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高等代数第五章答案

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 。果结得所算验阵矩用利并�形准标为型次二列下化换替性线化退非用�1 型次二 章五第1��4x1x2�2x1x3�2x2x3� 2�x12�2x1x2�2x22�4x2x3�4x32� 3�x12�3x22�2x1x2�2x1x3�6x2x3� 4�8x1x4�2x3x4�2x2x3�8x2x4� 5�x1x2�x1x3�x1x4�x2x3�x2x4�x3x4� 6�x12�2x22�x42�4x1x2�4x1x3�2x1x4�2x2x3�2x2x4�2x3x4� 7�x12�x22�x32�x42�2x1x2�2x2x3�2x3x4。 解 1�已知 f�x1,x2,x3���4x1x2�2x1x3�2x2x3� 先作非退化线性替换 ��xx12��y12 �y1��yy2 �1� ��x3�y3则 f�x1,x2,x3���4y12�4y22�4y1y3 ��4y12�4y1y3�y32�y32�4y22 ���2y1�y3�3�y32�4y22� 再作非退化线性替换 z1� 21z3�����y1 yy�2�21z23�则原二次型的标准形为 ��z3 f�x1,x2,x3���z12�4z22�z32� 最后将�2�代入�1��可得非退化线性替换为 2� � ��1 ��2���201�1�0�0��T �1� 为阵矩换替的应相3y�3x��3y2�2y�2x� � �y2�2y�1y�1x�3 为换替性线化退非且 �2y�1y��3x,2x,1x�f 22 为形准标的型次二原则3x�3y�� �3x2�2x�2y� �x�1x�1y�2 令可是于 � 2�3x2�2x��2�2x�1x�� 2�32x4�3x2x4�2x���22x�2x1x2�1x��3x,2x,1x�f 2� 得可法方配由 �3x4�3x2x4�2x2�2x1x2�1x��3x,2x,1x�f知已�2 222��1 。�0��0400�0�0��TA�T �1�� 有且1�0000���1�2 ��1�2��1���0��1�2���01��22����11�1���0��10��02����01�1�10�0�1��T �1� 为阵矩换替的应相是于��3z�3x��22 �3� 3z�2z�1z�2x� �11�22�1x��3z1�2z�1z1 �4x2x8�3x2x2�4x3x2�2x1x8��4x,3x,2x,1x�f知已�4���0 。�0��01�00023�3�1�����10��20����1�1��2���3121��0��0��0�3�����11����1��1��1���0�1��0��2�12102���3�2��TA�T1�1��� 有且���1�2 ���1�2���312102��0��0��T �1�� 为阵矩换替的应相 �3y��3y�3x��22322� ��yyx�11�22�1y�1x��3�2y1 为换替性线化退非且 �2y�1y��3x,2x,1x�f 22 为形准标的型次二原则3x�3y��322���xx2y ��x�2x�1x�1y�3 令可是于 � 2�3x�2x2��2�3x�2x�1x�� �32x�3x2x4�2x4�2��32x�2x�3x2x2�3x1x2�2x1x2�1x��3x,2x,1x�f 22� 得可法方配由2x3�1x��3x,2x,1x�f知已�3� �3x2x6�3x1x2�2x1x2�22��0 。�0��0001��10��0���2���1��201�1��40��0��2��1��0221��10��1��0��1��02�01�2�1���TA�T �1� 有且 为换替性线化退非且 �4w8�3w2�2w2�1w2���4x,3x,2x,1x�f 2222 为形准标的型次二原则�88243214�zzzzw����351�33��zw� �22��zw�44�1z�1w��3x3�2x5 令再 �3z2�2z2� 22��4�882�4 �3z�2z�1z�2��4z�3z�2z�1z�8��4x,3x,2x,1x�f ��3�351�522 则4z�4y��3z�2z�3y�� �3z�2z�2y��z�1y�1�4��822� �3y2y2��3y�2y�1y�2��4y�3y�2y�1y�8� ���1111�2 换替性线化退非作再�822� 3y2y2��3y�2y�1y�8� �111�22��8�22��822� ��3y�2y�1y���3y�2y�1y�4y2�4y�8� 211��111��2�1�4y8�4y1y8��4x,3x,2x,1x�f 4y2y8�3y2y2�4y3y2�2 则4y�4x��33��yx� �22��yx�y�1y�1x�4 换替性线化退非作先 即4y�4z���24y�3y�3z�1� ��4y�3y�2y�1y�2z��y�1z�1 换替性线化退非作再2 �y�y12423��42��4y�3y����12�4y�3y�2y�1y�� 4y3y�4y2y2�4y1y2�3y2y2�3y1y2�2y�2y1y2��4x,3x,2x,1x�f 2 则4y�4x��33��yx� �22��yx�y�1y2�1x�2 换替性线化退非作先 �4x3x�4x2x�3x2x�4x1x�3x1x�2x1x��4x,3x,2x,1x�f知已�5���8�0 。