山东省临朐县临朐二中2013届高三入学摸底考试理科数学

山东省临朐二中2013届高三入学摸底考试

数学理

一 选择题

1.i是虚数单位，若集合S={1，0，1}，则（ ）

A．i10S B．i13S C．i15S

D．

2 ∈S i答案：A

2.△ABC的三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大的内角为

A．150° B．135° C．120° D．60°

答案：A 3.对于一切实数&当

恒为非负实数，则

变化时，所有二次函数.

的最小值是（ ）

的函数值

A.2 B. 3 C.

D.

答案：B 4.设函数

fxxsinxcosx的图像在点

t,ft处切线的斜率为k，则函数

kgt的图像为 （ ）

答案：B

5.设f(x)是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f恒成立. (1)xf(1)0x22f(m6m23)f(n8n)022、n满足不等式组如果实数m，那么mn的取值范

m3围是（ ） A.(3, 7)

B.(9, 25)

C. (9, 49)

D. (13, 49)

答案：D

6.已知abc0,且a与c的夹角为60,|b|3|a|,则cosa,b等于 （ ）

1323A．2 B．2 C．2 D．3

答案：D

7.正四棱锥V—ABCD的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为26，

则AB两点的球面距为（ ） A．

1111 B． 3arccos C． arccos D． 9933答案：B

8.已知数列an为等差数列,Sn为其前n项和,且a23a46,则S9 （ ）

A．25 B．27 C．50

D．54

答案：B

9.有5名毕业生站成一排照相,若甲乙两人之间至多有2人,且甲乙不相邻,则不同的站法有

（ ） A．36种 B．12种 C．60种 D． 48种

答案：C

10.已知f(x)2x3(xR)，若f(x)1a的必要条件是x1b(a,b0)，则a,b

之间的关系是 （A） b

aabb （B）b （C）a （D）a 2222答案：A

11.将两个顶点在抛物线y22px(p0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数

记为n，则( )

A. n=0 B. n=1 C.n=2 D. n=4

答案：C

21x12.设函数f(x) 若关于x的方程f（x）=x+a有且只有两个实根，则实数a的

f(x1)范围是

A (2,4) B [3,4] C (,3] D [3,)

答案：B 二 填空题

13.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：

则第n个图案中有白色地面砖 块.

答案：

14.设函数f(x)ln(ax21)．若f(x)lnax有唯一的零点x0（x0R），则实数a＝ ．

答案：4

15.在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点A(－2，0)，

B（6，8），C(8，6),则D点的坐标为___________.

答案：（0，-2）

16.下列说法中正确的有________

①刻画一组数据集中趋势的统计量有极差、方差、标准差等；刻画一组数据离散程度统计量有平均数、中位数、众数等。②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大

③有10个阄，其中一个代表奖品，10个人按顺序依次抓阄来决定奖品的归属，则摸奖的顺序对中奖率没有影响。

④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是几何概型。

答案：③④ 三 解答题

317.已知向量a(sinx,),b(cosx,1)（1）当a//b时，求cos2xsin2x的值；

4（2）设函数f(x)2(ab)b，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a,b,c，若

a3,b2,sinB

6,求f(x)4cos(2A),x[0,] 的取值范围.

633

33答案：解：（1）a//b cosxsinx0 tanx= …………2分

44cos2x2sinxcosx12tanx8…………6分 cosxsin2xsin2xcos2x1tan2x523 （2）f(x)2(ab)b2sin(2x)

42由正弦定理得

ab2可得sinA，所以A…………………9分 sinAsinB421f(x)4cos(2A)2sin(2x)

211x[0,] 2x[,]

34412所以311f(x)4cos(2A)2--------------------12分 26218.（本小题满分12分）

对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，

随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数. 根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

分组 频数 频率 频率/组距 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) 合计 m 24 4 2 p a n 0.1 0.05 1 0 10 15 20 25 30 次数

M

（Ⅰ）求出表中M,p及图中a的值；

（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)

内的人数；

（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人

参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.

4答案：解（Ⅰ）由分组[20,25)内的频数是4，频率是0.1知，0.1，所以M40

Mm100.25---4分 因为频数之和为40，所以424m240，m10.pM40240.12----------6分 因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以a405（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，

所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人. -------------8分

（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m26人，设在区间[20,25)内的人为a1,a2,a3,a4，在区间[25,30)内的人为b1,b2. 则任选2人共有

(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4)，

(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,b2)15种情况， ---------------------------10分

114P1而两人都在[25,30)内只能是b1,b2一种，所以所求概率为----12分

151519.（本小题满分12分）

P

E A B F C D

如图，在四棱锥PABCD中，侧棱PA底面ABCD，底面ABCD为矩形，AD2AB2PA，E为PD的上一点，且PE2ED，F为PC的中点.

