高三数学复习：立体几何的平行与垂直证明

——立体几何中的平行与垂直的证明

一、平面的基本性质 公理1：

公理2： 推论1：

推论2：

推论3：

公理3：

二、空间中直线与直线的位置关系 平行： 相交： 异面：

三、平行问题

1． 直线与平面平行的判定与性质

图形 条件 结论 a∥α b∥α a∩α＝ a∥b a∥α 定义 判定定理 性质 性质定理 2. 面面平行的判定与性质 图形 判定 定义 定理 性质 条件 α∥β，a?β 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α 平行问题的转化关系： 四、垂直问题

（一）、直线与平面垂直

1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的 都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

2．直线与平面垂直的判定定理及推论

文字语言 一条直线与一个平面图形语言 符号语言 判定定理 内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 如果在两条平行直线 推论 中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面 3．直线与平面垂直的性质定理 性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 图形语言 符号语言 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行． （二）、平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的判定定理

文字语言 一个平面过另一个平图形语言 符号语言 判定定理 面的垂线，则这两个平面垂直

2．平面与平面垂直的性质定理

文字语言 两个平面垂直，则一个图形语言 符号语言 性质定理 平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 类型一、平行与垂直

例1、如图，已知三棱锥ABPC中，APPC,ACBC,M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形。

（Ⅰ）求证：DM∥平面APC；

（Ⅱ）求证：平面ABC平面APC；

（Ⅲ）若BC4，AB20，求三棱锥DBCM的体积。

PDBMAC例2. 如图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ACBC2，AA14，

AB22，M，N分别是棱CC1，AB中点.

（Ⅰ）求证：CN平面ABB1A1； （Ⅱ）求证：CN//平面AMB1；

A1

C1

M C

B1

（Ⅲ）求三棱锥B1AMN的体积．

A

N

B

【变式1】. 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1平面ABC，ABC为等腰

C1A1EDB1直角三角形，BAC90，且ABAA1，D,E,F分别是B1A,CC1,BC的中点。 （1）求证：DE//平面ABC； （2）求证：B1F平面AEF；

（3）设ABa，求三棱锥DAEF的体积。

二、线面平行与垂直的性质

FCAB例3、如图4，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD2AD4，AB2DC25． （1）求证：BD平面PAD； （2）求三棱锥APCD的体积．

例4、如图，四棱锥P—ABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E

1CB. 3 （I）求证：PCBC；

为PC的中点，CG （II）求三棱锥C—DEG的体积；

（III）AD边上是否存在一点M，使得PA//平面MEG。若存在，求AM的长；否则，说明理由。

【变式2】直棱柱ABCD-A1B1C1D1底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.

(Ⅰ)求证：AC平面BB1C1C；

(Ⅱ) A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论.

三、三视图与折叠问题

例5、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。 若F为PD的中点，求证：AF面PCD； （1） 证明：BD∥面PEC； （2） 求三棱锥EPBC的体积。

4 正视图

2 4 2 4 侧视图

4 4 俯视图

P E A B C D

例6.已知四边形ABCD是等腰梯形，AB3,DC1,BAD45,DEAB（如图1）。现将ADE沿DE折起，使得AEEB（如图2），连结AC,AB。

（I）求证：平面ADE平面ACD；

（II）试在棱AB上确定一点M，使截面EMC把几何体分成两部分的体积比

VADCME:VMECB2:1；

（III）在点M满足（II）的情况下，判断直线AD是否平行于平面EMC，并说明理由。

A

M A E B E C D C D 图1 图2

B 【变式3】一个四棱锥的直观图和三视图如下图所示，E为PD中点. （I）求证：PB//平面AEC；（II）求四棱锥CPAB的体积； （Ⅲ）若F为侧棱PA上一点，且

PF，则为何值时，FAPA平面BDF.

PEDCA【变式4】如图1所示，正ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，

E，F分别是AC，BC的中点。现将ABC沿CD翻折，使翻折后平面ACD平面BCD（如图2）

（1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由； （2）求三棱锥C-DEF的体积。

A A

E E

C DD FFB

B

图（2）图（1）

BC

四、立体几何中的最值问题

例7.图4，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径， C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A1A= AB=2.