��0��02�00002000�0��0��TA�T 0��2�� 有且��1��0 ��0��1�1431��01451�2���1�0��T 0�2��1� 为阵矩换替的应相 �4w�3w43�2w�24w�1w��4x�1�3w�2w�3x�� 322�wwx���42�1x��5�1w14x�2x2� 4x3x2�4x2x2�3x2x2�222�4x�3x2�2x2�� ��24x�3x2�2x2���4x�3x2�2x2�1x2�21x��4x,3x,2x,1x�f� 得可法方配由 �4x3x2�4x2x2�3x2x2� 4x1x2�3x1x4�2x1x4�4x�2x2�1x��4x,3x,2x,1x�f知已�6� 222�4���3 。�0�0��01�0000001�0��0��TA�T 0��1�� 有且0100111�1��1�2���1 ��2�1��2���10��0����T 1���1�� 为阵矩换替的应相4z�4x���24z�3z�3x�1�� 2 �4z��3z�2z�1z��2x�1�2�3z�2z�1z�1x��4z14z �243 为换替性线化退非且�3z�2z�1z���4x,3x,2x,1x�f 222 为形准标的型次二原则4z�4y��2�4z�3z�3y�1� �2�4z�3z�2z�1z��2y�1�z�1y�1 令可是于 �222�3x�1x��2�4x�3x��2�3x�2x�1x��21x� 22 1x�1x�3x�3x1x2� 3x�22�4x�3x��2�3x�2x�1x�� x�1x�� �423x�4x3x2�2x�3x1x2��2�3x�2 4x�4x3x2�3x1x2���232x�4x,3x,2x,1xf x�1x���3x�1x�2x2�2��� 得可法方配由 �4x3x2�3x2x2�2x1x2�4x�3x�2x�1x��4x,3x,2x,1x�f知已�7� 222202002�00��0�0 。��0��010�0��0��TA�T 0��1� 有且0001��1�1� ���1��1�12�312��0�0���T 0��1� 为阵矩换替故4y�4x���4y�3y�3x�� 2 �4y�3y��2y�2x�3�y�3y�2y2�1y�1x�43y �22 为换替性线化退非且1�2y2�1y�f 22 为形准标的型次二原则44�xy���4x�3x�3y�� 22 �4x��3x�2x�2y�13�x�3x2�2x2�1x�1y�4 令可是于2 �2�4x�3x��2�22��4x�3x�2x�2��1�312�4x�3x2�2x2�1x�� 换替性线化退非作若�上域数实在 �1���3y�3x��22 �3y�2y�1y�2x� �11�22�1x��3y1�2y�1y1 为换替性线化退非且 �3y3�2y4�1y��f 222 为形准标的 3x2x2�3x1x2�2x1x4���3x,2x,1x�f 型次二得求已�1 解 。换替性线化退非的作所出写并�形情种两数系复、数系实分�形范规为化步一进型次二述上把�Ⅱ� 0001��1��0 。��0��010001�0��0��TA�T 0��1� 有且��1��1 ���1���00000�01��01���T 10��1� 为阵矩换替的应相4y�3y�1y�4x��413����yyx� �422�yyx���y�1x�1 为换替性线化退非且4y�2y�2y�1y�f �2 222 为形准标的型次二原则3x�1x�4y��4x�3x�3y�� �3x�2x�1x�2y��x�1y�1 �3y��3y�3x��223y�2y�2x� �11�22�1y�1x��3�2y1 为换替性线化退非且 �2y�1y�f 22 为形准标的 3x2x6�3x1x2�2x1x2�2x3�1x��3x,2x,1x�f 22 型次二得求已�3 2y�1y�f 。2 2 形范规的上域数复和形范规的上域数实为化型次二原将已换替性线化退非该故3y�3x��322���2yyx � �y2�2y�1y�1x�3 为换替性线化退非且2y�1y�f �2 2 为形准标的 3x4�3x2x4�2x2�2x1x2�1x��3x,2x,1x�f 222 型次二得求已�2 。3z�2z�1z�f 222 为形范规的型次二得可�1z�3y��2 �2z�2y� �1�zi�1y�1 换替性线化退非作若�上域数复在 �2�3z�2z�1z�f 。2 22 为形范规的型次二得可�1z�3y��2 �2z�2y� �1�z�1y�3 换替性线化退非作若�上域数复在�2� 。2z�3z�2z�1z�f 2222 为形范规的型次二得可�22�1z�4y�1�2�3z�3y�1� ��222��zy�1�2�1y��4z1 换替性线化退非作若�上域数实在 �1� �4y�3y43�2y�2414�yyx���1�3y�2y�3x�� 322�yyx���42�1x��5�1y1 为换替性线化退非且 �4y8�3y2�2y2�1y2��f 2222 为形准标的 4x2x8�3x2x2�4x3x2�2x1x8��4x,3x,2x,1x�f 型次二得求已 �3�2z�1z�f 。2 2 为形范规的型次二得可3z�3y�� 。2zi�2y� �z�1y�1 换替性线化退非作若�上域数复在 �2�2y�1y�f 。2 2 即�形范规为化型次二将已换替性线化退非作所面上�上域数实在 �1��3�4zi�4y�2�33��ziy ��2z�2y��zi�1y�1 换替性线化退非作若�上域数复在 �2� 。4z�3z�2z�1z�f 2222 为形范规的型次二得可�3�4z�4y�2�33��zy ��12��zy�z�1y�2 换替性线化退非作若�上域数实在 �1�4y�4x���24y�3y�3x�1�� 2 �4y��3y�2y�1y��2x�1�2�3y�2y�1y�1x��4y1 �4y243 为换替性线化退非且�3y�2y�1y��f 222 为形准标的 4x3x�4x2x�3x2x�4x1x�3x1x�2x1x��4x,3x,2x,1x�f 型次二得求已�5�2z�3z�2z�1z�f 。