高等代数专题复习题

一、选择题

g(x)f(x)1．设f(x),g(x)F[x]，且f(x)0,g(x)0，若，则 ( )。

A．C．

f(x)g(x)f(x)g(x) B． D．

f(x)g(x)f(x)g(x)

aa25a3ja41a5k是5阶行列式中的一项，且带正号，其中ij，则i的值是

1A．4 B．3 C．2 D．1 i行1k3．初等矩阵Tij(k) 左乘矩阵A得到Tij(k)A的结果为 ( )。 j行1jkiA A．用数乘以的第行加到第行上 1jk B．用数乘以A的第i行加到第行上

2．已知1i( )。

C．用数k乘以A的第j列加到第i列上 D．用数k乘以A的第i列加到第j列上

4.若既约分数r/s是整系数多项式f（x）的根，则下面结论哪个正确( )。 A.s+r(f(1)，s-r)f(-1) B.s+r(f(1)，s+r)f(-1) C.s+r(f(-1)，s-r)f(1) D.s+r(f(-1)，s+r)f(-1) 5.n阶行列式D,当n取怎样的数时，次对角线上各元素乘积的项带正号( )。 A.4k或4k＋2 B.4k或4k＋1 C.4k或4k＋3 D4k+1或4k＋2 6、若两矩阵相似，则（ ）。 A.秩相等; B. 正惯性指标相等; C.符号差相等; D. 秩相等且符号差相等

7．设A、B、C都是n阶矩阵，则下列说法中正确的是（ ）。

A．AB=BA B．若AB=AC，则B=C

C．r(AB)=r(A)+r(B) D．若A、B都可逆，则AB可逆

8．下列关于多项式的说法中错误的是（ ）。

A．奇数次实系数多项式一定有实根

B．若f(x)在有理数域上可约,则f(x)一定存在有理根

f(x),g(x)g(x),r(x)

C．若f(x)g(x)q(x)r(x)，则

D．若p(x)是f(x)的k重因式，则p(x)是f(x)的k-1重因式

．．．

9. 设V是欧氏空间, 下面结论不成立的是（ ）。

A.(,)(,)(,)； B.2；

22C. (,)2(,)(,)； D.．

10．设A为m×n矩阵，则下列叙述中正确的是 （ ）。

A.当m=n时，齐次线性方程组AX=0仅有零解 B.当m＜n时，齐次线性方程组AX=0有非零解 C.当m≥n时，非条线性方程组AX=B有唯一解 D.当m＜n时，非齐线性方程组AX=B有无穷多解

11. 关于向量组极大无关组的结论, 下面有（ ）个正确。

(Ⅰ) 任何向量组都有极大无关组； (Ⅱ) 任何有限个不全为零的向量组都有极大无关组；

(Ⅲ) 若极大无关组存在则唯一； (Ⅳ) 极大无关组存在不唯一, 但彼此等价． A.1 B.2 C.3 D.4．

12．设A、B为n阶方阵，A≠0，且AB=0，则下列成立的是（ ）。 A．|B|=0或|A|=0 B．BA=O

222(AB)ABC． D．B=O 13. ,为欧氏空间中的两个非零向量, 则(,)=0是,正交的（ ）。 A.充分非必要条件; B.必要非充分条件; C.非充分非必要条件; D.充要条件. 14. 下列命题正确的是（ ）。

A. 正交矩阵的行列式值等于1； B.正定矩阵必相似于单位矩阵； C. 正定矩阵必合同于单位矩阵； D.以上结论都错． 15．设A是数域F上的矩阵，若A的秩等于r，则 （ ）。 A．至多有一个r阶子式不为零 B．所有r阶子式都不为零 C．所有r1阶子式不为零

D．所有r1阶子式都为零

16.n阶行列式D，当n取怎样的数时，次对角线上各元素乘积的项带正号（ ）。 A. 4k或4k2 B. 4k或4k1 C. 4k或4k3 D. 4k1或4k2

17.若既约分数

r是整系数多项式f(x)的根，则下面结论那个正确（ ）。 sA. srf(1),srf(1) B. srf(1),srf(1) C. srf(1),srf(1) D. srf(1),srf(1) 二、填空题