(1)求证: BC⊥平面A1AC；

(2)求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.

例8. 如图，在

ABC中，B=2，ABBC2,P为AB边上一动点，PD//BC交

AC

于

点

D,

现

将

PDA沿PD翻折至PDA',使平面PDA'平面PBCD.

（1）当棱锥A'PBCD的体积最大时，求PA的长；

（2）若点P为AB的中点，E为AC'的中点，求证：A'BDE.

A1

A

B

C 图4

【变式5】如图3，已知在中，，P平面ABC，AABCC90AEPBAEF于E，A于F，A，，当变化时，求三棱FPCPAB2锥PA体积的最大值。 EF

高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题（答案）

【典例探究】

例1解：（Ⅰ）∵M为AB中点,D为PB中点, ∴MD∥AP，又∴MD平面APC ∴DM∥平面APC

（Ⅱ）∵△PMB为正三角形,且D为PB中点，∴MDPB 又由（1）∴知MDAP, ∴APPB 又已知APPC ∴AP平面PBC， ∴APBC，又∵ACBC

∴BC平面APC,∴平面ABC平面PAC,

AMPDBC（Ⅲ）∵AB20，∴MB10,∴PB10 又BC4，PC1001684221 111SPBCPC•BC4221221 24411又MDAP20210253 2211∴VDBCMVMBCDSBDC•DM22153107 33∴SBDC例2.（Ⅰ）证明：因为三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC

又因为CN平面ABC， 所以AA1CN. ……………………… 1分 因为ACBC2，N是AB中点，

所以CNAB. ………………………………………… 2分 因为AA1C1

ABA， …………………………………………… 3分

A1

M C G

B1

所以CN平面ABB1A1． …………………………………………… 4分 （Ⅱ）证明：取AB1的中点G，连结MG，NG，

因为N，G分别是棱AB，AB1中点，

所以NG//BB1，NGA

N

B

1BB1. 21又因为CM//BB1，CMBB1，

2所以CM//NG，CMNG.

所以四边形CNGM是平行四边形. ………………………………………… 6分 所以CN//MG. …………………………………………………………… 7分

因为CN平面AMB1，GM平面AMB1， …………………………… 8分 所以CN//平面AMB1． ……………………………………………………… 9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知GM平面AB1N. …………………………………………… 10分

所以VB1AMNVMAB1N112442. ………………………… 13分 3223变式1.（1）根据中点寻找平行线即可；（2）易证AFB1F，在根据勾股定理的逆定理证明B1FEF；（3）由于点D是线段AB1的中点，故点D到平面AEF的距离是点B1到平面AEF距离的

1，求出高按照三棱锥的体积公式计算即可。 2【解析】（1）取AB中点O，连接CO,DO

1AA1,DO//CE,DOCE,平行四边形DOCE，2DE//CO,DE平面ABC，CO平面ABC，DE//平面ABC。 DO//AA1,DO（4分）

（2）等腰直角三角形ABC中F为斜边的中点，AFBC 又直三棱柱ABCA1B1C1，面ABC面BB1C1C，

AF面C1B，AFB1F

设

633,EF,B1E,B1F2EF2B1E2,B1FEF 222又AFEFF,B1F面AEF。 （8分）

（3）由于点D是线段AB1的中点，故点D到平面AEF的距离是点B1到平面AEF距离的ABAA11,B1F26162a；在RtAEF中，。B1Fa，所以三棱锥DAEF的高为aa24223262a,AFa，a，所以三棱锥DAEF的底面面积为故三棱锥DAEF22816261aaa3。的体积为（12分）

38416EF二、线面平行与垂直的性质

例3.（1）证明：在△ABD中，由于AD2，BD4，AB25，

∴ADBDAB. …… 2分 ∴ ADBD．

又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，

2222∴BD平面PAD. …… 4分 （2）解：过P作POAD交AD于O.

