中科院历年高数甲_高数A真题

2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷

试卷名称：高等数学（A）

考生须知：

1.本试卷满分150分，全部考试时间总计180分钟。

2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。

_____________________________________________________________________

一、选择题（每题只有一个答案是正确的，每小题5分，共25分）

11（1）当x0时，sin是（ ）

xx A. 无穷小量 B. 无穷大量

C. 有界且非无穷小量 D. 无穷且非无穷大量

f(x)f(0)lim1，则曲线yf(x)在(0,f(0))（2）设f(x)可微且满足x02x处的切线斜率为（ ）

11A .2 B. 2 C . D.

22 （3）二元函数f(x,y)在(x0,y0)处的两个偏导数存在是f(x,y)在(x0,y0)处可微的（ ）

A. 充分条件 B. 必要条件

C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 （4）正项级数an收敛的充分条件是（ ）

n1 A .

an11 (nN) B. annan1 (nN)

 C.

(an1nan1) 收敛 D.

an12n 收敛

（5）下列广义积分中发散的是（ ） A.

0xlnxdx B. 22(1x)111x20dx

C.

1lnxdx D. 2x(x1)0ln(x21)dx x 二、填空题（每小题5分，共25分）

ex1x2________。 （1）limx0x2sin2x2 （2）曲线ysinx(0x)和x轴围成的图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积是____________。 （3）二重积分

2sinx3sinydxdy________。 sinxsinyx2y21x2y21相交所成的椭圆的面积为 （4）平面x2yz1与椭圆柱面23_________。

（5）向量场vijkxyz222的旋度为___________。

yf(x,z) 三、（8分）设二元函数f具有一阶连续偏导数，关系式 ezyz数yy(x)及zz(x) 求

dydz及。 dxdx可确定函

四、（8分）设f(x)满足条件f(x)f(x)1，f(0)2。

（1）求f(x)；

（2）求不定积分(f(x)1)lnf(x)dx。

五、（8分）求幂级数(1)nn0nn1x的收敛半径和函数。 n1 六、（8分）求微分方程y2yyex的通解。

七、（12分）设f(x)在0,1中有连续二阶导函数。

（1）证明：x(1x)f(x)dxf(0)f(1)2f(x)dx；

0011 （2）当f(0)1，f(1)1且f(x)M时，试证：

10f(x)dxM。 12 八、（12分）计算曲线积分(exsinyy)dxexcosydy，其中L是以(0,0)为起

L点 ，以(2,0)为终点的上半圆周(x1)2y21。

九、（12分）计算曲面积分(x3x)dydzzdxdy，其中S是有向曲面

Szx2y2(0z1)，其法向量与z轴正方向夹角为锐角。

十、（12分）设f(x)是以2为周期的偶函数，当0x时，f(x)1x2。

（1）将f(x)在,上展开成傅里叶级数；

1(1)n1 （2）根据（1）求和。 42nn1nn1 十一、（10分）设函数f(x)在0,上连续，在(0,)上可微，f(0)0。当x0时，0f(x)f(x)，证明f(x)恒等于0。

十二、（10分）设f(x)在(0,1)上一致连续，证明f(x)在(0,1)上有界.举例说明

逆命题不成立。

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2009年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷

