高三文科数学立体几何平行垂直问题专题复习(含答案)

【基础知识点】 一、平行问题

1． 直线与平面平行的判定与性质

图形 条件 结论 a∥α b∥α a∩α＝ a∥b a∥α 定义 判定定理 性质 性质定理 2. 面面平行的判定与性质 判定 图形 条件 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α α∥β，a⊂β 定义 定理 性质 平行问题的转化关系： 二、垂直问题

一、直线与平面垂直

1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的 都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． 2．直线与平面垂直的判定定理及推论

文字语言 一条直线与一个平面判定定理 内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 如果在两条平行直线推论 中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面 3．直线与平面垂直的性质定理 1 / 16

图形语言 符号语言 性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 图形语言 符号语言 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 二、平面与平面垂直

1．平面与平面垂直的判定定理

文字语言 一个平面过另一个平判定定理 面的垂线，则这两个平面垂直 2．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，则一个性质定理 平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 图形语言 符号语言 图形语言 符号语言 【典例探究】 类型一、平行与垂直

例1、如图，已知三棱锥ABPC中，且△PMBAPPC,ACBC,M为AB中点，D为PB中点，为正三角形。（Ⅰ）求证：DM∥平面APC；

（Ⅱ）求证：平面ABC平面APC；

（Ⅲ）若BC4，AB20，求三棱锥DBCM的体积。

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MAPDBC例2. 如图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ACBC2，AA14，AB22，M，N分别是棱CC1，AB中点.

（Ⅰ）求证：CN平面ABB1A1； （Ⅱ）求证：CN//平面AMB1；

A1 C1

M C B1

（Ⅲ）求三棱锥B1AMN的体积．

【变式1】. 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1A

N

B

平面ABC，ABC为等腰直角三角形，

C1A1EDB1BAC90，且ABAA1，D,E,F分别是B1A,CC1,BC的中点。 （1）求证：DE//平面ABC； （2）求证：B1F平面AEF；

（3）设ABa，求三棱锥DAEF的体积。

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FCAB二、线面平行与垂直的性质

例3、如图4，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD2AD4，AB2DC25．

（1）求证：BD平面PAD； （2）求三棱锥APCD的体积．

例4、如图，四棱锥P—ABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中

1CB. （I）求证：PCBC； （II）求三棱锥C—DEG的体积； 3（III）AD边上是否存在一点M，使得PA//平面MEG。若存在，求AM的长；否则，说明理由。

点，CG

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【变式2】直棱柱ABCD-A1B1C1D1底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2. (Ⅰ)求证：AC平面BB1C1C；(Ⅱ) A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论.

三、三视图与折叠问题

例5、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。 若F为PD的中点，求证：AF面PCD； （1） 证明：BD∥面PEC； （2） 求三棱锥EPBC的体积。

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2 4 2 4 4 正视图

侧视图

4 4 俯视图

P E B A C D 例6.已知四边形ABCD是等腰梯形，AB3,DC1,BAD45,DEAB（如图1）。现将ADE沿DE折起，使得AEEB（如图2），连结AC,AB。 （I）求证：平面ADE平面ACD；

（II）试在棱AB上确定一点M，使截面EMC把几何体分成两部分的体积比VADCME:VMECB2:1； （III）在点M满足（II）的情况下，判断直线AD是否平行于平面EMC，并说明理由。

A

M A E B E C D C D 图1 图2

B

【变式3】一个四棱锥的直观图和三视图如下图所示，E为PD中点.（I）求证：PB//平面AEC；（II）求四棱锥CPAB的体积； （Ⅲ）若F为侧棱PA上一点，且

PF，则为何值时，FAPA平面BDF.

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PEDCAB

【变式4】如图1所示，正ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点。现将ABC沿CD翻折，使翻折后平面ACD平面BCD（如图2） （1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由； （2）求三棱锥C-DEF的体积。

A A

E E

C DCD FFB

B

图（2）图（1）

四、立体几何中的最值问题

例7.图4，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径， C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A1A= AB=2.

(1)求证: BC⊥平面A1AC；

(2)求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.

A1

AB

C图4

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例8. 如图，在ABC中，B='2，ABBC2,P为AB边上一动点，PD//BC交AC于 点D,现

'将PDA沿PD翻折至PDA,使平面PDA平面PBCD.

（1）当棱锥A'PBCD的体积最大时，求PA的长；

（2）若点P为AB的中点，E为AC的中点，求证：ABDE.

