高考数学解析几何专题汇编(习题)

解析几何专题汇编

5

1．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为，ab2则C的渐近线方程为( )

x2y2

1

A．y＝±x

41

B．y＝±x

3

1

C．y＝±x

2

D．y＝±x

2．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为( )

A．2 B．22

C．23 D．4

3．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E：2＋

x2y2ab2

＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，

过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )

A.＋＝1 4536

x2y2

B.＋＝1 3627

x2y2

页 1

C.＋＝1 2718

x2y2

D.＋＝1 1

x2y2

4．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)设椭圆C：2＋x2y2ab2

＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为

F1，F2，P是C上的点， PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )

3A.

61B. 3

1C. 23D.

3

5．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为( )

A．y＝x－1或y＝－x＋1

33

B．y＝(x－1)或y＝－(x－1)

33

C．y＝3(x－1)或y＝－3(x－1)

22

D．y＝(x－1)或y＝－(x－1)

22

页 2

6．(2013·高考大纲全国卷)椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在

43

x2y2

C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是 ( )

13A．[，]

24

33B．[，] 84

1

C．[，1]

23

D．[，1]

4

7．(2013·高考大纲全国卷)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )

A.＋y2＝1 2

x2

B.＋＝1 32

x2y2

C.＋＝1 43

x2y2

D.＋＝1 54

x2y2

8．(2013·高考大纲全国卷)已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2，2)，过C的焦点且→·MB→＝0，则k＝( ) 斜率为k的直线与C交于A、B两点．若MA1

A. 22B. 2

C.2 D．2

页 3

9．(2013·高考山东卷)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 ( )

A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0

C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝04

10．(2013·高考山东卷)抛物线C1：y＝

x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：－y2＝12p3

1x2

的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝( )

3

A. 163B. 8

23C.

343D.

3

11．(2013·高考浙江卷)

页 4

如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2

4在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )

x2

A.2 B.3

3C. 26D.

2

12．(2013·高考北京卷)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( )

4A. 3

B．2

8C. 3162D.

3

x2y2

13．(2013·高考天津卷)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2

ab＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，则p＝( )

A．1

3B. 2

页 5

C．2 D．3

y2

14．(2013·高考北京卷)双曲线x2－＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )

m

1

A．m>

2

B．m≥1

C．m>1 D．m>2

x2

15．(2013·高考福建卷)双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )

4

2A. 54B. 5

25C.

545D. 5

16．(2013·高考天津卷)已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝( )

1A．－

2

B．1

C．2

1D. 2

页 6

17．(2013·高考福建卷)双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )

1A. 22B. 2

C．1

18．(2013·高考湖南卷)

D.2

在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于( )

A．2

8C. 3

B．1

4D. 3

19．(2013·高考辽宁卷)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有( )

A．b＝a3

页 7

B．b＝a3＋

1 a

C．(b－a3)(b－a3－

1

)＝0 a

D．|b－a3|＋|b－a3－

1

|＝0 a

20．(2013·高考陕西卷)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外， 则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )

A．相切 C．相离

B．相交

D．不确定

21．(2013·高考江西卷)过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于( )

3A.

33

B．－ 3

3

C．±

3

D．－3

页 8

22．(2013·高考湖北卷)已知0＜θ＜，则双曲线C1：2－2＝1与C2：2

4cosθsinθsinθ－

x2

πx2y2y2

sin2θtan2θ

＝1的( )

A．实轴长相等 C．焦距相等

B．虚轴长相等

D．离心率相等

23．(2013·高考江西卷)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝( )

A．2∶5 B．1∶2

C. 1∶5 D．1∶3

24．(2013·高考湖北卷)已知0<θ<，则双曲线C1：2－＝1与C2：2

24sinθcosθcosθ－

x2

πx2y2y2

sin2θ

＝1的( )

A．实轴长相等 C．离心率相等

B．虚轴长相等

D．焦距相等

25．(2013·高考四川卷)抛物线y2＝8x的焦点到直线x－

页 9

3y＝0的距离是( )

A．23 B．2

C.3 D．1

x2y2

26．(2013·高考四川卷)从椭圆2＋2＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为

ab左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )

2A.

41B. 2

2C. 23D.

2

y2

27．(2013·高考四川卷)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是

3( )

1A. 23B. 2

C．1 D.3

28．(2013·高考重庆卷)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )

页 10

A．52－4 B.17－1

C．6－22 D.17

29．(2013·高考重庆卷)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )

A．6 C．3

B．4

D．2

30．(2013·高考广东卷)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是( )

A．x＋y－2＝0 B．x＋y＋1＝0

C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋2＝0

3

31．(2013·高考广东卷)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，2则C的方程是( )

x2y2A.－＝1 45

x2y2

B.－＝1 45

页 11

x2y2

C.－＝1 25

x2y2D.－＝1 25

1

32．(2013·高考广东卷)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，2则C的方程是( )

x2y2

A.＋＝1 34

x2y2B.＋＝1 43

x2y2

C.＋＝1 42x2y2

D.＋＝1 43

33．(2013·高考安徽卷)直线x＋2y－5＋长为( )

5＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦

A．1 B．2

C．4 D．46

34．(2013·高考山东卷)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．

35．(2013·高考安徽卷)已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．

页 12

y2

36．(2013·高考江苏卷)双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________．

169

x2

x2y2

37．(2013·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为2＋2＝ab1(a>b>0)，右焦点为F,右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2,若d2＝

6d1，则椭圆C的离心率为________．

38．(2013·高考浙江卷) 直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________.

