高等数学能力应用题

高等数学应用（建模）题

（图书馆参考图书：高等数学应用205例） 1．货币兑换问题

已知美元兑换成加拿大元时，币面数值增加12%，把加拿大元兑换成美元时，币面数值减少12%。某人准备从美国到加拿大去度假，他把1000美元兑换成加拿大元，但因故未能去成，于是他又将加拿大元兑换成了美元，问他是否亏损？

解：设f1(x)为将x美元兑换成的加拿大元数，f2(x)为将x加拿大元兑换成的美元数。则：

f1(x)xx*12%1.12x，f2(x)xx*12%0.88x，

10001.120.88985.6，

1000-985.6=14.4，即亏损14.4美元。

2．住房是居民消费的一个重要部分。大部分选择银行按揭贷款，然后再若干年内逐月分期还款。如果你借了10万元，还款额一定超过10万元。

设贷款总额为x0，贷款期限为N个月，采取逐月等额方式还本息。若xk为第k个月的欠款数，a为月还款数，r为月利率。我们得到下列迭代关系式：xk1(1r)xka 那么，xk(1r)xk1a

(1r)2xk2(1r)aa

......

1

(1r)kx0a[1(1r)...(1r)k1] (1r)kx0a[(1r)k1]/r

(1r)Nrx0当kN时，xN0。由此可以得到月还款计算公式：a N(1r)1例题1：农夫老李有一个半径为10米的圆形牛栏，里面长满了草，老李要将家里一头牛拴在一根栏桩上，但只让牛吃到一半草，它想让上大学的儿子告诉他，栓牛鼻的绳子应为多长？

例题2：通道中的细杆

要运送一根细杆通过由宽5m和宽10m的通道垂直交叉口，在运送

过程中必须保持细杆水平，问这根细杆最多可以多长？又通道为圆柱 形的且细杆不必保持水平，细杆至多可以有多长？

10m

5m

3．房租如何定价使利润最大

一房地产公司有50套公寓要出租。当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去。当租金每增加10元时，就有一套租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费。试问房租定为多少可获得最大收入？

解 设租金为x元/月，租出的公寓有50x180套，总收入为

10x180xR(x20)(50)(x20)(68)1010

x1x令R(x)(68)(x20)()700，得唯一驻点x350，此

10105 2

时R(350)0。所以，当租金定为350元/月时可获得最大收入，最大收入为100元。

*4．拉船靠岸问题

如图所示，在离水面高度为h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，假定绳长为l米，船位于离岸壁s米处，试问：当收绳速度为v0米/秒时，船的速度、加速度各是多少？

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解：l、h、s三者构成了直角三角形，由勾股定理得l2h2s2 （1） 两端同时对时间求导，得2ll为绳长，按速度定义，

dldsdlds02s，即ls （2） dtdtdtdtdl即为收绳速度v0，船只能沿s线在水面上dtds行驶逐渐靠近岸壁，因而应为船速v，将它们代入（2）式得船速

dtlvv0 （3） s利用（1）式消去l，得

（注：原先v是t的函数，现改为s的函数）

（4）中h，v0都是常数，只有s是变量。按加速度定义

vh2s2v0s（m/s） （4）

dvdvdsh2a(v0)v222dtdsdtshs 2h2v0a2s（m/s） （5）将（4）式代入上式，得

（这里的负号表明加速度的方向与x轴的正向相反）

*5．飞机俯冲时机翼影子的速度

一架飞机沿抛物线yx21的轨道向地面俯冲，如图所示，x轴

3

取在地面上。机翼到地面的距离以100m/s的固定速度减少。问机翼离地面2501米时，机翼影子在地面上运动的速度是多少（假设太阳光线是铅直的）

解：机翼到地面的距离以100m/s的速度递减，所以机翼垂直下降的速度是

dy100（取负号是因为下降，方向向下）。 dtdxdx，故本题是求当y2501时，=？ dtdt因为太阳光是垂直的，所以机翼影子在地面的运动速度就是飞机机翼的水平速度

2等式 y(t)1x(t) （1）

dydx2x （2） dtdt由（1），有x(t)y(t)1，当y2501时，x50. dydx把100，x50代入（2）即得=1（m/s） dtdt两边对t求导，得

*6．如何选择最优批量

某工厂生产某型号车床，年产量为a台，分若干批（每一批台数相同）进行生产，每批生产准备费为b元，设产品均匀投入市场，且上一批用完后立即生产下一批（不考虑生产需要的时间），即平均库存为批量的一半。设每年每台库存费为c元。显然，生产批量大则库存费高，生产批量少则批数增多，因此生产准备费高。如何选择批量，才能使一年中库存费与生产准备费的和最小。