试卷名称：高等数学（A）

考生须知：

1.本试卷满分150分，全部考试时间总计180分钟。

2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。

_____________________________________________________________________

一、单项选择题（每题5分，共25分）

1.如果函数f(x)，g(x)在点xa附近有定义，下列四个论断正确的是（ ）

A. 若f(a)1，则存在0，使得f(x)在(a,a)上严格单调； B. 若f(x)在xa点取到极大值，则f(x)在xa点左侧单调增、右侧单调减；

C. 若f(a)0，f(x)在xa点处可导，则f(x)在xa点处可导的充要条件是f(a)0；

D. 若f(x)和g(x)都在xa点取到极大值，则函数f(x)g(x)在xa点必取到极大值。

2.当x0时，下列四个无穷小量阶数最高的是（ ）

1 A. ln(1x)xx2 B.

2x20edt

1t41x4 C. x(cosx)sinx D. e1

331x3sin,x03.设f(x) ，则f(x)在x0处（ ） x0,x0 A. 不连续； B. 连续，但不可导；

C. 可导，但导函数不连续； D. 可导，且导函数连续。 4.设f(0,0)0，当(x,y)(0,0)时f(x,y)为如下四式之一，则f(x,y)在点

(0,0)处两个偏导数都存在的是（ ）

xyx2y2 A. 2 B. 2 C. 22xyxyx4y21 D. 2 xysin222xyxy225.下列四个论断正确的是（ ）

an11，则正项级数an收敛； A. 若对所有自然数n，an0满足ann1 B. 若对所有自然数n，an0满足nan1，则正项级数an收敛；

n1 C. 若正项级数an收敛，则limn1an0； nnn D. 若an0单调减，且级数(1)an发散，则级数(n1n11n)收敛。 an1二、填空题（每题5分，共25分）

6.方程y2yyex的通解为________________________。

1 7.级数(n)xn的和为__________________。

nn1D是由直线xy1与x轴、y轴所围成的平面域。 8.设f(x,y)是连续函数，

已知关系式f(x,y)dxdyf(x,y)e(1y)0成立，则积分

D2f(x,y)dxdy___________________。

D 9.积分0exe2xdx___________________。 x 10.积分10(xn02n)dx__________________。

三、解答题（每题8分，共40分）

d2ydyy 11.设yy(x)是由lnxyarctan确定的隐函数，求和2。

dxdxx22 12.计算zdxdydz，其中V是球面x2y2z22az和x2y2z2az所围

V成的空间区域，a0为常数。

13. （1）将yarcsinx展开成带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式； （2）对0b1，证明：存在(0,b)，使得12arcsinbb； （3）求极限limb0b，其中由（2）确定。

14.利用欧拉积分及函数的余元公式(s)(1s) (0s1)计算积分(aLsin(s)

bbxp)dx，其中常数p满足0p1。 xa 15.设第二型曲线积分(f(x)y2f(0)yyexy)dx(x2yxxexy)dy与路径无关。

（1）求f(x)； （2）求(2,3)(0,0)(f(x)y2f(0)yyexy)dx(x2yxxexy)dy。

四、解答与证明题（每题12分，共60分）

16.求点(7,7,1)到曲面zx2y2的最短距离，并作几何解释。 17.设f(x)是二次连续可微函数，并设向量场

vf(0)z(f(x)f(x))yixf(0)zj(1y)k是无旋场。 （1）求未知函数f(x)所满足的微分方程初值问题； （2）求解（1）中的初值问题。 18.设Pxx2y2z232(222)abc，Qyx2y2z232(222)abcS，Rzx2y2z232(222)abc ，

vPiQjRk。求第二型曲面积分PdydzQdzdxRdxdy，其中S由球面

x2y2z21与抛物面zx2y21所围成的有界区域，外侧。

19.设f(x)x (0x1)。

（1）将f(x)展开成以2为周期的傅里叶余弦级数； （2）利用（1）中结果求积分2012xlndx； x2x （3）利用（1）中结果求级数和1。 4n1n 20.设f(x)在区间a,b上有连续的导函数，试证明： （1）(f(b)f(a))2(ba)(f(x))2dx；

ab1b （2）max{f(x)axb}f(x)dxf(x)dx。 aaba

b

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2008年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷

