江西省赣州市2020_2021学年高二数学上学期期末考试试题文

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上．） 1．命题“对任意的x[3,)，都有x229”的否定是（ ）

2A．对任意的x[3,)，都有x9 B．对任意的x(,3)，都有xC．存在x[3,)，使得x9 D．存在x[3,)，使得x2．抛物线y8x的准线方程为（ ）

A．x2 B．y2 C．x2 D．y2

29

229

3．某高中为了解高三学生对“社会主义核心价值观”的学习情况，把高三年级的1000名学生编号：1到100，再用系统抽样的方法随机抽取50位同学了解他们的学习状况，若编号为213的同学被抽到，则下列几个编号中，可能被抽到的是（ ） A．83 B．343 C．253 D．763

4．若l,m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“lm”是“l//”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．小明研究变量x与y的线性相关性，用线性回归方法求出了直线l1，小亮研究变量ν与w的线性相关性，用线性回归方法求出了直线l2，两个人发现平均值xv，yw，则下列说法一定不正确的是（ ） A．l1与l2重合 B．l1与l2平行 C．l1与l2相交 D．l1与l2垂直 6．命题

p:若f(x)x，则f(x)12x，命题q:存在xR，使xx10，则下列结论正确的是

2（ ） A．

pq为真命题 B．p(q)为假命题 C．p为假命题 D．q为真命题

2y237．已知抛物线y4x的焦点到双曲线x21(b0)的一条近线的距离为，则该双曲线的方程为

2b2（ ）

1

y2y2y2221 C．x1 D．x1 A．xy1 B．x2342228．已知函数f(x)xax1，若f(x)在R上为增函数，则实数a的取值范围是（ ） A．(,1] B．(,1) C．(,0) D．(,0]

9．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸的小正方形的边长是1，则该几何体外接球的体积为（ ）

3

A．323 B．48 C．

323 D． 27310．大熊猫被誉为“活化石”和“中国国宝”，是世界上最可爱的动物之一．有人这样来设计大熊猫的卡通头像：在以AB为直径的圆中，有一等腰直角三角形ABC，分别以线段AC、BC为直径作圆形成了卡通头像的耳朵，在整个图形中随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）

A．

24 B．

1 C．

11 D． 21a2x2y2,0的直线与双曲线11．已知双曲线221的两个焦点分别为F2(c,0)，F1(c,0)(c0)过点Pabc的左右两支分别交于A,B两点，且F1A2F2B，求双曲线的离心率（ ） A．2 B．3 C．5 D．6 12．已知函数f(x)x2x2sin是（ ）

32x5，且ft22tf(3t4)12，则实数t的取值范围242

A．(1,4) B．(,1)(4,) C．(4,1) D．(,4)(1,)

第Ⅱ卷（选择题共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填写在答题卷上．）

13．已知空间直角坐标系中，点P(1,1,3)，Q(4,m,5)，且|PQ|13，则m________． 14．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是b________．

，x[0,]的一条切线的斜率为1，则该切线的方程为_________． 15．已知曲yxsinx116．正方体ABCDA1B1C1D1棱长为点1，点E在边BC上，且满足2BEEC，动点P在正方体表面上运动，满足PEBD1，则动点P的轨迹的周长为__________．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题满分10分）

2020年新冠肺炎疫情期间，广大医务工作者逆行出征，为保护人民生命健康做出了重大贡献，某医院首批援鄂人员中有2名医生，1名护士和2名志愿者，采用抽签的方式，若从这五名援鄂人员中随机选取两人参与金银潭医院的救治工作．

（1）求选中1名医生和1名护士的概率； （2）求至少选中1名医生的概率． 18．（本题满分12分）

x2y2x2y21表示双曲线，q:方程1表示点在x轴上的椭圆． 已知p:方程

m26mm1m4（1）若“p且q”为真命题，求实数m的取值范围；

3

（2）若“p且q”是假命题，“p或q”为真命题，求实数m的取值范围． 19．（本题满分12分）

万众瞩目的第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行，为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，某学校举办了冬奥会知识竞赛，为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．作出样本分数的茎叶图，并按照

