培优十——速度关联类问题求解资料

1、如图所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v运动．当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？

2、(多选)如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用钉子靠着线的左侧，沿与水平方向成30°角的斜面向右以速度v匀速运动，运动中始终保持悬线竖直，下列说法正确的是( )．

A．橡皮的速度大小为2v B．橡皮的速度大小为3v

C．橡皮的速度与水平方向成60°角 D．橡皮的速度与水平方向成45°角

3、如图所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过B、D．BC段水平，当以速度v0拉绳子自由端时，A 沿水平面前进，求：当跨过B的两段绳子夹角为α时A的运动速度v

4、一根长为L的杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，靠在一个质量为M，高为h的物块上，如图所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v向右运动时，小球A的线速度vA(此时杆与水平方向夹角为θ)

5、如图所示，A、B两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A车以速度v0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B车的速度是多少？

6、如图所示，质量为m的物体置于光滑的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮. 由地面上的人以恒定的速度v0向右匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45°处，在此过程中人对物体所做的功为多少？

7、如图所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B球水平速度为vB，加速度为aB，杆与竖直夹角为α，求此时A球速度和加速度大小

8、一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m2连接．已知定滑轮到杆的距离为3m．物体m2由静止从AB连线为水平位置开始下滑1 m时，m1、m2恰受力平衡如图所示．已知重力加速度为g，试求： (1)m2在下滑过程中的最大速度 (2)m2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离

9、如图所示，S 为一点光源，M为一平面镜，光屏与平面镜平行放置.SO是垂直照射在M上的光线，已知SO=L，若M以角速度ω绕O点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点S′在屏上移动的瞬时速度v为多大？

10、一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m的物体，如图所示.绳的P端拴在车后的挂钩上，Q端拴在物体上.设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H.提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经B驶向C.设A到B的距离也为H，车过B点时的速度为vB．求在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功．

11、一带正电的小球，系于长为L的不可伸长的轻线一端，线的另一端固定在O点，它们处在方向水平向右电场强度大小为E的匀强电场中．已知电场对小球的作用力大小等于小球的重力．现把小球拉到图中的P1处，使线绷直，并与电场方向平行，然后由静止释放小球．已知小球在经过最低点的瞬间，因受线的拉力作用，速度的竖直分量突变为零，水平分量没有变化，则小与球到达P1等高的P2点时的速度的大小为多少？

12、某人游水过河，他在静水中的速度是河水流速的1/2，为使他到达对岸的地点与正对岸距离最短，他的游泳方向是？

13、质点绕半径为R=1m的圆轨道运动，其速率v和时间t满足v=πt的关系．求质点绕圆周运动一周回到出发点时，它的加速度的大小和方向．

14、如图所示，B是质量为mB、半径为R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上．A是质为mA的细长直杆，被固定的光滑套管C约束在竖直方向，A可自由上下运动．碗和杆的质量关系为：mB＝2mA．初始时，A杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触(如图)．然后从静止开始释放A，A、B便开始运动．设A杆的位置用 表示， 为碗面的球心O至A杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角．求A与B速度的大小(表示成 的函数)．

难点5 速度关联类问题求解·速度的合成与分解

一、分运动与合运动的关系

1、一物体同时参与几个分运动时，各分运动进行，各自产生效果(v分、s分)互不干扰，即：性 2、合运动与分运动同时开始、进行、同时结束，即：同时性

3、合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代，即：等效性

二、处理速度分解的思路

1、选取合适的连结点(该点必须能明显地体现出参与了某个分运动)

2、确定该点合速度方向(通常以物体的实际速度为合速度)且速度方向始终不变 3、确定该点合速度(实际速度)的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向 4、作出速度分解的示意图，寻找速度关系

典型的“抽绳”问题：

所谓“抽绳”问题，是指同一根绳的两端连着两个物体，其速度各不相同，常常是已知一个物体的速度和有关角度，求另一个速度．要顺利解决这类题型，需要搞清两个问题： (1)分解谁的问题

哪个运动是合运动就分解哪个运动，物体实际经历的运动就是合运动． (2)如何分解的问题

由于沿同一绳上的速度分量大小相同，所以可将合速度向沿绳方向作“投影”，将合速度分解成一个沿绳方向的速度和一个垂直于绳方向的速度，再根据已知条件进行相应计算． 其实这也可以理解成“根据实际效果将合运动正交分解”的思路．

1、如图所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v运动．当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？

解法一：应用微元法

设经过时间Δt，物体前进的位移Δs1=BC，如图所示.过C点作CD⊥AB，当Δt→0

时，∠BAC极小，在△ACD中，可以认为AC=AD，在Δt时间内，人拉绳子的长度为Δs2=BD，即为在Δt时间内绳子收缩的长度.