39．(2013·高考北京卷)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________；准线方程为________．

x2y2

41．(2013·高考天津卷)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)

ab的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．

x2y2

42．(2013·高考福建卷)椭圆Γ：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦

ab距为2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．

x2y2

43．(2013·高考辽宁卷)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F，椭圆C与过

ab

页 13

4

原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos ∠ABF＝，则

5椭圆C的离心率e＝________.

y25

44．(2013·高考陕西卷)双曲线－＝1的离心率为，则m等于________．

16m4

x2

x2y2

45．(2013·高考福建卷)椭圆Γ：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦

ab距为2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．

x2y2

46．(2013·高考辽宁卷)已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若

916PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．

y2

47．(2013·高考陕西卷)双曲线－＝1的离心率为________．

169

x2

x2y2

49．(2013·高考湖南卷)设F1，F2是双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，

abP是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．

x2y2

50．(2013·高考江西卷)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝

331相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.

页 14

x2y23

51．（高考江西卷)椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率e＝，a＋b＝3.

ab2

(1)求椭圆C的方程；

(2)如图所示，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明：2m－k为定值．

52．(2013·高考四川卷)在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．

53．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

(2)l是与圆P、圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A、B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

54．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2

2，在y轴上截得线段长为2

3.

页 15

(1)求圆心P的轨迹方程；

2

(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．

2

x2y2

55．(2013·高考大纲全国卷)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分

ab别为F1、F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为6.

(1)求a、b；

(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．

x2y2

56．(2013·高考山东卷)椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1、F2，

ab3

离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

2

(1)求椭圆C的方程；

(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m，0)，求m的取值范围；

(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点．设

页 16

直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2.若k≠0，试证明＋为定值，并求出这个定值．

kk1kk2

11

57．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦2

点在x轴上，短轴长为2，离心率为.

2

(1)求椭圆C的方程；

6

(2)A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线

4→＝tOE→，求实数t的值． OE交椭圆C于点P.设OP

58.(2013·高考江苏卷)

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．

(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．

页 17

59．(2013·高考浙江卷)

已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)．

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点F作直线交抛物线C于A、B两点，若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点， 求|MN|的最小值.

60．(2013·高考安徽卷)设椭圆E：2＋x2ay2

1－a2

＝1的焦点在x轴上．

(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；

(2)设F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交

y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．

x2

61．(2013·高考北京卷)直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y2＝1相交于A，C4两点，O是坐标原点．

(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；

页 18

(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．

62．(2013·高考天津卷)设椭圆2＋

x2y2ab2

＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为

3.

33

，过

4

点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为

3

(1)求椭圆的方程；

(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两→·DB→＋AD→·CB→＝8，求k的值． 点．若AC63.(2013·高考浙江卷)

如图，点P(0，－1)是椭圆C1：2＋x2y2ab2

＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：

x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.

(1)求椭圆C1的方程；

页 19

(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．

．(2013·高考福建卷)如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为

A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.

(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|；

(2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C的半径．

65．(2013·高考北京卷)已知A，B，C是椭圆W：＋y2＝1上的三个点，O是坐标

4原点．

x2

(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；

(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．

66．(2013·高考辽宁卷)

如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p>0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，过

M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－2时，切

页 20

1

线MA的斜率为－. 2

(1)求p的值；

(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为

O)．

67．(2013·高考陕西卷)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍．

(1)求动点M的轨迹C的方程；

(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点，若A是PB的中点， 求直线m的斜率.

68．(2013·高考福建卷)如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10)．分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和

B1，B2，…，B9.连结OBi，过点Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(i∈N*,1≤i≤9)．

(1)求证点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；

(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积比为4∶1，求直线l的方程．

页 21

71．(2013·高考湖北卷)

如图，已知椭圆C1与C2 的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m,2n(m>n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C1, C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.记λ＝，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.

mn

(1)当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2 ，求λ 的值；

(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2？并说明理由．

72．(2013·高考四川卷)已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点，直线

l：y＝kx与圆C交于M，N两点．

(1)求k的取值范围；

(2)设Q(m，n)是线段MN上的点，且＝＋，请将n表示为m的222|OQ||OM||ON|

页 22

211

函数．

2

73.(2013·高考重庆卷)如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝，

2过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.

(1)求该椭圆的标准方程；

(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP′Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．

76．(2013·高考安徽卷)已知椭圆C：2＋x2y2ab2

＝1(a>b>0)的焦距为4，且过点P(2，

3)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设Q(x0，y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点．过点Q作x轴的垂线，垂足为E.取点

A(0,22)，连接AE.过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点，

作直线QG.问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．

页 23

77．(2013·高考湖南卷)过抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1＋k2＝2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以

AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.

→·FN→<2p2； (1)若k1>0，k2>0，证明：FM75

(2)若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．

5

78．(2013·高考江西卷)

31

如图，椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)经过点P1，，离心率e＝，直线l的过程为x2ab2

x2y2

＝4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记

PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存

在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

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79．(2013·高考四川卷)已知椭圆C：2＋

x2y2ab2

＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－1,0)，

41



F2(1,0)，且椭圆C经过点P，.

33

(1)求椭圆C的离心率；

(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且

|AQ|2＝＋，求点Q的轨迹方程． |AM|2|AN|2

1

1

2

80．(2013·高考重庆卷)

2

如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝，过左焦点F1作x轴的

2垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.

(1)求该椭圆的标准方程；

(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P′Q，求圆Q的标准方程．

81．(2013·高考广东卷)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c＞0)到直线l：

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x－y－2＝0的距离为

其中A，B为切点．

322

. 设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，

(1)求抛物线C的方程；

(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；

(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．

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