【变式5】如图3，已知在中，，P平面ABC，A于E，A于F，ABCC90AEPBFPC''AEF，，当变化时，求三棱锥PA体积的最大值。 APAB2EF

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高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题（答案）

【典例探究】

例1解：（Ⅰ）∵M为AB中点,D为PB中点, ∴MD∥AP，又∴MD平面APC ∴DM∥平面APC

MA（Ⅱ）∵△PMB为正三角形,且D为PB中点，∴MDPB 又由（1）∴知MDAP, ∴APPB 又已知APPC ∴AP平面PBC， ∴APBC，又∵ACBC

∴BC平面APC,∴平面ABC平面PAC, （Ⅲ）∵AB20，∴MB10,∴PB10 又BC4，PC1001684221

111SPBCPC•BC4221221 24411又MDAP20210253 2211∴VDBCMVMBCDSBDC•DM22153107

33PDBC∴SBDC

例2.（Ⅰ）证明：因为三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC

又因为CN平面ABC， 所以AA1CN. ……………………… 1分

因为ACBC2，N是AB中点，

C1

所以CNAB. ………………………………………… 2分 因为AA1ABA， …………………………………………… 3分

A1 M

B1

所以CN平面ABB1A1． …………………………………………… 4分 （Ⅱ）证明：取AB1的中点G，连结MG，NG，

因为N，G分别是棱AB，AB1中点，

A

C G N

B

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1BB1. 21又因为CM//BB1，CMBB1，

2所以CM//NG，CMNG.

所以四边形CNGM是平行四边形. ………………………………………… 6分 所以CN//MG. …………………………………………………………… 7分

所以NG//BB1，NG因为CN平面AMB1，GM平面AMB1， …………………………… 8分 所以CN//平面AMB1． ……………………………………………………… 9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知GM平面AB1N. …………………………………………… 10分

112442. ………………………… 13分 所以VB1AMNVMAB1N3223

变式1.（1）根据中点寻找平行线即可；（2）易证AFB1F，在根据勾股定理的逆定理证明B1FEF；（3）由于点D是线段AB1的中点，故点D到平面AEF的距离是点B1到平面AEF距

1离的，求出高按照三棱锥的体积公式计算即可。

2【解析】（1）取AB中点O，连接CO,DO

1DO//AA1,DOAA1,DO//CE,DOCE,平行四边形

2DE//CO,DE平面ABC，CO平面ABC，DOCE，DE//平

面ABC。 （4分）

（2）等腰直角三角形ABC中F为斜边的中点，AFBC 又直三棱柱ABCA1B1C1，面ABC面BB1C1C， AF面C1B，AFB1F

633,EF,B1E,B1F2EF2B1E2,B1FEF 222又AFEFF,B1F面AEF。 （8分）

设ABAA11,B1F（3）由于点D是线段AB1的中点，故点D到平面AEF的距离是点B1到平面AEF距离的

21。2266a；在RtAEF中，，所以三棱锥的高为B1Fa2aaDAEF2423262a,AFa，所以三棱锥DAEF的底面面积为a，故三棱锥DAEF的体积22816261aaa3。为（12分） 38416 EF10 / 16

二、线面平行与垂直的性质

例3.（1）证明：在△ABD中，由于AD2，BD4，AB25，

222 ∴ADBDAB. …… 2分

∴ ADBD．

又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD， ∴BD平面PAD. …… 4分 （2）解：过P作POAD交AD于O.

又平面PAD平面ABCD， ∴PO平面ABCD． …… 6分 ∵△PAD是边长为2的等边三角形， ∴PO3. 由（1）知，ADBD，在Rt△ABD中，

hADBD45AB5. …… 8分

P斜边AB边上的高为∵AB∥DC，∴

DOACB1145S△ACDCDh52225. …… 10分

1123VAPCDVPACDS△ACDPO23333. …… 14分 ∴

例4、（I）证明：PD平面ABCD，PDBC 又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD， ∵PDICE=D， ∴BC⊥平面PCD

又∵PC面PBC，∴PC⊥BC

（II）解：∵BC⊥平面PCD，∴GC是三棱锥G—DEC的高。

1111∵E是PC的中点，SEDCSEDCSPDC(22)1

22221122VCDEGVGDECGCSDEC1

3339 （III）连结AC，取A C中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA//平面MEG。

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下面证明之

∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO//平面PA， 又EO平面MEG,PA平面MEG，∴PA//平面MEG 在正方形ABCD中，∵O是AC中点，OCG≌OAM

22AMCG, ∴所求AM的长为.

33

变式2.证明：(Ⅰ)直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC. 又∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2， ∴AC=2，∠CAB=45°，∴BC=2，∴BC⊥AC. 又BB1∩BC=B，BB1，BC平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C.