由图可知：BC=

BD cos ① ② ③

由速度的定义：物体移动的速度为v物=

s1BC tt

s2BD ttv由①②③解之：v物=

cos人拉绳子的速度v=

解法二：应用合运动与分运动的关系

绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v是合速度，将v物按如图所示进行分解

其中：v=v物cosθ，使绳子收缩

v⊥=v物sinθ，使绳子绕定滑轮上的A点转动 所以v物=

解法三：应用能量转化及守恒定律

由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功

人对绳子的拉力为F，则对绳子做功的功率为P1=Fv；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F，则绳子对物体做功的功率为P2=Fv物cosθ，因为P1=P2所以 v物=

物

v cos

v cos2．(多选)如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用钉子靠着线的左侧，沿与水平方向成30°角的

斜面向右以速度v匀速运动，运动中始终保持悬线竖直，下列说法正确的是( )．

A．橡皮的速度大小为2v B．橡皮的速度大小为3v C．橡皮的速度与水平方向成60°角 D．橡皮的速度与水平方向成45°角

解析 钉子沿斜面匀速运动，橡皮具有向上的分速度v，同时具有沿斜面方向的分速度v，根据运动的合成可知，橡皮的速度大小为3v，速度与水平方向成60°角，选项B、C正确．

答案 BC

2、如图所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过B、D．BC段水平，当以速度v0拉绳子自由端时，A 沿水平面前

进，求：当跨过B的两段绳子夹角为α时A的运动速度v

解法一：应用微元法

设经过时间Δt，物体前进的位移Δs1=BB’，如图所示． 过B’点作B’E⊥BD．

当Δt→0时，∠BDB’极小，在△BDB’中，可以认为DE=B’D． 在Δt时间内，人拉绳子的长度为Δs2=BB’+BE，即为在Δt时间内绳子收缩的长度．

由图可知：BE=

BB' cos ①

s1BB'由速度的定义：物体移动的速度为v物= =tt人拉绳子的速度v0=

②

s2BB'+BEBB'(1+cos) ③ ==tttv0

1+cos由①②③解之：v物=

解法二：应用合运动与分运动的关系

物体动水平的绳也动，在滑轮下侧的水平绳缩短速度和物体速度相同，设为v物．

根据合运动的概念，绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动．

也就是说“物体”的方向(更直接点是滑轮的方向)是合速度方向，与物体连接的BD绳上的速度只是一个分速度，所以上侧绳缩短的速度是v物cosa

因此绳子上总的速度为v物+v物cos=v0，得到v物=解法三：应用能量转化及守恒定律

由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功

设该时刻人对绳子的拉力为F，则人对绳子做功的功率为P1=Fv．

绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F，则绳子对物体做功的功率为分为2部分，BD绳对物体做功的功率为P2=Fv0cos，BC绳对物体做功的功率为P2’=Fv0

v0

1+cosv0由P1=P2+P2’得到v物=

1+cos3、一根长为L的杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，靠在一个质量为M，高为h的物块上，如图所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v向右运动时，小球A的线速度vA(此时杆与水平方向夹角为θ)

解题方法与技巧：

选取物与棒接触点B为连结点．(不直接选A点，因为A点与物块速度的v的关系不明显)因为B点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故B点的合速度(实际速度)也就是物块速度v；B点又在棒上，参与沿棒向A点滑动的速度v1和绕O点转动的线速度v2．因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v2=vsinθ