试卷名称：高等数学（A）

考生须知：

1.本试卷满分150分，全部考试时间总计180分钟。

2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。

_____________________________________________________________________

一、单项选择题（每小题5分，共25分）

1.以下说法中正确的是（ ）

A. 无穷小量是比任何数都要小的数； B. 任意多无穷小量之积仍为无穷小量； C. 两个无穷大之和仍为无穷大量；

D. 无穷大量与有界量之乘积未必是无穷大量。

2.设0,1在上f(x)0，则f(0)，f(1)，f(1)f(0)间的大小顺序为（ ） A. f(1)f(0)f(0)f(1) B. f(0)f(1)f(0)f(1) C. f(0)f(1)f(1)f(0) D. f(1)f(0)f(1)f(0) 3.已知函数f(x,y)满足f(xy,xy)x2y2，则

f(x,y)f(x,y) （ ）

xy A. 2x2y B. 2x2y C. xy D. xy 4.下列级数或积分中收敛是（ ）

1 A.  B.

n2nlnn(1)n C. 1n1(1)n1n1lnxx(1x)30dx D.

0arctanxdx 2xx5.设m，n，q都是正数，则xn1(1xm)q1dx等于（ ）

01 A.

1n1m1n1m(,q) B. (,q) C. ()(q) D. ()(q) mmnnmmnn二、填空题（每小题5分，共25分）

1n6.limln(in)lnn_________________。 nni1ey1dxdy_______________。 7.设D是圆域xy4，则xyee2D22xt8.在曲线 yt2的切线方程中，与平面3x3yz4平行的切线方程是

zt3_____________________。

9.级数2n1的和为__________________。 n2n0x010.设f(x)可微且满足等式(2f(t)1)dtf(x)1，则f(x)___________。

三、解答题（每小题8分，共40分）

11.设yy(x)是由方程组 x3t22t3eysinty10所确定的隐函数，求

dy及dxd2y。 dx2t012.求不定积分2xx2dx。

13.设容器底面在水平面Oxy上，z轴竖直向上，其侧面是由Oxz平面曲线

xz2z1绕z轴旋转而得的旋转曲面。今以1米3/秒的速率向容器内灌水。试

问当容器内水面高度为h米时，容器内水面上升的速率是多少米/秒？

14.设f(y)是连续函数，试将累次积分dxcos(xy)f(y)dy化成一个定积

aabx分。

15.试将函数f(x)间，并求f(n)(1)。

1在x1处展开成幂级数，写出展开式成立的区

x2x6四、解答与证明题（每小题12分，共60分） 16.（1）求函数zx2y21的极值；

（2）求在条件xy30之下函数zx2y21的条件极值； （3）说明几何意义。

17.设曲面S的方程za2x2y2，cos，cos，cos是此曲面下侧法

向量的方向余弦，计算xz2cos(x2yz3)cos(2xyy2z)cosdS。

S18.设(x)，(x)都是二次可微函数，(0)0，(0)2，(0)2，

P(x,y)2x(x)(x)y22y(x)tan2x，Q(x,y)(x)4x(x)y(x)

（1）求出(x)与(x)，使空间曲线积分P(x,y)dxQ(x,y)dy(z)(z)dzC与路径无关；

（2）求平面曲线积分(0,1)(0,0)P(x,y)dxQ(x,y)dy的值。

19.设a数满足0a1，又设在0x上，f(x)cosax。 （1）在0,上，试将f(x)展开成以2为周期的余弦级数；

111 （2）求级数(1)n()的和；

an1anan （3）写出与（1）中展开式相应的巴塞瓦尔等式。

20.证明题

（1）设f(x)二次可导，f(0)f(0)f(1)0，试证存在(0,1)，使得f()4f()(422)f()0；

（2）设f(x)在0,1上可积且f(x)dx0，试证存在子区间a,b0,1，

01对xa,b，有f(x)0。

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2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷

试卷名称：高等数学（A）

考生须知：

1.本试卷满分150分，全部考试时间总计180分钟。

2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。

_____________________________________________________________________

一、填空题（本题5小题，每小题5分，满分25分）

1.设a0，则a2x2dx_____________。

2.设P是曲面zx2xyy2上的一点，曲面在P点处的切平面平行于平面

xy3z790，则P点的坐标为_____________。

3.设D：2x2，1y1，则二重积分ysinxdxdy的值等于

D__________。

4.方程yyy0的通解为________________________。

(1)n___________________。 5.nn3n1二、单项选择题（本题共5小题，每小题5分，满分25分）

1.limnn20(x(2x))ndx（ ）

x A. 0 B. 1 C. 2 D.  2.f(x)(t5)(t6)2dt （ ）

0A. 有极值点5和拐点6； B. 有极值点6和拐点5； C. 5和6都是f(x)的极值点； D. f(x)没有拐点。 3.积分0sin2xdx（ ） 2x A. 0 B. 1 C.

0sinxdx D. (sinx)2

0xx 4.设二元函数f(x,y)可微，f(x,x2)2x2，fx(x,x2)2x，则fy(x,x2)等于（ ） A. x B. 1 C. 0 D. 无法确定 5.设曲线L： A. C.

三、（本题5小题，每小题8分，满分40分） 1.求积分xlnxdx。

0(1x2)21x2y2z27xyz3，则（ ）

2ydl5 L2xdl6 B. Lzdl4 D. xdl3

LL 2.设曲面块S是上半球面x2y2z21(z0)被柱面x2y2x所截下的部分，S上有一物质分布其密度为2y，求曲面上该物质的重量。

3.设z(x,y)e(xt)dtye(yt)dt，向量lij，其中i，j是x，y轴上指

00x2y2向正方向的单位向量，求 4.将

zl(0,1)。

x展开成(x1)的幂级数，并求它的收敛域。

x23x2b 5.设ab，试将积分1(xa)(bx)n1adx用欧拉积分表示，并根据函数的

余元公式(x)(1x)，(0x1)算出以上积分的值。

sin(x)四、（本题5小题，每小题12分，满分60分）

1.设函数u(x,y)6xy，求u(x,y)在平面闭区域(xy)23y21上的最大值与最小值。

2.计算积分(y2y)dx(z2z)dy(x2x)dz，其中L是球面x2y2z2a2L与平面xyz0的交线，L的方向与z轴正向成右手系。

3.（1）试构造一个齐次的二阶线性微分方程yp(x)yq(x)y0，使它以x，

ex为基本解组；

（2）求出相应的非齐次方程yp(x)yq(x)yx1的一个特解，并写出该非齐次方程的通解。

4.将2x (0x)展开成以2为周期的Fourier级数，并求出数项级数

11与的和。 24nn1n1(2n1) 5.（1）设f(x)在闭区间a,b上连续，证明存在(a,b)使得

ab(ba)3f(b)f(a)(ba)f()f()；

224（2）设在a,b上处处有f(x)存在，利用费马定理证明达布定理：存在

ca,b，使得f(c)1f(a)f(b)。 2

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2006年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷

试卷名称：高等数学（A）

考生须知：

1.本试卷满分150分，全部考试时间总计180分钟。

2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。

_____________________________________________________________________

一、填空题（本题共5小题，每小题5分，满分25分）

1.tanxln(cosx)dx____________________。 2.已知zf(1z3zf，为可微函数，则 xy_________________。2lny)xyx2 3.平面3xy3z160与椭圆球面3x2y2z216相切，则________。 4.设D为圆域x2y24x，则arctanexydxdy___________。

D 5.微分方程y11的通解为__________________________。 yxx(1x2)二、单项选择题（本题共5小题，每小题5分，满分25分） 1.设f(x)在x0的某邻域内有三阶导数，且lim A. f(x0)是f(x)的极小值； B. f(x0)是f(x)的极大值；