1. 多项式可整除任意多项式。

2.艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个 条件。

11113．设A121，则A*=________________。

1134．把f(x)2xx3x5表示成x2的方幂和为______________。

325．写出行列式展开定理及推式__________________。

16．行列式11111x的展开式中，x的系数是 。

117.设1,2,3是线性空间V的一个线性无关的向量组，则L(1,2,3)的维数为______。

52f(x)xaxax1的二重根，则a= . 8．1至少是多项式

9. 若A既为实对称矩阵又为正交矩阵，则A=__________。 10．设A是3阶方阵，A是A的伴随矩阵，detA1，则

*

1det2A13A*= 。

11. 在欧氏空间C(0,1)中, 函数f(x)x1的长度为__________。

(k1)12.若不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式，则p(x)是f(x)的 重因式。

213．若(x1)2ax4bx21，则a ，b 。 三、计算题

0101001431.解矩阵方程：100X001201 0010101202.设f(x)x33x2x1,g(x)3x22x1，求商q(x)与余式r(x). 3.求解含参数a的线性方程组

ax1x2x3a3x1ax2x32xxax2231.

．．．

2224. 用正交的线性替换将二次型f(x1,x2,x3)=x12x23x34x1x24x2x3化为标准形．

四、解答题

1．设A,B为nn矩阵，如果AB0，那么是否有秩(A)＋秩(B)n？ 五、证明题

1. 设1,2是线性变换的两个不同特征值，1,2是分别属于1,2的特征向量，证

明：12 不是的特征向量.

2. 证明：每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和。

高等代数复习题答案

一、选择题 1-5 CCACB 6-10 DDBDB 11-15 CBADC 16-18 DBC 二、填空题

111222(x2)11(x2)23(x2)13；1.零次 2.充分 3.14. 1212113

5．ai1Aj1ai2Aj2ainAjn43Dij 6.2 7.3 8.-5 9.A

0ij10.125 11.. 12..单 13. a1,b2 三、计算题

010010100100， 1.解：100100001001001001010010010143100X100201001001120010 200134102 =11112. 解：由带余除法，可得q(x)x,r(x)3.解: 对增广矩阵A施行行初等变换

aA111001379262x 9911a311a211a2a121a120a11a021a2a11a301a1a3a31a2a11a00a2a23a3

1001aa1(a1)0(a1)(a2)03(a1)

2 对参数a讨论如下:

(1).当a1或a2时,r(A)r(A)3,方程组有唯一解

x1a1,a2x2x33; a2 (2). 当a1,r(A)r(A)1,方程组有无穷多解

x12x2x3(x2,x3为自由未知量)

(3). 当a2,r(A)2,r(A)3,方程组无解. 4.二次型相应矩阵为

120A222

023由EA(2)(1)(5)0，得A的特征值为2，－1，5． 相应特征向量为1(2,1,2),2(2,2,1),3(1,2,2)．

212221122单位化 1(,,)，2(,,)，3(,,)．

333333333221333122 令XTY，其中 T33321233322XAX2y12y2 5y3四、解答题 1．证：令B(B1,B2, ABA(B1,B2,,Bn)，

,ABn)(0,0,,0)

,Bn)(AB1,AB1, ABi0,i1,2, 秩(B1,B2,,n Bi是AX0的解。

,Bn)＝秩Bn秩A。

秩A＋秩Bn。 五、证明题

1. 证明：由假设 （111, （222, 12 由此可得 (12)1122. (1) 如果12是A的特征向量, 对应的特征值为, 则

(12)(12)

此式与(1)式比较, 得

(1)1(2)20

但由于属于不同特征值的特征向量线性无关, 故

120

从而 12, 与假设矛盾. 因此, 12 不是A的特征向量.

2.证 设1,2,...,n是n维线性空间V的一组基。显然L(1),L(2),...,L(n)都是V的一维子空间，且 L(1)L(2)...L(n)L(1,2,...,n)＝V 又因为 dim(L(1))dim(L(2))...dim(L(n))dim(V) 故 VL(1)L(2)...L(n)。