设此时OB长度为a，则a=h/sinθ

令棒绕O 点转动角速度为ω，则：ω=v2/a=vsin2θ/h 故A的线速度vA=ωL=vLsin2θ/h

4、如图所示，A、B两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A车以速度v0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B车的速度是多少？ 解析：

右边的绳子的速度等于A车沿着绳子方向的分速度，设绳子速度为v． 将A车的速度分解为沿着绳子的方向和垂直于绳子的方向，则v=vAcos 同理，将B车的速度分解为沿着绳子方向和垂直于绳子的方向，则v=vBcos

cos由于定滑轮上绳子的速度都是相同的，得到vB=v

cosA5、如图所示，质量为m的物体置于光滑的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮. 由地面上的人以恒定的速度v0向右匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45°处，在此过程中人对物体所做的功为多少？ 解析：

已知地面上的人是以恒定速度拉动小球的，则人做的功其实就等于平台上的物体动能的增加量． 关键是要求出如图状态下物体的速度v．

根据定滑轮的特性，可以知道物体m的速度和绳子的速度是相同的．

对小球进行分析，小球水平方向做v0的匀速运动是合运动，v0是合速度，是沿着绳子方向的速度与垂直于绳子方向的速度的合．

2v 因此v0cos45°=v，得到v=20W=Ek=1111mv2=m•v02=mv02 22246、如图所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B球水平速度为vB，加速度为aB，杆与竖直夹角为α，求此时A球速度和加速度大小 解析：

分别对小球A和B的速度进行分解，设杆上的速度为v

则对A球速度分解，分解为沿着杆方向和垂直于杆方向的两个速度．

v=vAcos

对B球进行速度分解，得到v=vBsin联立得到vA=vBtan

加速度也是同样的思路，得到aA=aBtan

7、一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m2连接．已知定滑轮到杆的距离为3m．物体m2由静止从AB连线为水平位置开始下滑1 m时，m1、m2恰受力平衡如图所示．试求：

(1)m2在下滑过程中的最大速度 (2)m2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离 解析：

(1)由图可知，随m2的下滑，绳子拉力的竖直分量是逐渐增大的，m2在C点受力恰好平衡，因此m2从B到C是加速过程，以后将做减速运动，所以m2的最大速度即出现在图示位置.对m1、m2组成的系统来说，在整个运动过程中只有重力和绳子拉力做功，但绳子拉力做功代数和为零，所以系统机械能守恒.ΔE增=ΔE减，即

11m1v12+m22v2+m1g(AC-AB)sin30°=m2g·BC 22又由图示位置m1、m2受力平衡，应有： Tcos∠ACB=m2g,T=m1gsin30°

又由速度分解知识知v1=v2cos∠ACB，代入数值可解得v2=2.15 m/s,

(2)m2下滑距离最大时m1、m2速度为零，在整个过程中应用机械能守恒定律，得： ΔE增′=ΔE减′

即：m1g(H2AB2AB)sin30°=m2gH 利用(1)中质量关系可求得m2下滑的最大距离H=

433m=2.31 m

8、如图所示，S 为一点光源，M为一平面镜，光屏与平面镜平行放置.SO是垂直照射在M上的光线，已知SO=L，若M以角速度ω绕O点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点S′在屏上移动的瞬时速度v为多大？ 解析：

由几何光学知识可知：当平面镜绕O逆时针转过30°时，则：∠SOS′=60°，

OS′=L/cos60°

选取光点S′为连结点，因为光点S′在屏上，该点运动方向不变，故该点实际速度(合速度)就是在光屏上移动速度v；光点S′又在反射光线OS′上，它参与沿光线OS′的运动.速度v1和绕O点转动，线速度v2；因此将这个合速度沿光线OS′及垂直于光线OS′的两个方向分解，由速度矢量分解图可得：

v1=vsin60°,v2=vcos60°

又由圆周运动知识可得：当线OS′绕O转动角速度为2ω 则：v2=2ωL/cos60° vcos60°=2ωL/cos60°，v=8ωL

9、一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m的物体，如图5-12所示.绳的P端拴在车后的挂钩上，Q端拴在物体上.设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H.提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经B驶向C.设A到B的距离也为H，车过B点时的速度为vB．求在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功． 解析：