2 222 为形范规的型次二得可�22�4z�4y�1�2�3z�3y�i� ��222��zy�1�2�1y��1zi 为形准标的 4x3x2�4x2x2�3x2x2� 4x1x2�3x1x4�2x1x4�4x�2x2�1x��4x,3x,2x,1x�f 222 型次二得求已�73z�2z�1z�f 。2 22 为形范规的型次二得可4z�4y���3z2�3y�� �2�2z�2y�i�zi�1y�1 换替性线化退非作若�上域数复在�2�3z�2z�1z�f 。222 为形范规的型次二得可4z�4y���1z2�3y�� �2�3z�2y�1�z�1y�2 换替性线化退非作若�上域数实在�1�44�yx���4y�3y�3x�� 2 。4y�3y��2y�2x�3�y�3y�2y2�1y�1x�43y �22 为换替性线化退非且1�2y2�1y��f 22 为形准标的 4x3x2�4x2x2�3x2x2� 4x�2x2�1x�4x,3x,2x,1xf�� 4x1x2�3x1x4�2x1x4�222 型次二得求已�6 4z�3z�2z�1z�f 。2 222 为形范规的型次二得可2222 f�y1�y2�y2�y4� 且非退化线性替换为 �����xxx12�3�y1y2�y4。 �1�在实数域上�上x4面所���作y1y非�1�退y3y化�4��线y4性替换已将二次型化为规范形�即 f�y12�y22�y22�y42。 �2� 在复数域上�若作非退化线性替换 �y11 ��y2��zz2� 可得二次型的规范形为 ����yy34��iz3z4 f�z12�z22�z32�z42。 2�证明�秩等于r的对称矩阵可以表成r个秩等于1的对称矩阵之和。 证 由题设知A�A�且rank(A)�r�于是存在可逆矩阵C使 C�AC�D� 且D为对角阵�又因为C�,C�1,�C�1����C���1均为可逆矩阵�所以有 C�AC�D1�D2���Dr� 其中 ��1��0D1����d0�0����,�,Dr������00��������,D2�d20�������dr���0������于是 ��� A��C���1�D1�D2���Dr�C�1 ��C�1��D1C�1��C�1��D2C�1����C�1��DrC�1。 ����0����0���� 2x22a�nx1x�1na�2n1x����2x1x�12a�21a��1x11a 2 即�0�XA�X有�R�X�为因。性分充 nj�i 。0�jxix�ija�jia���XA�X 故�0�ija�jia于由 jxix�ija�jia���jxixjia��XA�X j�ij,i 以所��j�i�ija��jia,0�iia即��A��A为因。性要必�1 证 。0�A么那�0�XA�X有X量向维n个一任对且�阵矩称对是A果如�2 。0�XA�X有�X量向维n个一任对当仅且当阵矩称对反是A�1 �明证�阵矩阶n个一是A设�4 。同合B与A故。Af成化可Bf则 ��n,�,2,1�t� tix�ty 换替性线的化退非作 �nyni����2y2i��1y1i��222Bf f �nxn����2x2��1x1��222A 为别分型次二的应相们它与�B,A为设别分阵矩个两中题 证 。列排个一的n,�,2,1是ni�2i1i中其�同合�2�ni��� ����i��1i����n������� 与 �����2�1������ �� �明证�3 。和之阵矩称对的1为秩个r成表可A故�阵矩称对是都1�CiD 。1�CiD��1�C即���1�C��1�CiD��1�C�������CiD�C� �1��1�� 且� ��r,�,2,1�i� 1��1�CiD���1��C�knar �� 因条要必分充的积乘的式项多次齐次一的数系实个两成解分以可型次二实个一�明证�6 。类同合个 �2�n��1�n�负负负�负负个个个�个个r2��1�n��n���3�2�1 有共故�0,1,2,�,1�n,n取别分可又r秩但。类同合个1�r计共�正个个个�个个 2�r�正�10��正�正1�r�正021 1�rr� 为分可中�r,�,2,1�i�id在�况情类分同合的型次二应相的D阵矩角对虑考面下 �0rd�2�0���� 。D�������d1�������CA�C�TB�T ����d� 使C与T阵矩逆可在存为件条要充的同合B与A阵矩称对实 解 �类几有共问�同合们它当仅且当类一同于属阵矩称对阶n实个两即�类分同合按阵矩称对阶n实把果如�5 。0�A即 �0� �0�ija�jia�0�jia2 nna���22a�11a 有故�式项多零元多个一为XA�X明说这nxnna���nx2xn2a2��� �0�22x22a�nx1xn1a2���2x1x21a2�1x11a 2 2 即�0�XA�X且�的称对是A于由�2 。A���A即nn ��j�i�ija��jia ,0�a���22a�11a 有故�式项多零元多个一是式原明说这nxnna���nx2x�2na� �0�2n2a���� �1yk��nx,�,2x,1x�f 2 为化型次二使YC�Z换替性线化退非经可则�1为秩的�nx,�,2x,1x�f若�1。性分充 。0为差号符且�2为秩的�nx,�,2x,1x�f型次二故 �2z�1z�2y1y��nx,�,2x,1x�f 22 为化可型次二则��n,�,3�i�iz�iy�212�zzy�� ��z�1z�1y�2 令再 。2y1y��nx,�,2x,1x�f 使��n,�,3�i�ix�iy� �nxnb���2x2b�1x1b�2y� �xna���2x2a�1x1a�1y�n22 换替性线化退非作可则�b11a�ba设妨不�例比成不数系式次一个两若 �2 。