C. (x0,f(x0))是曲线yf(x)的拐点；

D. f(x0)不是极值，(x0,f(x0))也不是曲线yf(x)的拐点。 2.设f(x)(esintesint)dt，则（ ）

02xxx0f(x)1，则（ ） xx0 A. f(x)是以2为周期的偶函数；

B. f(x)是以2为周期的奇函数； C. f(x)是以为周期的偶函数； D. f(x)是以为周期的奇函数。 3.f(x)1cosx0则当x0时，f(x)是g(x)的（ ） (et1)dt，g(x)x6x7，

2 A. 低阶无穷小 B. 高阶无穷小

C. 等价无穷小 D. 同阶但不等价的无穷小 4.级数 A. lnn（ ） n4n13449 B. ln C. D.

9443cos(2n1)x (x)，a为常数，则a（ ） 2n1(2n1)4 5.已知ax A.  B. C.  D. 

22三、（本题共5小题，每题8分，满分40分）

d2ydy 1.已知 ，求，2。

dxdxytarctatnxln1(t2) 2.设f(x)在0,1上连续，且f(x)1，证明方程2xf(t)dt1在(0,1)上只有

0x唯一解。

3.设f(x)在0,上连续，且limf(x)A (A0)，求limf(nx)dx。

x1n0 4.利用欧拉积分计算 5.将f(x)3413xdx。 x11在x1展开成幂级数，并求收敛域。

x2x2四、（本题共3小题，每小题12分，满分36分） 1.设yf(x)有二阶连续导数，且曲线积分

2xx(y2yf(x)6xye)dx(f(x)f(x)2xy2e)dy0，L是平面上任意一条L方向为逆时针的封闭曲线。

（1）已知f(0)0，f(0)0，求yf(x)；

（2）计算0f(x)dx。

2.求二元函数f(x,y)xy(2xy1)在由x轴、y轴和直线xy1所围成的闭区域D上的最大值和最小值。

3.设S是单位球面x2y2z21的外侧，V （1）求divV； （2）求曲面积分Sxiyjzk(axbycz)22222232。

xdydzydzdxzdxdy(axbycz)22222232，

五、（本题共2小题，每小题12分，满分24分）

1.将f(x)2x2 (x)展开成周期为2的Fourier级数，并求

1(1)n1，。 42nnn1n1 2.设f(x)在0,a上二阶可导，f(x)M，又f(0)0，f(a)0，

maxf(x)0，

0xa 证明：

（1）f(0)f(a)aM； （2）f(x)dx0aM3a。 6

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2005年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷

试卷名称：高等数学（A）

考生须知：

1.本试卷满分150分，全部考试时间总计180分钟。

2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。

_____________________________________________________________________

一、填空题（本题共5小题，每小题5分，满分25分）

1.已知f(x0)3，则limx0f(x0)f(x02x)_______________。

x2 2.设f(x)的一个原函数是ex，则xf(x)dx_________________。 3.数量场ux22y23z2在点(1,1,1)的最大方向微商值为_____________。

x2n 4.级数n的收敛半径为_____________。 nn123 5.微分方程y1y1的通解为_______________________。 x二、单项选择题（本题共5小题，每小题5分，满分25分） 1.设f(0)0，则f(x)在点x0可导的充要条件为（ ）

112存在 B. f(t)limf(tsint)存在

t0t2t0t211 C. limf(ln(1t))存在 D. limf(2t)f(t)存在

t0tt0t A. limz2 2.设曲面xy1在点(1,1,2)处的法线为L，又设L1：

422x1y2z1，：xy4z1，则（ ） 210 A. L与L1相交，且L平行于； B. L与L1相交，且L垂直于； C. L与L1异面，且L平行于； D. L与L1异面，且L垂直于。

3.设S是柱面x2y2R2(0zR)的外侧，则(x2y2)dxdy的值为（ ）

S A. 2R3 B. 2R4 C. R4 D. 0 4.设级数an收敛，则下列结论中正确的是（ ）

n1 A. 级数a收敛 B. 级数nnan收敛

2nn1n1a(1)nan收敛 D. 级数n绝对收敛 C. 级数nn1nn1 5.设f(x)xL(0x2L)，则其以2L为周期的傅里叶级数在点x敛于（ ） A. L3LL3L B.  C. D.