[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]的分组作出频率分布直方图，由于扫描失误，导致部分数据丢

失，可见部分如图所示．据此解答如下问题：

（1）求出样本容量n，并在频率分布直方图中将丢失的部分补充完整；

（2）在抽取的学生中，规定：比赛成绩不低于70分为“良好”，比赛成绩低于70分为“非良好”请将下面的22列联表补充完整，并判断是否有97.5%的把握认为“比赛成绩是否良好与性别有关”？

男生 女生 总计 2非良好 良好 20 总计 25 n(adbc)2,nabcd 参考公式及数据：K(ab)(cd)(ac)(bd)PK2K0 0.10 K0 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 20．（本题满分12分）

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，点E、M分别在线段AB、PC上，其中E是AB中点，

PM连接ME． MC4

（1）当1时，证明ME//平面PAD； （2）当为何值时，VPABD3VPBDM． 21．（本题满分12分） 已知函数f(x)xax． （1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）设a1，若f(x)x(klnx)，求实数k的取值范围． 22．（本题满分12分）

32x2y222以椭圆C:221(ab0)的中心O为圆心，ab为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．已知椭圆

abC的长轴长是短轴长的2倍，且经过点(2,1)，椭圆C的“准圆”的一条弦AB所在的直线与椭圆C交于

M、N两点．

（1）求椭圆C的标准方程及其“准圆”的方程； （2）当OMON0时，证明；弦AB的长为定值．

2020~2021学年度第学期赣州市 高二数学（文科）参

一、选择题 题号 答案 1 C 2 A 33 C 4 B 5 C 6 A 7 C 8 D 9 A 10 D 11 B 12 A 12．解：f(x)x2x6cos3xx32xsinx6 22令g(x)f(x)6x2xsinx，则g(x)3x2cosx0，

5

g(x)在R上单调递增，且g(x)为奇函数，ft22tf(3t4)12，

即gt22tg(3t4)0,gt22tg(3t4)，

t22t3t4，所以1t4．

二、填空题

13．1； 14．22； 15．xy0； 16．2． 三、解答题

17．解：（1）将2名医生分别记为A1，A2；1名护士记为B； 2名管理人员记为C1，C2 1分

从这五名援鄂人员种随机选取2人在金银潭医院参与救治的所有的基本事件共10种，分别为：（A1,A2,A1,B,A1,C1,A1,C2,A2,B,A2,C1，

A2,C2,B,C1,B,C2,C1,C2 4分

设“选中1名医生和1名护士”为事件A，事件A包含的基本事件共2种， 分别为A1,B,A2,B，P(A)21015 7分

（2）设“至少选中1名医生”为事件B，事件B包含的基本事件共7种，分别为：

A1,A2,A1,B,A1,C1,A1,C2,A2,B,A2,C1,A2,C2 9分

P(B)710 10分 18．解：（1）若p是真命题，则(m1)(m4)0 1分 解得1m4 2分

而q是真命题，所以m26m0 3分 解得2m6 4分

因为“p且q”为真命题，所以2m4 6分

（2）当p真q假时：有1m4m2 或 m6，即1m2 8分

若p假q真的：m1 或 m42m6，解得4m6 10分



6

所以1m2或4m6 12分

19．解：（1）由茎叶图知，分数在[50,60)的人数有6人，[80,90)的人数有4人，又由频率分布直方图得，分数在[50,60)的频率为0.012100.12 1分 故样本容量n60.1250 2分 因此，分数在[90,100)的频率为