(Ⅱ)存在点P，P为A1B1的中点。

1证明：由P为A1B1的中点，有PB1∥AB，且PB1=AB.

21又∵DC∥AB，DC=AB，∴DC∥PB1，且DC=PB1，

2

∴DCB1P为平行四边形，从而CB1∥DP.又CB1∥ACB1,DP面ACB1，∴DP∥面ACB1. 同理，DP∥面BCB1.

2 例5、

4 P 2

4 4

E 侧视图 正视图

A 4 B

4 C D 俯视图

（1）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA面ABCD， PA∥EB，PA2EB4.

PAAD,F为PD中点，PDAF.

又CDDA,CDPA,CDAF,AF面PCD。

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（2）取PC的中点M，AC与BD的交点为N，MNMNEB,MN∥EB，故BEMN为平行四边形，

1PA,MN∥PA， 2EM∥BN，BD∥面PEC。

1116（3）VEPBCVCPBE(BEAB)BC

323

例6.答案略

变式3.解：（１）由三视图得，四棱锥底面ABCD为菱形, 棱锥的高为3,设ACBDO,则PO即是棱锥 的高,底面边长是2，连接OE，E,O分别 是DP,DB的中点，OE∥BP，

OE面AEC,BP面AECPB∥面AEC

1111（2）V三棱锥C-PABV三棱锥P-ABCV四棱锥P-ABCD(223)33

2232（3）过O作OFPA,在RtPOA中,PO3,AO3,PA23AFPF:FA3时即=3时,OFPA,POBD,ACBD,POACOBD面PAC3----10分 2---------------12分

BDPA,由OFPA且BDOFOPA面BDF---------------14分

变式4.解：（1）判断：AB//平面DEF………………………………………………..2分 证明：

因在ABC中，E，F分别是 AAAC，BC的中点，有

EEF//AB………………..5分 E又因

CAB平面DEF， DCDEF平面DEF…………..6M 分 FFB所以

BAB//平面图（2）图（1）DEF……………..7分

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（2）过点E作EMDC于点M， 面ACD面BCD，面ACD

面BCD＝CD，而EM面ACD

故EM平面BCD 于是EM是三棱锥E-CDF的高……………………………..9分

11113222SSCDBD(2a)aaa 又CDF的面积为CDF2BCD224411EM＝ADa……………………………………………………………………11分

22故三棱锥C-DEF的体积为

1132133VCDEFVECDFSCDFEMaaa........................14分

334224

四、立体几何中的最值问题

例7.证明:∵C是底面圆周上异于A，B的任意一点，

AB是圆柱底面圆的直径，∴BC⊥AC, ……2分

A1 ∵AA1⊥平面ABC，BC平面ABC，

∴AA1⊥BC， ……4分

∵AA1∩AC=A，AA1平面AA1 C，AC平面AA1 C， ∴BC⊥平面AA1C. ……6分

(2)解法1：设AC=x，在Rt△ABC中，

A

BC=ABAC4x(01故VA1-ABC=S3111AAACBCAAx4x2(0222 C图4

B

1121即VA1-ABC=x4x2x(4x2)(x22)24. ……11分

333∵02. ……14分 3解法2: 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2=4， ……7分

111VA1-ABC=SABCAA1ACBCAA1 ……9分

332三棱锥A1-ABC的体积的最大值为

11AC2BC21AB22ACBC. ……11分 33232314 / 16

当且仅当 AC=BC 时等号成立，此时AC=BC=2.

例8.解：（1）设PAx，则VA-PBCD11x2PAS底面PDCBx(2) 33x1x22xx3,(x0) 令f(x)x(2)32362x2 则f(x)

32 x f(x) f(x) (0,23) 3 23 3(23,) 30 极大值  单调递减 单调递增 由上表易知：当PAx23时，有VA-PBCD取最大值。 3证明：

（2）作AB得中点F，连接EF、FP

1 由已知得：EF//BC//PDED//FP

2 APB为等腰直角三角形，ABPF 所以ABDE. 变式6. 解：因为P平面ABC A平面ABC， BC所以P ABCCAC,PAACA又因为B， 所以B平面PAC， C又A平面PAC， FCAF所以B，

FPC,PCBCC又A， FFEF所以A平面PBC，即A。 EF是AE在平面PBC上的射影， 因为A， EPB15 / 16

所以EFPB， 即PE平面AEF。 在三棱锥PAEF中， APABA2,EPB， 所以PE2,AE2， AF2sin,EF2cos，1PAEF3SAEFPE 13122sin2cos226sin2 因为02，

所以02，0sin21

因此，当4时，V2PAEF取得最大值为6。

16 / 16

V