1为秩的�nx,�,2x,1x�f型次二故 �1yk��nx,�,2x,1x�f 2 为化型次二使�n,�,2�i�ix�iy�� xna���2x2a�1x1a�1y�n 换替性线化退非作可则�0�1a设可�性般一失不 �n,�,2,1�i� iak�ib 即�例比成数系式次一个两的边右式上若 �1 。数实为均�n,�,2,1�i�ib,ia中其 ��nxnb���2x2b�1x1b��nxna���2x2a�1x1a���nx,�,2x,1x�f 设。性要必 证 。1于等秩者或�0于等差号符且2于等秩的它�是件��1 ��41���2141�42�21�4��A �01� 为阵矩的型次二 �2 。型次二定正为型次二原故 �0�A�3� ,0�6�0316�99�2� ,0�99�1� 为因��17 ��03���4203�6�031�42�6���A �99�1�i1�in 为阵矩的型次二�1 解 。1�ixix �jxix1�n��i2x��41�inn�j�i�1��xi2��3 �3x�3x2x82�2x2�3x1x42�2x1x8�1x01�2222 �3x17�3x2x06�2x031�3x1x84�2x1x21�1x99�1222 �定正否是型次二列下断判�7 。积乘的式次齐次一个两成表可�nx,�,2x,1x�f故 ��nxnb���2x2b�1x1b��nxna���2x2a�1x1a�� 2y�1y�nx,�,2x,1xf�� �2y�1y��2y�1y��22 为化型次二使YC�Z换替性线化退非经可则�0为差号符且�2为秩的�nx,�,2x,1x�f若�2 。�nxna���2x2a�1x1a��nxnak���2x2ak�1x1ak�� 2�nxna���2x2a�1x1a�k��nx,�,2x,1x�f 且 �nxna���2x2a�1x1a�1y 即�式次齐次一的nx,�,2x,1x为1y中其 。型次二定正为型次二原故1�k�00k�����10�34100�0��2�0��� �1�k�2� �0��1�k�����1�k20031202 1����211k212211����211211�kA �1�2�����1��2 为式子主序顺级k的A则�n�n�jia��A为阵矩的型次二记 �4 。型次二定正为型次二原故 ��n,�,2,1�k��2�0��1�k����kA �1�k 且�阵矩称对的型类同为A与kA阵矩的应对所式子主序顺阶k意任的A于由�����2��1����2� ��1�2�1�2��1121211�1�2112212���1��2��1��A 2�1��1�� 即 �j�ij�i2�,�1��jia �,1�n�n 中其��a��A为阵矩的型次二记 �3ji 。定正非型次二原以所�0�A为因 得定正为型次二原由 �0�501�t03�t��32134t551t�A�3� �0�2t�4�4t1t�2� �0�1�1� 即�时零于大都式子主序顺有所的A当��1 ��3��534t�5�t��A �1� 为阵矩的型次二�2 5�0�t4�t5��2� ��0�t�1�2 。0�t�4�得可�组式等不面上解 有�时定正为型次二原当 �0�252t1�11�1t�A�3� �0�1t1t�2� �0�1�1� 为式子主序顺阶各的A为因2t��5 ��2��1�1�1��t��A �1� 为阵矩的型次二�1 解3x�2x4�1x�2 3x2x6�3x1x01�2x1xt2�2223x5�2x�1x 3x2x4�3x1x2�2x1xt2�2�122 �的定正是型次二列下�时值么什取t�8 使�0�X量向维n实在存必�明证�0�A且�阵矩称对实级n个一为A设�21 。阵矩定正为A证即�型次二定正为YA�Y而从1��1�1� �0�XA�X�YAA��A��Y�Y1�1�A�Y 故�阵矩称对是也1�A又�Y1�A�X换替性线化退非作�型次二定正为XA�X故�阵矩定正是A因 证1� 。阵矩定正是也A么那�阵矩定正是A果如�明证�11 。的定正是A�Et而从��n,�,2,1�k�0��t�k�故ii ��n,�,2,1�i�jia��i�ja�t且�式列行的阵矩优占角对主格严为�t�k��时大分充t当kka�tk2����222ka1ka �k1aaa�t21�12�a11a�t 为式子主序顺级k的它a��t�k� ����222na�nn�a�t�� ���n2a��n1aa�t21�a111na������A�Et 12�a�a�t� 。�n,�,2,1�i�0�iA式子主级i切一的A故�的定正是型次二该知义定的型次二定正由 �jxixjia�ik1k�j1k�iik 证 。阵矩定正是A�Et�后之大分充t数实当�明证�阵矩称对实是A设�01 � 型次二新得可则 ��ik���2k�1k,ik,�,2k,1k�j�1�j1�inn 令并�jxixjia��型次二定正作�n�n�jia��A阵矩定正设 证 0�jx 。式子的同相标指列与标指行是就�式子主谓所。零于大全式子主的A么那�阵矩定正是A果如�明证�9 。定正为型次二原使值t在存不即�解无组式等不此但�0�501�t03�t��2� ��0�t�4�2 �1�ry��� �ry���21�p21�py�0�py���2y�1y 令若 2y�1y�nx,�,2x,1xf y�py���2��22 即。r�p则�r秩�p数指性惯正若。法证反用采。性要必 证 。 等相秩与数指性惯正的它是件条要必分充的定正半是�nx,�,2x,1x�f型次二�明证�41 。阵矩定正为B�A而从�型次二定正为必X�B�A��X是于 �0�XB�X�XA�X�X�B�A��X 此因 �0�XB�X �0�XA�X 且�型次二定正为XB�X,XA�X以所�阵矩定正为B,A为因 证 。阵矩定正是也B�A�明证�阵矩定正阶n是都B,A果如�31 。