（Ⅰ）求证：BF//平面AEC；

（Ⅱ）求二面角EACD的余弦值.

答案：

z P E A B F D y C x

2，0)，P(0，0，1)，建立如图所示空间直角坐标系Axyz，设B(1,0,0)，则D(0，4111C(1,2,0)E(0,,)，F(,1,) （2分）

3322（Ⅰ）设平面AEC的一个法向量为n(x,y,z)，∵AE(0,,)，AC(1,2,0)

413314yz0nAE0∴由 得3，令y1，得n(2,1,4) (4分) 3nAC0x2y01111又BF(,1,) ∴BFn2()(1)140， （5分）

2222BFn，BF平面AEC ∴BF//平面AEC （7分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面AEC的一个法向量为n(2,1,4)，

又AP(0,0,1)为平面ACD的法向量， （8分） 而cosn,APnAPnAP421， （11分） 21

故二面角EACD的余弦值为

421 （12分） 2120.已知数列{an}满足a12a222a32n1ann2(nN*)

⑴求数列{an}的通项公式； ⑵求数列{an}的前n项和Sn.

答案：解（1）设数列{2n1an}的前n项和为Tn,则Tnn2……………2分

TnTn1,n22n1,n22n1an2n1(nN*)

T1　　　n11,　　n1an2n1 …………………………………………6分 2n1352n32n1（2）由Sn12...n2n1 ①

2222572n12Sn232...n2 ②……………………………8分

2222222n1 由②-①得，Sn222...n2n1………………………．．……10分

222212(1n1)2n12 2n1

12122n36n1…………………………………………………………． ．12分

221.（本题满分12分）

已知函数f(x)mx3,g(x)x22xm，设函数G(x)f(x)g(x)1． （1）求证：函数f(x)g(x)必有零点

（2）若G(x)在1,0上是减函数，求实数m的取值范围；

（3）是否存在整数a,b，使得aG(x)b的解集恰好是a,b，若存在，求出a,b的值；若不存在，说明理由．

答案：解：（）证明：1f(x)g(x)=x2(m2)x3m.令f(x)g(x)0

则=(m2)24(m3)(m4)20恒成立.-----------------------------------2分

所以方程f(x)g(x)=0有解. 所以函数f(x)g(x)必有零点.---------3分 (2)解：G(x)=f(x)g(x)1=x2(m2)x2m.

2令G(x)=0，则=(m-2)4(m2)(m2)(m6).

当0时，即2m6时,G(x)=x2(m2)x2m0恒成立，所以|G(x)|=x2(m2)xm2----------------------------------------------------------4分 因为|G(x)|在[-1，0]是减函数，所以

m-20，解得m2；所以2m6 2当0时,即2m或m6时，|G(x)|=|x2(m2)xm2|

因为|G(x)|在[-1，0]是减函数，所以方程的两根均大于零或一根大于零，另一根小于零，且 对称轴xm21--------------------------------------------------------------------------5分 2m20m20所以m2 或m2 解得m2或m0 所以m6或m0

0122综上所述，实数m的取值范围是m2或m0；-------------------------------------7分 (3)aG(x)b的解集恰好是a,b，G(a)=a 所以G(b)=a----------------------------------------------------------8分

24(2m)(m-2)ab42-a(m2)a2ma 由2

-b(m2)b2ma消去m,得ab-2a-b=0,显然b2.所以a=b2=1+.---------------------------10分 b-2b-2因为a,b均为整数，所以b-2=1或b-2=2.

a=3a=-1a=2a=0 解得,或,或,或.

b=3b=1b=4b=0a=-1a=24(2m)(m-2)2因为a4b=1b=4

22.（本题满分14分）如图，曲线C1是以原点O为中心、F1,F2为焦点的椭圆的一部分，曲

线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C1和C2的交点且AF2F1为钝

角，若AF175，AF2，22

（1）求曲线C1和C2的方程；

（2）过F2作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C1、C2依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问

BEGF2CDHF2是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.

x2y275答案：解：（Ⅰ）设椭圆方程为221，则2aAF1AF26，

22ab得a3 „„„„„2分

222222设A(x,y),F1(c,0),F2(c,0)，则(xc)y()，(xc)y()，

725235，由抛物线定义可知AF2xc， 2233则c1,x或x1,c（舍去）

22两式相减得xcx2y21，抛物线方程为y24x。 „„„„„6分 所以椭圆方程为98另解：过F1作垂直于x轴的直线xc，即抛物线的准线，作AH垂直于该准线，

作AMx轴于M，则由抛物线的定义得AF2AH， 所以AMAF1F1M2222AF1AH

222AF1AF222756

2215F2M6，

22得F1F2512，所以c＝1， 22b2a2c28

x2y21，抛物线方程为y24x。 „„„„„6分 所以椭圆方程为98

„„„„8分

„„„„10分

„„„„12分

„„„„14分