.14.记双曲线C：e的一个值__________.15.如图，在正方体边界的一个动点，且
的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的
中，
平面
，E为棱的中点，F是正方形内部含
给出下列四个结论：
①动点F的轨迹是一段圆弧；②存在符合条件的点F，使得③三棱锥④设直线
与平面
；
的体积的最大值为；
所成角为，则
的取值范围是
其中所有正确结论的序号是__________.
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三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.本小题10分
从4男3女共7名志愿者中，选出3人参加社区义务劳动．共有多少种不同的选择方法？
若要求选中的3人性别不能都相同，求共有多少种不同的选择方法？17.本小题15分
如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，E为线段AB的中点，
求证：；
求平面PAB与平面PBD夹角的余弦值．
18.本小题15分在平面直角坐标系中，的点P组成的集合．
，
，曲线C是由满足直线PA与PB的斜率之积等于定值
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若曲线C是一个圆或圆的一部分，求的值；
若曲线C是一个双曲线或双曲线的一部分，且该双曲线的离心率19.本小题15分已知椭圆C：求椭圆C的方程；
记斜率为1且过点F的直线为l，判断椭圆C上是否存在关于直线l对称的两点A，B？若存在，求直线AB的方程；若不存在，说明理由．20.本小题15分
的一个焦点为
，其长轴长是短轴长的2倍．
，求的取值范围．
如图，在四棱柱
，E为线段
条件①：条件②：求直线CE与求点
；
中，平面ABCD，，，
的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知．
所成角的余弦值；
到平面BCE的距离；
上，直线EM与平面
所成角的正弦值为
，求线段CM的长．
已知点M在线段
21.本小题15分已知椭圆C：求实数t的值；若过点合是一个圆．
可作两条互相垂直的直线
，
，且
，
均与椭圆C相切．证明：动点P组成的集
的焦点在x轴上，且离心率为
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答案和解析
1.【答案】D 【解析】【分析】
本题考查直线倾斜角的求法，考查倾斜角与斜率的关系，是基础题．
由直线方程求出直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求得直线的倾斜角．【解答】解：由直线设其倾斜角为则
，
即直线故选：2.【答案】D 【解析】【分析】
本题主要考查抛物线的标准方程，属于基础题.先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴正半轴上以及【解答】
解：因为抛物线的标准方程为：所以焦点在y轴正半轴上；且所以：准线方程故选：3.【答案】C 【解析】【分析】
本题考查空间中线面的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．平面xOz的一个法向量为
，易得
，再由线面平行的判定定理得解．
，即
，
，，
，
，即可求出其准线方程．
的倾斜角的大小为
，，
，可得直线的斜率为
，
，
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【解答】解：由
，
，知
，所以
，
，即
，
因为平面xOz的一个法向量为又
平面xOz，
坐标平面
所以直线故选：4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
在二项展开式的通项中，令x的指数为2，求出参数值，然后代入通项，即可求解．【解答】解：令故
的展开式通项为，解得
的系数为
，
，
故选：5.【答案】D 【解析】【分析】
本题主要考查二面角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．根据条件，可知二面角【解答】解：如图所示，在长方体
平面
所以因为所以即二面角故选：
的余弦值为，所以
为二面角
，
中，
平面，又的平面角，，所以，
，，，
的平面角为
，然后求出
即可．
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6.【答案】B 【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．
根据题意可得圆心到直线的距离大于半径，由此建立关于m的不等式，解出即可．【解答】解：圆因为直线所以故选：7.【答案】B 【解析】【分析】
本题考查了排列的相关问题，属于基础题．先将两位老师安排，再将学生全排列，即可解出．【解答】
解：先安排两位老师有共有站法故选：8.【答案】A 【解析】【分析】