0�XA�X使�0�X在存证即 �0��p�n���1���1�1�0���0�0�ssXXA� 使�snx,�,s2x,s1x��sX解零非组一唯得可故�0�C于由�1�nxnnc���2x2nc�1x1nc���������������1�nxn,1�pc���2x2,1�pc�1x1,1�pc�� ��0�nxnpc���2x2pc�1x1pc���������������0�nxn1c���2x21c�1x11c� 组程方性线一得可则,1�ny���2�py�1�py,0� py���2y�1y令�中Y1�C�Z在要只是于。项方平的号负带含必中形范规在且ny��� �22�p2y�1�p2y�py���2y�1y� 222 YB�Y�YCA��1�C�Y�XA�X � 使Y1�C�X换替性线化退非在存必故。阵矩定正是不A且�n��A�knar以所�0�A是于�0�A为因 证 。0�XA�X 。0� 。0�20XA0�X使0�0X量向维n实在存必�明证XA2�X �0�XA�1X 使2X,1X量向维n实有若�型次二实一是XA�X��nx,�,2x,1x�f设�61 。的定正半是�nx,�,2x,1x�f型次二原故n�j�i�1 。0�2��jx�ix����nx,�,2x,1x�f 时nx���2x�1x当 �2 。0�2jx�ix����nx,�,2x,1x�f n�j�i�1 时等相全不nx,�,2x,1x当 �1 �见可n�j�i�1 。 2�jx�ix���2�n2x�nx1�nx2�1�n2x�����32x�3x1x2�1x�2��22x�2x1x2�1x� � �nx1�nx2���nx2x2 ���3x2x2�nx1x2���2x1x2��n�n2x���2x�1x��1�n�� 22 �nx���2x�1xx1�nx2���nx2x2���3x2x2�nx1x2���2x1x2�222� ��n2x���2x�1xn� 22�� �ix�21�i����ix�2n1�in�n 证 1�in� 。的定正半是�ix�21�i����ix�2n�n�明证�51 。定正半型次二证即�0��nx,�,2x,1x�f有故y���2y�1y��nx,�,2x,1x�f �p222 知�r�p由。性分充 。r�p故�盾矛0� �nx,�,2x,1x�f件条给所与这。0��nx,�,2x,1x�f使�nx,�,2x,1x�解零非得可则 �nx1�nx���3x2x�2x1x�2 �1�nxnx���1�n2x2x�1�n2x2x�n2x1x�1 �果结得所算验阵矩用并�型准标为型次二列下化换替性线化退非用 �1 答解考参题充补 、一 。略处此�明证的题2第�解精题充补�分部三第章本见详法证一另的论结该 注 。�A�knar��A�A�knar �0�XA� 0��XA� 故�解同0�XA�A与0�XA证即��XA�� 0�XA�A�X� 0�XA�A�0�XA 上实事。可即解同0�XA�A与0�XA明证要只故�组程方解同为0�XA�A与0�XA是件条分充的�A�A�knar��A�knar于由 证 。�A�knar��A�A�knar �明证�阵矩实个一是A�71 。证即 �0�q�p2y���1�p2y�py���1y�2200XXA� 使0X量向零非得求可YC�Z由则 �1�q�py���1�py �0�py���1�qy �1�qy���1y令 。证可似类他其�形情的q�p论讨仅面下 q�p �q�p �q�p �能可种三在存q与p时这y��� �q�p21�p2y�py���1y�XA�X 22 即�r�q�p且 �1-个q�1个p有设妨不。1-为全能可不也�1为全能可不rd,�,1d数系的中型准标故 �0�2XA2�X 和 0�1XA�1X 使2X,1X量向个两在存必�知已由。1-或1为rd中其2y2d�1y1d�XAX �2ryrd���2� 2 型准标为化型次二原将YC�X换替性线化退非作�r为秩的A设 �1�1���1���� ������ 中其�������TA�T ���1� 使1��1�111��001��1��0��� ������0��1 �n2y�21�n2201�01�n21�1�0������T ���0��1� 阵矩换替且y���y�ny���2y�1y�f 222 为形准标的型次二原则�YT�X即n2y�1y�n2x��1�n221�n2�yyx����������1�n1�n�nyyx��� �1�nnn�yyx�����������1�n2y�2y�2x��y�1y�1x�n2 换替性线化退非作�1 解 。nx���2x�1xn�x中其�x�ix�2���41�in �jxixn�j�i�1��xi2��31�in 为阵矩换替化退非得�时3�k4�n当1��011�01�1���01���11��1��0��� ��0��1��0��1 �1�ny�21�01�0�1�1�01�1��������T ��1��1� 为阵矩换替化退非得�时1�k4�n当且2�n2y���4y�3y�2y�1y�nx1�nx���3x2x�2x1x 2222 则��nx�ny��2 ��2�n,�,5,3,1�i� 2�i�1�iy� 1�ii���xxx�2�iy��2�ix�1�ix�ix 换变作�时数奇为n当是于 �3x2x�2x1x� 2y�1y �2y�1y��2y�1y��2 2 则 �3x�2x�1x2�2y �3x�2x�1x2�1y 若�22�2�1������ 。�����2��112��1������A ������ 为阵矩换替化退非得�时2�k4�n当是于11�01�1���01���11��1���1��� ��0��1�0��1� �ny�21�0�1�1�01�1��������T ��1��1� 为阵矩换替化退非得�时k4�n当是于1�n2y���4y�3y�2y�1y�nx1�nx���3x2x�2x1x 2222 则�2�ny�n1�n�xx�2��1�ny�1�nnxx�� ��3�n,�,5,3,1�i� 2��1�iy�2�i1�iixxx���2�iy��2�ix�1�ix�ix 换替性线化退非作�时数偶为n当 1�1�1���0���� 。