2222L收2三、（本题共5小题，每小题8分，满分40分） 1.计算极限limsinxsin(sinx)。

x0x32 2.计算广义积分x(2x)1x120dx。

3.利用欧拉积分计算x61x606dx。

2zzy 4.设f(u,v)具有二阶连续偏导数，zf(xy,)，求，。

xyxx2 5.计算二重积分dx3cosy2dy。

0x11四、（本题共3小题，每小题12分，满分36分） 1.设f(x)具有二阶连续导数，f(0)1，f(0)1，且曲线积分

(eLxsiny2yf(x)2xy)dx(f(x)f(x)2xexcosy)dy与路径无关。

（1）求f(x)；

（2）当L是从(0,0)沿曲线yx4到(1,1)的有向曲线段时，求以上曲线积分的值。

1 2.将函数yxarctanxln(1x2)在x0处展开成泰勒级数，并求收敛域及

2(1)n。 n0(2n1)(2n2)x0 3.将函数f(x) 展开成周期为2的傅里叶级数（说明收

x0x敛情况），并求1。 2n1(2n1)五、（本题共2小题，每小题12分，满分24分） 1.设f(x)在0,1上连续，在(0,1)上可导，f(0)0，f(1)2。

证明:（1）存在(0,1)，使f()1； （2）存在0x1x21，使

a111。 f(x1)f(x2) 2.（1）求F(x)txdt（常数a0）在0,a上的最小值；

0 （2）设f(x)在0,a(a0)上连续，且f(x)dx0，xf(x)dx1。求证：

00aa存在一点x00,a，使f(x0)

4。 2a中国科学院——中国科技大学

2004年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷

试卷名称：高等数学（A）

考生须知：

1.本试卷满分150分，全部考试时间总计180分钟。

2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。

_____________________________________________________________________

一、填空题（本题共5题，每小题5分，满分25分）

11 1.limnsin1sinsin______________。

n2nd2y 2.设ysinyx（常数(0,1)），则2________________。

dx 3.积分0ln(1x2)dx的收敛域为________________。 xy 4.曲面zarctan在点(1,1,)处的切平面方程为____________________。

4x 5.微分方程y3y2ycosx的通解为____________________。 二、单项选择题（本题共5题，每小题5分，满分25分）

1.设S为球面x2y2z2R2外侧，则x2dydzy2dzdxz2dxdy（ ）

S A. 0 B. R4 C. 2R4 D. 4R4 2.曲线yx21x1的渐近线的条数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

3.给定严格递增数列{An}，且A1a，limAn。函数f(x)在a,上连

n续且非负，则积分af(x)dx收敛是级数n1An1Anf(x)dx收敛的（ ）

A. 充分条件但非必要条件 B. 必要条件但非充分条件

C. 充分必要条件 D. 既非充分条件又非必要条件

(1)n 4.如果级数ln1p (p0)条件收敛，则（ ）

nn2 A. 0p1 B. p1 C.

11p1 D. p1 321(x,y)(0,0)(x2y2)sin22 5.设f(x,y) 则下列选项正确的是（ ） xy(x,y)(0,0)0 A.f(x,y)在(0,0)处不可微，