又平面PAD平面ABCD， ∴PO平面ABCD． …… 6分 ∵△PAD是边长为2的等边三角形， ∴PO3. 由（1）知，ADBD，在Rt△ABD中，

P斜边AB边上的高为

hADBD45AB5. …… 8分

DOACB1145S△ACDCDh52225AB∥DC∵，∴. …… 10分 1123VAPCDVPACDS△ACDPO23333. …… 14分 ∴

例4、（I）证明：PD平面ABCD，PDBC

又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD， ∵PDICE=D， ∴BC⊥平面PCD

又∵PC面PBC，∴PC⊥BC

（II）解：∵BC⊥平面PCD，∴GC是三棱锥G—DEC的高。

∵E是PC的中点，SEDCVCDEGVGDEC1111SEDCSPDC(22)1 22221122GCSDEC1 3339 （III）连结AC，取A C中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA//平面MEG。

下面证明之

∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO//平面PA，

又EO平面MEG,PA平面MEG，∴PA//平面MEG 在正方形ABCD中，∵O是AC中点，OCG≌OAM

AMCG22, ∴所求AM的长为.

33变式2.证明：(Ⅰ)直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC. 又∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2， ∴AC=2，∠CAB=45°，∴BC=2，∴BC⊥AC.

又BB1∩BC=B，BB1，BC平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C. (Ⅱ)存在点P，P为A1B1的中点。

证明：由P为A1B1的中点，有PB1∥AB，且PB1=又∵DC∥AB，DC=

1AB. 21AB，∴DC∥PB1，且DC=PB1， 2∴DCB1P为平行四边形，从而CB1∥DP.又CB1∥ACB1,DP面ACB1，∴DP∥面ACB1. 同理，DP∥面BCB1.

例5、

E

A

2 P

4 正视图

4 2 4 侧视图

B 4

（1）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA面ABCD， PA∥EB，PA2EB4.

PAAD,F为PD中点，PDAF.

又

CDDA,CDPA,CDAF,AF面PCD。

（2）取PC的中点M，AC与BD的交点为N，MN1PA,MN∥PA， 2MNEB,MN∥EB，故BEMN为平行四边形，

EM∥BN，BD∥面PEC。

1116（3）VEPBCVCPBE(BEAB)BC

323

例6.答案略 变式3.解：（１）由三视图得，四棱锥底面ABCD为菱形, 棱锥的高为3,设ACBDO,则PO即是棱锥 的高,底面边长是2，连接OE，

E,O分别

是DP,DB的中点，OE∥BP，

OE面AEC,BP面AECPB∥面AEC

（2）

1111V三棱锥C-PABV三棱锥P-ABCV四棱锥P-ABCD(223)33

2232（3）过O作OFPA,在RtPOA中,PO3,AO3,PA23AF3----10分 2PF:FA3时即=3时,OFPA,POBD,ACBD,POACOBD面PAC---------------12分

BDPA,由OFPA且BDOFOPA面BDF---------------14分

变式4.解：（1）判断：AB//平面DEF………………………………………………..2分

证明：

A因在ABC中，E，F分别是

AC，BC的中点，有

EF//AB………………..5分 又因

AB平面DEF， DEF平面DEF…………..6分 所以

AB//平面DEF……………..7分

B（2）过点E作EMDC于点M， 面ACD面BCD，面ACD面

AECEDCM F图（1）BF图（2）BCD＝CD，而EM面ACD

故EM平面BCD 于是EM是三棱锥E-CDF的高……………………………..9分

11113222SSCDBD(2a)aaa

又CDF的面积为CDF2BCD224411ADa……………………………………………………………………11分 22EM＝

故三棱锥C-DEF的体积为

1132133VCDEFVECDFSCDFEMaaa........................14分

334224四、立体几何中的最值问题

例7.证明:∵C是底面圆周上异于A，B的任意一点，

AB是圆柱底面圆的直径，∴BC⊥AC, ……2分 ∵AA1⊥平面ABC，BC平面ABC，

∴AA1⊥BC， ……4分

∵AA1∩AC=A，AA1平面AA1 C，AC平面AA1 C， ∴BC⊥平面AA1C. ……6分

(2)解法1：设AC=x，在Rt△ABC中，

A1

A

BC=AB2AC24x2(0故VA1-ABC=

即VA1-ABC= B

C图4

1S3111AAACBCAAx4x2(01121x4x2x(4x2)(x22)24. ……11分 3332时，

∵02. ……14分 3解法2: 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2=4， ……7分

1VA1-ABC=S311AAACBCAA1 ……9分 ABC13211AC2BC21AB22ACBC. ……11分 332323当且仅当 AC=BC 时等号成立，此时AC=BC=2.