�������11���������TA�T �����1� 有都�时数奇为n当故1��1�0101�1�010�1���01���11��1��0��� ��0��1�0��1��1�1�01�1��������T ��1��1� 为换替性线的化退非则���nx�ny��nnx�1�nx�1�ny�1� ��������� ��3�j3j�22�xxy��1�n�2�j2�11�xy���jxn1 令可是于 �nx2���2�j2�3�j3��4�� ��jx��2x���jx��1x��f 11��3��nn221�n�nn2��nx��12�n�12��1�n�x��� �n 得可法方配由 �31�1��1����� 。������11��������TA�T ����1� 有都�时数偶为n当故11�1�010�1���01���11��1���1��� ��0��1��0��1�1�1�01�1��������T ��1��1� 以所211211������21�21��1��2��1 ����2�1�2��112212���12��1����A 2�1��1�� 为因又01���������00100�1�n�3���01�11�n1��1�n�1����n ����1�n�1��n���111�n13121�0��0����0��T ��0��1�� 为阵矩换替的应相 �ny21�nn2�1�n2y�1�n�2n���2y243�1y�f 2 为形准标的型次二原且��ny�nx��nny�1�ny�1�nx�1� �������������������� �1�n3n�ny�1�ny���3y�2y�2x�111�1�n32n�1y�1x��ny1�1�ny1��3y1�2y1�00�����0�40� 。��0��0��00030��TA�T �0��0��1�4� 令 则 由于 则 00�2�nn0���������0000�0�1�nn�1������y1�x1 �����x�y2���x2���x��� yn�1�xnxn�1��yn��x�x�2y�nyi����11�y�2�i�2xyn2� ���21��������i��3yi�。 ��xn�2n�1������yn�i�1yi�2yn�1�ynxn�n��n �i�1yii�1xi��n�1�x�x� n原式���1�12i�1yi2���yn��ni�1yi���2���n�1y2ni�1i�����i�1yin�1��� �2�����i�yi21�1�i��j�n�y1iyj��� �2�����z12�43z22���2�nn�1�zn2�1���� �2z12�3z22���其中所作非退化的线性替换2nnn为 �1z2�1� �1z2�1z3���1zn�1 ������y1�z1�y22���z2���1z33�3���41zn�4�������11zn�1�n��1��� �yn�1���n��znzn�1y故非退化的替换矩阵��为 ��������122111�1�11��1�����0121�31��n1�100���1 T��1�1n1�2��11�1������0�1�1�����0�13����0�������010101�2n�1011�����������000000�0110�� �2����300��0011�� �����1112���1�����0121340��0����。 ����00203�nn0�111�����又 nx1�x�i�1�x�x�2i��x1�x,x2�x,�,xn�x����x2�x���� �����xn�x�����n�1� ��x1,x2,�,xx������n�n�1n1n�n1�1�n�1�n�1�n1����n��������n1�������nn1n��n1�nn��n11�����������n1�n1���n1nn1��������xx12���n��1�����������xn�� 令��0 ���0r�0��E���1�Q�1���0Q��0r0���PA�AP �E� 而从��0 �1�Q��0r�0���0�AP 或 ����0E�r0���Q�AP �E� 使Q,P阵矩化退非在存故��A�knar���A�knar于由。可即r��A�knar明证需只面下 �X�A�A��X��nx,�,2x,1x�f 因�r��A�knar设 证 。秩的����2saa22��ns�a�� ��n2a��n1a21a1sa������A 12�a�a�11 阵矩于等秩的�nx,�,2x,1x�f�明证1�is �2�nxnia���2x2ia�1x1ia����nx,�,2x,1x�f 型次二实设 �201�nn�00������040000�300�2�0��0��� 。��0��0��00300��0������TA�T 0��0��2� 以所 �ZA�Z� ����n�1�n1���� ����nx�����2x��x�1�n��1�n���n�1��n���11�nnn���1���n�x21��x,�,x,x�� 1�n��1�n� �0�sy���1y �0� �sy���1y�22q�p2q�pl���1�pl 有必�立成要式上l���1�p2l���na,�,2a,1a�f 是于��na,�,2a,1a�解零非有必它故�n数个的量知未于小�程方个s�n�p含组程方该�0�nxnnc���1x1nc������������0�nxn,1�sc���1x1,1�sc�� ��0�nxnpb���1x1pb������������0�nxn1b���1x11b� 组程方性线虑考�p�s设。法证反用采。p�s明证面下 。