以物体为研究对象，开始时其动能Ek1=0．

随着车的加速运动，重物上升，同时速度也不断增加．

当车子运动到B点时，重物获得一定的上升速度vQ，这个速度也就是收绳的速度，它等于车速沿绳子方向的一个分量，如图，即

vQ=vB1=vBcos45°=

2vB 2

于是重物的动能增为 Ek2 =

11mvQ2=mvB2 24在这个提升过程中，重物受到绳的拉力T、重力mg，物体上升的高度和重力做的功分别为 h=2H-H=(2-1)H WG=-mgh=-mg(2-1)H

于是由动能定理得 WT+WG=ΔEk=Ek2-Ek1 即WT-mg(2-1)H=

1mvB2-0 41mvB2+mg(2-1)H 4所以绳子拉力对物体做功WT=

10、一带正电的小球，系于长为L的不可伸长的轻线一端，线的另一端固定在O点，它们处在方向水平向右电场强度大小为E的匀强电场中．已知电场对小球的作用力大小等于小球的重力．现把小球拉到图中的P1处，使线绷直，并与电场方向平行，然后由静止释放小球．已知小球在经过最低点的瞬间，因受线的拉力作用，速度的竖直分量突变为零，水平分量没有变化，则小与球到达P1等高的P2点时的速度的大小为多少？ 解析：

已知qE=mg，则小球从释放到经过最低点的过程中，做速度为零的匀加速直线运动． 根据动能定理

mgL+qEL=1mvQ2-0 2vQ=2gL

又已知小球在经过最低点的瞬间，因受线的拉力作用，速度的竖直分量突变为零．

将小球过最低点时的速度沿竖直向下与水平向右分解，则突变后的速度为

vQ'=2gL

再列动能定理

-mgL+qEL=得到vt=11mvt2-mvQ'2 222gL

12、某人游水过河，他在静水中的速度是河水流速的1/2，为使他到达对岸的地点与正对岸距离最短，他的游泳方向是？

解析：

因为人的速度小于水的速度，那么合速度就不可能垂直于河岸了． 设v合与河岸夹角为β 那么过河的位移s=v合t t=v/vsinβ

整理下得到s=d/sinβ

则要得到s最短，必须β最大．

同样，以v人为半径，v水的端点为圆心画圆．

只有当v人垂直于v合的时候，β最大． sinβ=v人/v水=1/2 得到s=d/sinβ=2d

13．质点绕半径为R=1m的圆轨道运动，其速率v和时间t满足v=πt的关系．求质点绕圆周运动一周回到出发点时，它的加速度的大小和方向．

解：质点绕圆周一周所走过的路程为L=2πR ①

由v=πt可知其切向加速度大小为aτ=π(m/s2)

∴ L12aτ·t ② 2联立①、②可得 t=2(s) 此时 v=aτt=2π(m/s2)

v242(m/s2) 向心加速度 anR2a总a2an21641162(m/s)

设与速度方向夹角为φ，tanφ=4π φ=85.5°

如图所示，B是质量为mB、半径为R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上．A是质为mA的细长直杆，被固定的光滑套管C约束在竖直方向，A可自由上下运动．碗和杆的质量关系为：mB＝2mA．初始时，A杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触(如图)．然后从静止开始释放A，A、B便开始运动．设A杆的位置用 表示， 为碗面的球心O至A杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角．求A与B速度的大小(表示成 的函数)．

、由题设条件知，若从地面参考系观测，则任何时刻，A沿竖直方向运动，设其速度为vA，B沿水平方向运动，设其速度为vB．若以B为参考系，从B观测，则A杆保持在竖直方向，它与碗的接触点在碗面

内作半径为R的圆周运动，速度的方向与圆周相切，设其速度为VA．杆相对地面的速度是杆相对碗的速度与碗相对地面的速度的合速度，速度合成的矢量图如图中的平行四边形所示．由图得

因而

由能量守恒 VAsinvA VAcosvB

(1) (2)

vBvAcot

(3)

由(3)、(4) 两式及mB2mA得

mAgRcos12m212AvA2mBvB vAsin2gRcos1cos2

v2gRcosBcos1cos2

O A R vB B VA vA (4)

(5)

(6)