解：设批量为x，库存费与生产费的和为P(x)，首先求出P(x)。 因年产量为a，所以每年生产的批数为，则生产准备费为b，

4

axax

因年库存量为，故年库存费为c，因此可得

P(x)abcx，x(0,a]. x2x2x2其次，在不考虑生产能力的条件下，问每批生产多少台（即批量）时，P(x)为最小？

这是一个一元函数极值问题，对P(x)求导得

P(x)abc2ab2ab，令，得，舍去负根，得驻点， P(x)0xx2x2cc2ab2ab0，因此，当时，P(x)取得极小值即最小值。 x3xc又因P(x)2ab。 c于是得出：要使一年中库存费与生产准备费之和最小的最优批量应为

7．您的书写灯应该挂多高

一个灯泡吊在半径为r的圆桌的正上方，桌上任一点受到的照度与光线的入射角的余弦值成正比（入射角是光线与桌面的垂直直线之间的夹角），而与光源的距离平方成反比。欲使桌子的边缘得到最强的照度，问灯泡应挂在桌面上方多高？

cos，其中k为比例常数，R为2R灯 灯到桌子边缘的距离。设h为灯到桌面的距离，

解：如图，在桌子边缘处的照度Ak于是R2r2h2，cos所以Akh(r2h)322hh 22Rrh，

232213(rh)h(r2h2)22h20 对h求导，Ak3(r2h2)2hR得r2h23h20，h2r, 2容易验证此时A取得最大值。

（做了这道题后，当您在晚上阅读或书写时，是否考虑设计一下您的书写灯的位置，使您在学习时能得到最佳的照度？）

8．何处看塑像最好

5

r

海洋公园中有一高为a米的鱼美人塑像，其底座高为b米。为了观赏时看得最清楚（即对塑像张成的夹角最大），应该站在离底座脚多远的地方？ 解：设游人的水平视线距地面c(c问题转化为求tan的极值。 由

tanahh,tanxx

ahhtantanaxxxtantan()ahhx2(ah)h1tantan1xx得

axytan2x(ah)h 设

a[x2(ah)h]ax2xah(ah)ax2y20222[x(ah)h][x(ah)h]令

得定义域内唯一驻点 x(ah)h。

因此，游人应站在离底座脚(ah)h处观赏鱼美人塑像为最好。

9．如何购物最满意

6

日常生活中，人们常常碰到如何分配定量的钱来购买两种物品的问题。由于钱数固定，则如果购买其中一种物品较多，那么势必少买（甚至不再能买）另一种物品，这样就不可能令人满意。如何花费给定量的钱，才能达到最满意的效果呢？经济学家试图借助“效用函数”来解决这一问题。所谓效用函数，就是描述人们同时购买两种产品各

x单位、y单位时满意程度的量。常见形式有

U(x,y)xy， U(x,y)lnxlny等，

而当效用函数达到最大值时，人们购物分配的方案最佳。

例：小孙有200元钱，他决定购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带。且设他购买x张磁盘，y盒磁带的效用函数为U(x,y)lnxlny。 设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配他的200元钱，才能达到最满意的效果？

解：这是一个条件极值问题，即求U(x,y)lnxlny在约束8x10y200之下的极值点，应用拉格朗日乘数法。定义拉格朗日函数：

L(x,y,)lnxlny(8x10y200)1L(x,y,)80xx1Ly(x,y,)100yL(x,y,)8x10y2000

解得x012.5,y010，(x0,y0)为最大值点。

即小孙用200元钱购买12张磁盘和10盒磁带最满意。 （解法二，可以将约束条件8x10y200改成y

1(2008x)代入效用107

函数，得U(x)lnxln数求极值问题。）

10．减肥的微分方程

1(2008x)lnxln(2008x)ln10，变成一元函10基本新陈代谢所需的热量为1200卡/天，设摄入的多余热量按10000卡=1公斤脂肪100%的转化成脂肪。如果某人参加减肥疗程，每天按食谱摄入的热量为2500卡，每天减肥锻炼消耗的热量为16卡/公斤体重。问其体重如何变化？

解：摄入热量=新陈代谢消耗热量+运动消耗热量+转化为脂肪的热量 设w(t)为其每天的体重。

w(t1)w(t)2500120016w(t)10000

而w(t1)w(t)w(t)w(t) , (01)（微分中值定理）

2500120016w(t)w(t) 所以 10000w(0)w0可以求解出w(t)