ry���21�s2y�sy���1y� 22 q�pl���21�p2l�pl���2l�1l��nx,�,2x,1x�f 222 得使 ��n,�,2,1�i� nxnic���2x2ic�1x1ic�iy 换替性线化退非在存则�r为秩�s为数指性惯正的�nx,�,2x,1x�f ��q�p,�,2,1�i� nxnib���2x2ib�1x1ib�il 设 证 。q�数指性惯负�p�数指性惯正的�nx,�,2x,1x�f�明证�式次齐次一的nx,�,2x,1x是�q�p,�,2,1�i�il中其pl��� 。q�21�p2l�pl���2l�1l��nx,�,2x,1x�f 222 设 �3 。�A�A�knar��A�knar证即 。r为秩的A�A而从�0�rB式子主序顺级r的它此因�的定正是��1�Q�1�Q于由��0 。��0r��00�����B��0r��M0����E��Cr��0D����B��0r�0����PA�AP E� 则��M ���CrD����B���1�Q�1�Q 这就是说�对于x1�a1,x2�a2,�,xn�an这组非零数�有 y1�0�y2�0,�,yn�0 � 这与线性替换Y�CX的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以 s�p。 同理可证负惯性指数r�s�p�即证。 4� 设 A�1����AA12A121A22���� 是一对称矩阵�且A11�0�证明�存在T�11����E0EX����使T�AT�����A0个级数与A22相同的矩阵。 证 只要令T��注意到 �����A2E1A1�110���则 T���E��A1�E11E���0���A1�2����� A12�A2�1� �A1�11��则有 �A1�11� T�AT�����AE�11�21A11E0������AA11�21A12��A22��������E0�AE11A12�� �����A��011�A��1�E11�21A1�A111A212�A22������E0�AA12�� �����A��011�0���。 即证。 �5� 设A是反对称矩阵�证明�A合同于矩阵 ��001����� �����1����01010���。 ��������0����0�����其中�表示一 阵矩于同合A而从�同合������� ��0��1����0��� 与 ��1�����1�k,1b0�1�0�0000�0b�����1�k,1b����� ��0 知设假纳归由�0��1� ��0����01�k,10��0��1�k,1b� �����0 有则�零成化�k,�,2,1�i�kia,ib元零非他其的列两行两后最将再1�0�������0�1 ������1bk1a1b����k1a�� ���0�1�k,k 成化可A则�1a以乘都列一后最和行一后最将并�0�1�k,ka设妨不�换对时同的列行过经�然不若。证已论结�设假纳归由则�零为全素元�列�行一后最果如1�k,k0�a�������0�1�k,ka ������1�k,1ak1a1�k,1a����k1�a��A ����0 时这。形情的1�k�n察考今�立成论结时k�n设假 ���01��� ���10�211�211��0a乘列2第��a乘行2第�21a��0 。立成论结�同合��1�21a���A �0� 时2�n当 。阵矩1����与A故0�称对反零非为A设面下。立成论结��0�于同合�0��A�时1�n当。法纳归用采 证 ��� 。���11�1�������a��b�22a0�����1��21a12a��1����a��011b���TA�T�B �1� 则��1 ���b�22�0��a�T ����21a1�12�a��A �a�11 设�时2�n当。法纳归用采�1 证 。型次二定正是XA�X则�零于大全式子主序顺的A阵矩果如�明证果结上以用利�3 �形角对成TA�T使T阵矩角三上殊特一有定一么那�零为不全式子主序顺的A阵矩称对果如�明证�2 �值的同相有式子主序顺应对的B与A�明证�TA�T�B而�阵矩角三上殊特为T�阵矩称对一是A设�1 。阵矩角三上殊特为称阵矩角三上的1是全上线角对主�7 。证即�na�c中其 �X�Xc�2ix�na�ij2x�ix22�a�j,iXA�X 得可jj,ij2x�ix22�jxix用利 。xix�a�XA�X 则�jiaxam�a令j,i �jxixjia��j,ijxixjia��XA�X j,i 为因 证 。X�Xc�XA�X 有都X量向维n实个一任对使�c数实正一在存�明证�阵矩称对实阶n是A设 �6 。证即�立成也阵矩级1�k对论结知便�换交列和换交行作阵矩面上对再1�0�0011�0���0��1���� ��������01�������� ����1���0� 形角对成化A将以可便�换变等初种三第的行进时同列行次干若过经�去下续继此如�零成化都余其外22b除中列二第和行二第的1A阵矩使�换变等初的似类行进1�nB对再�0��22�b220�b而从���011�0��知�1由是于a�����112nbb�1�n�B ���022��nn�b���0����11��n2ba��0011�0�����A 0��a� 阵矩称对成化以可�换变等初种三第的同相行进列一第和行一第的A对时同�0�a因��jia��A阵矩称对阶n设�2 。证即�等相式子主序顺阶n的A与也式子主序顺阶n的B知 �A�1�A�1�TA�T�B 由�B是就式子主序顺阶n的B而�值的同相有式子主序顺的1�nA与式子主序顺的1�nT1�nA�1�nT�1�nB即�式子主序顺的阶1�n�切一的B�设假纳归由��� 。���1�n1�n��� ������� �T1�nA1��nT�1�n����� B���1 ���1�n��nna0����T���1�n��1�����A��0�����B T� 是于。