高一数学 不等式求最值

[定理]如果a,b∈R，那么a2+b2 ≥2ab（当且仅当a=b时，取“=” ）

ab[定理]如果a,b是正数，那么ab (当且仅当a=b时，取“=”)

21. 二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和“积式”转化为“和式”的

放缩功能。

2. 创设应用均值不等式的条件、合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆

与凑的成因在于使等号能够成立。 3. “和定积最大，积定和最小，”即2个正数的和为定值，则可求其积的最大值

ab2ab()；积为定值，则可求其和的最小值ab2ab。

2应用此结论求值要注意三个条件： ⑴各项或因式非负；

⑵和或积为定值； 一正二定三相等 ⑶等号能不能取到。

必要时要作适当的变形，以满足上述前提。

4

例1、若x<0，则2 + 3x + x 的最大值是 （ ） (A) 2 + 43 (B) 2±43 例2、已知x，y都是正数，且

例3、已知a>b>0，则a2 +

巩固练习

16

的最小值是_________。

b(a－b)

(C) 2－43

(D) 以上都不对

211，求x+y的最小值。 xy1．设

a、b为实数，且

a＋b＝3，则2a2b的最小值为

（ ）

A．6 B．42 C．22 D．8

（ ）

2．若x＞4，则函数y＝－x＋1 4－xA．有最大值—6 B．有最小值6 C．有最大值—2 D．有最小值2

43．已知y=f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)=x+,当x∈［－3,－1］时，记f(x)的最大

x值为m，最小值为n，则m－n等于 （ ）

3A.2 B.1 C.3 D.

24、已知0ab，且ab1，则下列四个数中最小的是 （ ）

1A、a2b2 B、2ab C、a D、

25、已知实数x，y满足x+y－1=0，则x2+y2的最小值为 （ ）

12A． B．2 C．2 D．

226．设实数x, y满足x + y=4, 则x2y22x2y2的最小值为 （ ） A．

2

B．4 C．22 D．8

（ ）

17．不等式yx(13x)(0x)的最大值是

34111 A． B． C． D．

24312728、下列函数中，y的最小值是4的是 （ ） A、yx44(0x) B、ysinxxsinxC、y3x43x D、ylgx4logx10

9、已知ab1,Plgalgb、Q1ab则 （ ） (lgalgb)、Rlg22A、RPQ B、PQR C、QPR D、PRQ

10、设a,b,x,y均为正数,且a、b为常数,x、y为变量.若xy1,则axby的最大值为 A.

abab1 B. C. 22(ab)2ab D.

211．已知两个正数x,y满足x＋y=4，则使不等式

值范围是 .

14≥m，恒成立的实数m的取xya2b212．已知a>b，a·b=1则的最小值是 .

ab13、若直角三角形周长为2，则它的最大面积为 。 14、已知m,nR,mn1，则

manb manb。

15、（本小题满分12分）已知f(x)logax(a0且a1,xR)．若x1、x2R, 试

1xx比较[f(x1)f(x2)]与f(12)的大小，并加以证明．

22

16、已知a,b,c,dR，且a2b21,c2d21，求证：acbd1

（改为：a2b2m,c2d2n呢？）

17、（本小题满分12分）某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销

售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为g(n)k（k＞0，k为常数，n1，若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元． nZ且n≥0）

（1）求k的值，并求出f(n)的表达式；

（2）问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?

答案：例1、C 例2、322 例3、16

练习1、B2、A3、B4、C5、A6、C7、B8、C9、B10、C

522 12、22 13、322 14、 4xx21)； 15、a1时，[f(x1)f(x2)]f(122xx21) 0a1时，[f(x1)f(x2)]f(12211、m16、略

17、解：（1）由g(n)k，当n＝0时，由题意，可得k＝8， n18n18n19n1)100n．

所以f(n)(10010n)(10（2）由f(n)(10010n)(10)100n100080

(n10n1)100080(n1)10008029520．

当且仅当n19n1，即n＝8时取等号，

所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元