11．种群增长模型

假设单位时间内每个种群成员带来个新成员（即出生率）这是一个粗糙的模型。我们忽略了性别、年龄的差异，也没有考虑由于生存空间和财富的而产生的互相竞争。 如果设时刻种群的大小为p(t) ，则

p(tt)p(t)=p(t)t

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而p(tt)p(t)=p(tt)p(t) , (01) 所以问题归结为求下述微分方程问题的解：

p(t)p(t)p(0)p0

12．导弹追踪曲线

自动导航的导弹可以利用仪器装置去追踪它的目标，其中一种办法就是摄像装置确定追踪目标的位置，使自己飞行方向始终指向追踪目标。设t0时导弹位于原点，飞行器位于(a,b)，设飞行器以常速v1沿水平方向飞行，导弹的飞行方向指向飞行器，速度大小为v2.

解：设导弹追踪曲线的方程为xx(t)，t时刻导弹位于(x(t),y(t))。

yy(t)0 x y 飞机起点(a,b) (x(t),y(t)) 飞行器位于(av1t,b)，应在点(x(t),y(t))处的追踪曲线的切线上。

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by(t)dyy(t)dxx(t)avtx(t)1222所以，求解即可。 x(t)y(t)v2x(0)0y(0)0进一步：如何改进追踪模型以及如何反追踪？ 例题 物体冷却的数学模型

将物体放置于空气中，在时刻t=0时，测量得它的温度为10分钟后测量得温度为u1100C。我们要求此物体的温度u0150C，

u和时间t的关系，并计算20分钟后物体的温度。假定空气温度保持为

ua24C。

解 为了解决上述问题，需要了解有关热力学的一些基本规律。例如，热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导；在一定的温度范围内，一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和其所在介质温度的差值成正比。（Newton冷却定律）

设物体在时刻t的温度为u=u(t)，则温度的变化速度可 用

du来表示。注意到热量总是从温度高的物体向温度低的物体传dt导的，因而u0ua0；又因物体将随时间而逐渐冷却，所以dudt0。所以有

duk(uua) dt其中k>0是比例常数。上式即为物体冷却过程的数学模型。求解后得uua(u0ua)ekt

可计算20分钟后温度为70C，当t时，温度u24C

（推广：双层玻璃的功效）

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13．投入产出分析

一个城镇有三个主要企业：煤矿、电厂和地方铁路作为它的经济系统。生产价值1元的煤，需消耗0.25元的电费和0.35元的运输费；生产1元的电，需消耗0.4元的煤费、0.05元的电费和0.1元的运输费；而提供价值1元的铁路运输服务，则需消耗0.45元的煤费、0.1元的电费和0.1元的运输费。在某个星期内，除了这三个企业间的彼此需求，煤矿得到50000元的订单，电厂得到25000元的电量供应要求，而地方铁路得到价值30000元的运输需求。试问：

（1）这三个企业在这星期各应生产多少产值才能满足内外需求？ （2）除了外部需求，试求这星期各企业之间的消耗需求，同时求出各企业新创造的价值（即产值中除去各企业的消耗所剩的部分）。

解：（1）设煤矿、电厂和铁路在这星期生产总产值分别为x1、x2、x3元，则有

0x10.4x20.45x350000x10.25x10.05x20.1x325000x2 （方程组1） 0.35x0.1x0.1x30000x1233该方程每个等式以价值形式说明了对每一企业：

中间产品（作为系统内各企业的消耗）+最终产品（外部需求）=总产品。

求解方程组1得x111458，x265395，x385111。

即在该星期中，煤矿、电厂和地方铁路的总产值分别为11458元、

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65395元和85111元。

（2）另外，若设z1、z2、z3元分别为煤矿、电厂和地方铁路在这星期的新创价值，则有：

0x10.25x20.35x3z1x10.4x10.05x20.1x3z2x2 （方程组2） 0.45x0.1x0.1xzx12333方程组2说明对每一企业：

对系统内各企业产品的消耗+新创价值=总产值。

由方程组1求解x111458，x265395，x385111代入方程组2，得： 煤矿、电厂和地方铁路在这星期的新创价值为z145784、z229427、

z3297元。

课后问题1：某人看到一飞机在其垂直的头顶飞过，经过30秒后飞机达到视角的45度，此时声音刚好到达头顶垂直的90度，问能否求出飞机的速度和高度？

课后问题2：洗衣机甩干筒半径为10厘米，角速度为w旋转，一件衣服紧贴筒内壁，旋转产生的离心力使得水脱离衣服达到甩干的效果，问现将衣服作水平直线加速运动，加速度为多少可达到相同的甩干效果？

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