本题考查两条直线平行的判定及应用，充分、必要、充要条件的判断，属于基础题.根据直线平行的条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当充分性成立．当“故选：9.【答案】A 【解析】【分析】
时，也满足直线
”是“直线
：：
与直线与直线
：：
平行，
必要性不成立，
时，两直线方程分别为
：
与直线
：
满足，两直线平行，
，
种排法，三位获奖学生有
种排法，
，即得
的圆心为与圆
或
，，半径为1，
相离，
平行”的充分不必要条件，
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本题考查了椭圆的性质，学生的数算能力，属于基础题．根据题意建立平面直角坐标系，得出椭圆的方程，即可解出．【解答】
解：如图所示，建立平面直角坐标系，
由题意可知，椭圆的长半轴长所以椭圆方程为：令故选：10.【答案】B 【解析】【分析】
得，
，
，短半轴长，
，故水面的宽度为：，
本题考查过定点的直线系，圆的方程，向量的数量积，属于综合题．先求出直线l过定点【解答】解：直线l：则设
，
，
，，
即
故点M的轨迹为该轨迹是以
，
为圆心，半径为1的圆，，解得
，
，则
，即直线l恒过点
，
，
，再根据条件求出点M的轨迹方程，再结合轨迹方程求出
的最大值．
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故选：11.【答案】【解析】【分析】
本题考查了中点坐标和直线与直线的垂直，属于基础题．求出中点坐标公式，直线与直线垂直，点斜式方程即可求出．【解答】解：则
，
，
，，
，即
，
则与AB垂直的直线方程的斜率线段AB的中点坐标为
故过线段AB的中点，且与AB垂直的直线方程为故答案为：12.【答案】15 【解析】【分析】
本题考查二项展开式的通项，二项式展开式的特定项问题，属于基础题．利用二项展开式的通项求出第【解答】解：令
展开式的通项为得
，
，
项，令x的指数为0可得常数项．
故展开式的常数项为第5项：故答案为：13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的简单性质的应用，距离公式的应用，是基础题．利用已知条件，结合抛物线的定义，求解A的坐标，然后求解即可．【解答】
解：F为抛物线C：
的焦点
，点A在C上，点
，
，
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由抛物线的定义可知所以故答案为：14.【答案】【解析】【分析】
不妨在第一象限，
内的任意一个值都满足题意
本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．求出双曲线渐近线方程，利用直线【解答】解：双曲线C：双曲线的渐近线方程为直线可得
满足条件“直线故答案为：15.【答案】②③④ 【解析】【分析】
本题考查线面平行、线线垂直的判定与性质、三棱锥体积公式、线面角定义等基础知识，考查运算求解能力，是综合题．
对于①，利用线线平行能证明平面
平面
，由此能求出点F的轨迹；
，
，即
，即
，
的离心率为e，
，
与C无公共点，推出a，b的不等式，即可得到离心率的范围．
与C无公共点，可得
，
与C无公共点”的e的一个值可以为：内的任意一个值都满足题意
对于②，利用线线垂直的判定与性质直接求解；对于③，利用三棱锥体积公式直接求解；
对于④，利用线面角的定义结合三角形性质直接求解．【解答】
解：对于①，分别取
和
的中点N，M，连接MN，
，
，
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由正方体的性质知
平面
又MN，平面
，同理平面平面
，
平面，，
平面
平面
，，
，平面，
当F在MN上运动时，有，
动点F的轨迹是线段MN，故①错误；对于②，当F为线段MN中点时，
，
又
，
，
，故②正确；的体积
，此时点F位于点N处
三棱锥的体积最大值为，故③正确；对于④，连接则
，，
的范围是
故答案为：②③④．16.【答案】解：
由题意可知选取的方法共有
种选法，
，故④正确．，
，则
与平面
所成角
，，
对于③，三棱锥又
由题意选取的人为1女2男，2女1男，共有
种选法．
【解析】本题考查了组合的简单计数原理的应用，属于基础题．利用组合的简单计数原理对各个问题逐个求解即可．
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17.【答案】解：证明：因为平面ABCD，，平面PAB，所以
平面ABCD，所以，
又底面ABCD为正方形，所以又因为
，且PA，平面PAB，所以
平面PAB，
以A点为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则则
，
，
，，，
，，令
，
设平面PBD的一个法向量为则
，即
，可得，
易知是平面PAB的一个法向量，
所以，，
所以平面PAB与平面PBD夹角的余弦值为
【解析】本题主要考查直线与平面垂直的证明，平面与平面所成角的求法，，属于中档题．根据线面垂直的性质定理，可得即可得
；
，再根据底面是正方形可证明线面垂直，由线面垂直的性质，