ff，在(0,0)处连续； yxff，在(0,0)处不连续； yx B.f(x,y)在(0,0)处不可微，

C.f(x,y)在(0,0)处可微，

ff，在(0,0)处连续； yxff，在(0,0)处不连续。 yx D.f(x,y)在(0,0)处可微，

三、（本题共5题，每小题8分，满分40分）

 1.计算极限limx0tanx0t(tantt)dtsin2tdt3sin2x。

0 2.计算积分ln20ex1dx。

02 3.利用欧拉积分计算2(tanx)3dx。

4.利用Stokes公式计算(yz)dx(zx)dy(xy)dz，其中L：

Lx2y2z2a2xyz0(a0)，从x轴正向看L为逆时针走向。

1xx1y 5.设a,b0。证明：当yx0时，有(ab)(ab)。 四、（本题共3题，每小题12分，满分36分）

1.求由曲面x2y2az和z2ax2y2(a0)所围立体的体积。

1nx的和函数，并求收敛域。 2.求级数n(n1)n(n1)n1xyy 3.求k的取值范围，使得关于x的方程

kx21有唯一正根。 x五、（本题共2题，每小题12分，满分24分） 1.将函数f(x) 1。 2n1nxx

x00x展开成傅里叶级数（说明收敛情况），并求

x2x222 2.确定常数，使得(xy)dx2(xy2)dy0在D{(x,y)y0}内

yy为一全微分方程，并利用曲线积分求此全微分方程的通解。

中国科学院——中国科技大学

2003年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷

试卷名称：高等数学（A）

考生须知：

1.本试卷满分150分，全部考试时间总计180分钟。

2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。

_____________________________________________________________________

一、填空题（本题共5小题，每小题5分，满分25分）

1.limx4tanx1_________________。

2sin2x1xulnudu1tt23d2y 2.设 (t0)，则2_______________。 1dx2y2ulnudu 3.级数112xn()的收敛域为_______________。

n02n11x 4.椭球面x22y2z21上平行于平面xy2z0的切平面方程为____________________。

5.微分方程yy2y4xex的通解为______________________。 二、选择题（本题共5小题，每小题5分，满分25分）

1xarctanx0 1.设f(x) 在x0处连续但不可导，则的取值范围是x

x00（ ）

A. 0 B. 01 C. 01 D. 1 2.“对任给0，总存在正整数N，使得当nN时，就有aN1aN2an”是级数an收敛的（ ）

n1A. 充分条件但非必要条件 B. 必要条件但非充分条件

C. 充分必要条件 D. 既非充分条件也非必要条件 3.设S是柱面x2y2R2界于平面z0及zR之间的部分，则

S(x2z2)dS（ ）

A.

8454R B. R4 C. R4 D. R4 333 4.设L是起点为A(1,0)，终点为B(1,0)的简单光滑曲线，除A，B外其它点都在x轴上方，则曲线积分ydxxdy的值（ ） 22Lxy A. 恒为 B. 恒为0 C. 恒为 D. 与曲线L有关 5.广义积分0sinx2dx的收敛域为（ ） px A. p1 B. 0p3 C. 1p1 D. 1p3 三、（本题共5小题，每小题8分，满分40分） 1.求max(x,1)dx。 2.计算无穷积分1x(x1)m1dx，其中m是正整数。

3.设Gnn(n1)(n2)(nn)，求limGn。 nn11 4.证明：当x0时，有不等式(1)xe(1)x1。

xx 5.函数f(x)在0,上有一阶连续导函数，对所有x0，有f(x)ex，且

f(0)1。

证明：存在0，使得f()e。

四、（本题共3小题，每小题12分，满分36分）

1.求函数zx2y(3xy)在闭区域D：x0，y0，xy4上的最大值和最小值。

2.设f(x)cosx12t(2xt)f()dt，其中f(x)为连续函数，求f(x)。 04222a2b222za 3.设a,b,c0，求曲面xy与zc所界物体的体积。 2c五、（本题共2小题，每小题12分，满分24分）

x0x1 1.设f(x) 2 ，将f(x)展开成周期为2的正弦级数，并求

x1x2sin2nsin2n与4。 2nnn1n11 2.设区域V是由曲面2x2y2z21及平面z1，平面z1所围成，S为V的全表面外侧，又设v(2x2y2z2) （1）求divv；

（2）求积分

xdydzydzdxzdxdy(2xyz)2223232(xiyjzk)。

S。