4500.08，

频率 组距 0.08100.008 3分 分数在[80,90)的频率为1(0.0120.0240.0400.080)100.16，

频率 组距 0.16100.016 4分

补全频率分布直方图如图 6分

（2）比赛成绩不低于70分的频率为P0.40.080.160. 8分

∴良好的学生人数为0.5032人．故根据已知条件完成22列联表： 9分

非良好 良好 合计 男生 5 20 25 女生 13 12 25 合计 18 32 50 250(5122013)2K252518325.5563.841 11分

故有97.5%的把握认为比赛成绩是否良好与性别有关 12分

20．解：（1）取PD中点N，连接MN、AN 1分 因为MN是PCD的中位线，故MN∥12CD，

7

又AE∥12CD故四边形AEMN为平行四边形 2分 所以ME//AN．

又ME平面PAD，AN平面PAD，所以ME//平面PAD 4分 另解：

在线段CD上取一点F，使得F是CD中点，连接MF、EF 1分

MF是PCD的中位线所以MF//PD．

在矩形ABCD中EF//AD 2分

又MFEFF，PDADD．所以平面MEF / /平面PAD． 又ME平面MEF，所以ME//平面PAD 4分 （2）因为

PMMC，所以V1MBDC1VPBCD 6分 VPBDM1VPBCD 8分

又底面ABCD为矩形，所以VPBCDVPABD 9分 故VPBDM1VPABD 10分

由题可知，V1

PABD3VPBDM，因此，2

12分 另解：

因为

PMMC，且PA平面ABCD，所以VPBDMVPBCDVMBCD 6分 13SPA13S1BCDBCD1PA 8分 13SBCD1PA 10分 又V13PA，代入V1

PABDSABDPABD3VPBDM，可得2

12分

21．解：（1）f(x)3x22axx(3x2a) 1分 令f(x)0，得x10，x223a 2分

8

当a0时，f(x)0恒成立，且仅在x0时取等号， 故f(x)在R上单调递减 3分

当a0时，在区间,23a和(0,)上f(x)0，在区间23a,0上f(x)0， 所以f(x)的单调递减区间为,23a，(0,)， f(x)的单调递增区间为23a,0 5分

当a0时，在区间(,0),23a,上f(x)0，在区间20,3a上f(x)0． 所以f(x)的单调递减区间为(,0),23a,2，单调递增区间为0,3a 6分 （2）当a1时，由题意可知，f(x)x(klnx)在(0,)上恒成立， 即x3x2x(klnx)klnxx2x在(0,)上恒成立 8分

设g(x)lnxx2x，则g(x)12x2x1x2x1x(x1)(2x1)x 9分

令g(x)0得x0,12；令g(x)0得x12,，

所以函数g(x)在0,112上单调递增，在2,上单调递减 10分

g(x)g1132ln24 11分

∴实数k的取值范围是1ln234, 12分 a2b22．解：（1）由题意，2解得a2 1分1 a2b21，b2 2分

9

所以椭圆的标准方程为x2y2421 3分 椭圆C的“准圆”方程为x2y26 4分

（2）证明：①当弦ABx轴时，交点M、N关于x轴对称， 又OMON0，则OMON，

可设M(t,t)、N(t,t)，t24t221得|t|233 5分

此时原点O到弦AB的距离d|t|233，则， 因此|AB|26432342 6分 ②当弦AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为ykxm(k,mR)， 且与椭圆C的交点Mx1,y1、Nx2,y2，

ykx联列方程组mx2y2421，

代入消元得：24k2x28kmx4m280，

由x8km1x224k2,x4m281x224k2 8分

2m2y8k2可得1y2kx1mkx2m24k2， 由OMON0得x1x2y1y20，

即4m282m28k26m224k224k28k2824k20，所以m243k21 10分

此时324k2m22328k22330成立， 则原点O到弦AB的距离d|m|m2423k21k2133，

10

则|AB|264242 11分 33422342， ，则|AB|26333综上得，原点O到弦AB的距离为因此弦AB的长为定值 12分

11