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建立空间直角坐标系，利用空间向量求得平面PAB与平面PBD的法向量，由向量的夹角公式，即可求得二面角的余弦值．18.【答案】解：
设点P的坐标为
，
则
，其中
，
，此时圆的方程为可得
，
，
；
，
，
，
当曲线C是一个圆或圆的一部分时，则
曲线C是一个双曲线或双曲线的一部分，由焦点在x轴上，此时则则解得
，
，，
，
，
故的取值范围为
【解析】本题考查了点的轨迹方程，双曲线的性质和圆的性质，属于中档题．根据斜率公式即可求出点的轨迹方程，根据轨迹方程，即可求出
；
由轨迹方程可得焦点在x轴上，此时19.【答案】解：
由题意可得
；
，
，
，
，
，根据离心率公式即可求出．
，解得
，
，
，此时圆的方程为
，
所以椭圆C的方程为：
由题意可得直线l的方程为
假设存在A，B满足条件，则可得直线l为线段AB的中垂线，所以直线AB的斜率为设直线AB的方程为则AB的中点
由题意可得D在直线l上，联立可得
，整理可得：
，即
，即
，
，
，设，
，
，
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，
所以
，
，可得
，
将D的坐标代入直线l上，可得：，不符合，
所以椭圆上不存在关于直线l的对称A，B两点．
【解析】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，点关于直线的对称的性质的应用，属于中档题．由离心率可得a，b的关系，再由长轴长是短轴长的2倍，可得a，b的关系，两式联立求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；
由题意可得直线l的方程，假设存在满足题中的条件，可得直线l为线段AB的中垂线，设直线AB的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和，进而求出AB的中点D的坐标，可得D点在直线l上，可得参数的值，不符合20.【答案】解：由因为所以
的条件．选择条件①：
，
，
平面
，所以
平面
，
平面ABCD，且
，，
平面ABCD，知，
，
故以A为坐标原点，AD，AB，则所以设直线CE与则
，
，，所成角为，，
所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，，
，
，
，
所以直线CE与所成角的余弦值为
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选择条件②：过点C作因为所以因为
，所以
，
，交AB于点F，
，所以四边形ADCF为平行四边形，所以
，
，即
，所以
，，
，
故以A为坐标原点，AD，AB，则所以设直线CE与则
，
，，所成角为，，
所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，，
，
，
，
所以直线CE与
，
所以
所成角的余弦值为
，，
，
设平面BCE的法向量为令所以点
设，则
，
，所以
，则
，
，即，
到平面BCE的距离
，
，则
，
，
设平面的法向量为，则，即，
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令，则，，所以，
，
因为直线EM与平面所成角的正弦值为
所以，，即，
所以，化简得，解得或，
所以或，
故线段CM的长为或
【解析】本题考查考查利用空间向量求异面直线夹角、线面角以及点到面的距离，属于中档题．选择条件①：由
，
，可证
平面
，从而有
，
，故以A为坐标原
，得解；
点建立空间直角坐标系，设直线CE与选择条件②：过点C作
，从而知
由
，
求得平面BCE的法向量设
，
所成角为，由
，交AB于点F，可证四边形ADCF为平行四边形，再结合勾股定理证明，故以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设直线CE与
，得解；，由，求得平面
，即可得解；的法向量
，由
，
，可得所成角为，
关于的方程，解之即可．21.【答案】解：且故
证明：由
，
由已知得
，故，解得
知椭圆方程为
；
，
，
，代入椭圆的标准方程化简后得：
，解得
，
，
当一条切线的斜率存在且不为0时，设其方程为
，
因为是切线，故设该切线过点②，
，故
，得
，化简得，代入①式化简得
①，
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再将代入上式整理得
，故
，且
③，④，，
②+③得当
或不存在时，两切线只能是
它们的交点为，显然满足方程④，
的圆．
故动点P组成的集合是以原点为圆心，半径为
【解析】本题考查椭圆的标准方程和离心率的求法，同时考查了直线与椭圆的位置关系问题的解题思路，属于难题．
利用离心率的计算公式直接求解；根据写出再将
，
的点斜式方程
，与椭圆的方程联立，利用
得到，k，d的关系式①，是另一条切线的斜率，
n的一个关系式②，代入切线方程，整理后代入①式，找到m，再利用
替换②式中的t，得到另一个m，n的关系式③，最后结合②③两式不难得到结论，最后验证斜率不存在的情况．
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