阵矩角三上殊特为1�nT中其�nn�a ����1�n�����1A�� ����A�1�n0���T �T� 阵矩块分成写T,A将�阵矩阶n察考今�立成阵矩阶1�n对论结设假纳归 。立成论结时此故�同相式子主序顺阶各的A与 �A�1�A�1�TA�T�B 为式子主序顺阶二而�11a为式子主序顺阶一的B�式子主序顺个两的B虑考 么那�型次二定正是 �ija�jia�jxixjia�� 1�j1�inn 果如�1�明证。8 。的定正是XA�X故�零于大都n�,�,2�,1�于由 �nyn����2y2��1y1��YTA�T�Y�XA�X 222 ��n,�,2,1�i� 0�i� 以所i 且�换替性线化退非是YT�X因iia���1ia��2 �0��i1a11a��� 1� 。0�2�以所 �0�22a21a1121aa�2�1� �0�11a�1� 故�值的同相有式子主序顺有所的A与式子主序顺有所的B知�1由又��n��� 。B�����2�1�������TAT ��� 使T在存�知�2由�3 。证得题命�B�TA�T使�sT,�,2T,1T�T在存故�阵形角三上为仍积之阵形角三上而��iT阵形角三下个一乘左�iT阵形角三上个一乘右于当相�换变等初种三第的列、行次一行进每于由�2�n��� 。B������1������ �� 知�1由�阵矩定正是也阵矩阶1�n的应对1�nP故�阵矩定正为A�2 。型次二定负是�ny,�,2y,1y�f以所�阵矩定正是A为因 。ZA�ZA�� Z�A�ZA��Z�YA�� �nzny���1z1y�A�� n�nzny ���1z1y��00nnya��������11nyan1�a11���ny,�,2y,1y�f a 则2naa22��n��nn�z��a����� �����2z��n2a����1z��n1a21a�n�1na���y���������� 12a��2y����a��1y�11 即�ZA�Y换变作�1 证 。�in2t���i22t�ti12���1�in2T 么那�阵矩逆可实阶n是�jit��T果如�4 。nna�22a11a�A 么那�阵矩定正是A果如�3 �式子主序顺阶1�n的A是1�nP里这 �1�nPnna�A 么那�阵矩定正是A果如�2 �型次二定负是0nnynnyaa�����22ny1a1nya �21yyn2�22�n1a21aa12���ny,�,2y,1y�f aa11n22t�n12t�2n2 得便�3由再�nn�2t���� �����t���222t�212t1n2t���122t�112����� ��t��������nn�t ����n1t1nt��nnt��������t��1nt1111n1t�����T�T �t� 且�阵矩定正是T�T以所�型次二定正为YT�T�Y�X�X则�YT�X换替性线的化退非作�4 。11a�1�n,1�nanna���2�nP1�n,1�nanna�1�nPnna�A 得�2由�3 。证即�1�nPnna�A有上综 �1�nPnna�A 有�时0�n,1�na���n2a�n1a当 �1�nPnna�A 以所��时0为不个一有少至中nia�0��n,1�na,�,n2a,n1a�1�nf因又 �1�nPnna��n,1�na,�,n2a,n1a�1�nf� nn 00�a1�n,1�na1�n,na����1,1�na1na1�n,1�a11��n,1�na0�1�n,1�na1�n,na��������1,1�na1naan1aaa1�n,1�aaa11�� aaann1�n,n1nn,1�n1�n,1�n1,1�n n1�a1�n,1�a11��A a 到意注。型次二定负是1�n0�1�n y1�n,1�nya����11,1�nya1y1�n,1�a11���1�ny,�,1y�1�nf a 作���2ma�mm�a ��n,�,2,1�m� ����m1a21�a1ma������a�11�m�A 阵矩的应相式子主序顺个m第的A取任�零于等或于大全式子主的A设。性分充 。�n,�,2,1�m� 0��m�A 故。�m,�,1�i�0�id中其�2�m�d� �����d1����mmTTA�� �m���d� 使mT阵矩化退非在存故 �0�1X�m�1X�A�kixsixkisia� 1�j,in 得�0�jxixjia�入代��mi,�,2i1i�i�0�ix令�m� �1XA�1X�kixsixkisia� 为型次二的应对�m�A �mimia���1imiami1i�a1i1i�a��m�A 阵矩的应相式子主阶m个一任的A取。性要必 证 。�n�ki���1i�1中其�式子级k的kikiaa����2ikiaaa1ikiaa ki2iki1i�2i2i2i2i�1i2i1i1i�aa 为形指是�式子主阶k谓所�零于等或于大全式子主切一的A是件条要必分充的定正半是A阵矩称对实�明证.9 。�in2t���i22t�ti12���1�inT�T�2T 。阵矩定正半为A故�盾矛阵矩定正为A�E�时0��与这 �0�c�c�0XA0�X�0XE�0�X�0X�A�E��0�X 则012 �0�0n2x���c022x�x�00XX�c�� 0Xc��XA�使 令是于。�0�c��0X量向零非一在存则�阵矩定正半是不A若假。阵矩定正是 �0�。0�iP以所�0��m��m�A�mE��时0��当即A�mE� 有�时0��当故�i�A式子主阶i切一的A�设题由�和的式子主阶i切一中 �mP��1�mP���mm1�m�1P�m��1m�m�A�mE� 得�质性式列行由�m�A是iP中其a��m2m1����222maaa��m� ��aaa��21�12�A�mE� a11a��

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