例8.解：（1）设PAx，则VA-PBCD11x2PAS底面PDCBx(2) 33x1x22xx3,(x0) 令f(x)x(2)32362x2 则f(x)

32 x (0,23) 3 23 3(23,) 3f(x) 0 极大值  单调递减 f(x) 单调递增 由上表易知：当PAx23时，有VA-PBCD取最大值。 3证明：

（2）作AB得中点F，连接EF、FP

1BC//PDED//FP 2 APB为等腰直角三角形，ABPF 所以ABDE. 变式6. 解：因为P平面ABC A 由已知得：EF//BC平面ABC，

ABC所以P

CAC,PAACA又因为B， C所以B平面PAC，

F又A平面PAC，

CAF所以B，

FPC,PCBCC又A，

所以A平面PBC，即A。 FFEFEF是AE在平面PBC上的射影， 因为A， EPB所以E， FPB即P平面AEF。 E在三棱锥PA中， EFAPABA2,EPB，

所以P， E2,AE2AF2sin,EF2cos，1 VSAEFPEPAEF3112sin2cos2322sin2 6因为02，

2，0sin21所以0

2时，V取得最大值为。 PAEF因此，当课后练习：

1、（广东卷8）设l为直线，,是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A．若l//，l//，则// B．若l，l，则// C．若l，l//，则// D．若，l//，则l

2、 （湖南卷7）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )

A．

3 2B.1 C

21 D.2 23、（辽宁卷10）已知三棱柱

ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上若.AB3，AC4，

ABAC,AA112，则球O的半径为

A．317 2B．210 C．

13 D．310 24、（浙江卷4）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，（ ） A、若m∥α，n∥α,则m∥n B、若m∥α，m∥β,则α∥β C、若m∥n，m⊥α,则n⊥α D、若m∥α，α⊥β,则m⊥β

（重庆卷8）某几何体的三视图如题（8）所示，则该几何体的5、

表面积为（ ） （A）180 （B）200 （C）220 （D）240

6、（安徽18）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60. 已知PBPD2,PA6 .

（Ⅰ）证明：PCBD

（Ⅱ）若E为PA的中点，求三菱锥PBCE的体积.

7、（北京17）如图，在四棱锥PABCD中，AB//CD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：

（1）PA底面ABCD （2）BE//平面PAD （3）平面BEF平面PCD

8、（广东卷18）如图4，在边长为1的等边三角形ABC中，D,E分别是AB,AC边上的点，

ADAE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将ABF沿AF折起，

2得到如图5所示的三棱锥ABCF，其中BC．

2(1) 证明：DE//平面BCF； (2) 证明：CF平面ABF； (3) 当AD

DFCADGE2时，求三棱锥FDEG的体积VFDEG． 3BF图 4ACGEB图 5

9、（湖南卷17）如图，在直菱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=AC=的中点，点E在菱BB1上运动。 （I） 证明：AD⊥C1E；

（II） 当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，

求三菱锥C1-A2B1E的体积

10、（江苏卷16）如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC,ASAB. 过A作AFSB，垂足为F，点E,G分别是侧棱SA,SC的中点. 求证：(1) 平面EFG//平面ABC;

(2) BCSA. （

，AA1=3，D是BC

11、（江西卷19）如图，直四棱柱ABCD – A1B1C1D1中，AB//CD，AD⊥AB，AB=2，AD=

，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3

（1） 证明：BE⊥平面BB1C1C;

（2） 求点B1 到平面EA1C1 的距离