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高一数学指数运算及指数函数试题
一．选择题
1．若xlog23=1，则3x+9x
的值为（ B ） A ． 3 B． 6 C． 2 解：由题意x=， 所以3x==2， 所以9x=4，所以3x+9x=6 故选B 2．若非零实数a、b、c满足，则的值等于（ A ． 1 B．2 C．3 解答解：∵， ：∴设 =m， a=log5m，b=log2m，c=2lgm， ∴= =2lgm（logm5+logm2） =2lgm•logm10 =2． 故选B． 3．已知，则a等于（ ）
A ． B． C． 2 解：因为 所以 解得a=4 故选D 4．若a＞1，b＞1，p=，则ap
等于（ ）
A ． 1 B． b C． logba .
D． B ）
D．4 D． 4 D． alogba .
解：由对数的换底公式可以得出p=因此，a等于logba． 故选C． 5．已知lg2=a，10=3，则log125可表示为（ C ） A ． B． C． 解：∵lg2=a，10=3， ∴lg3=b， ∴log125===． bbp=loga（logba）， D． 故选C．
6．若lgx﹣lgy=2a，则 A ． 3a 解：∵lgx﹣lgy=2a， ∴lg﹣lg=lg﹣lg=（lg﹣lg） B． =（ C ）
a C． D． =lg=（lgx﹣lgy）=•2a=a； 故答案为C．
7．已知函数（ ） A ． ﹣2 解：f（x）+f（﹣x）=ln（x+∵f（a）+f（b﹣2）=0 ∴a+（b﹣2）=0 ∴a+b=2 故选D． .
，若实数a，b满足f（a）+f（b﹣2）=0，则a+b=
B． ﹣1 0 C． 2 D． ）+ln（﹣x+=0 .
8． A ． 1 解：原式=故选B． 9．设 A ． 1 解：∵， 2 B． ，则
3 C． =（ ） 4 D． +2×lg+lg=+lg+lg=+1=， 2525=（ ） B． C． ﹣2 D． ∴= =（）+（）+（） ==3 故选C 10．
A ． （1，2） 解：=log34+log37=log328 ，则实数a的取值区间应为（ C ） B． （2，3） C． （3，4） D． （4，5） ∵3=log327＜log328＜log381=4 ∴实数a的取值区间应为（3，4） 故选C． 11．若lgx﹣lgy=a，则
=（ A ）
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A ． 3a 解：故选A． 12．设 A ． 0＜P＜1 解：B． a C． D． =3（lgx﹣lg2）﹣3（lgy﹣lg2）=3（lgx﹣lgy）=3a ，则（ ）
B． 1＜P＜2 C． 2＜P＜3 D． 3＜P＜4 =log112+log113+log114+log115 =log11（2×3×4×5） =log11120． ∴log1111=1＜log11120＜log11121=2． 故选B． 13．已知a，b，c均为正数，且都不等于1，若实数x，y，z满足则abc的值等于（ A ） A ． 1 解：∵a，b，c均为正数，且都不等于1， 实数x，y，z满足∴设a=b=c=k（k＞0）， 则x=logak，y=logbk，z=logck， ∴=logka+logkb+logkc=logkabc=0， xyz，
2 B． 3 C． 4 D． ， ∴abc=1． 故选A．
14．化简a• A ． a 2
••B． 的结果是（ C ）
2C． a 3D． a .
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解：∵a2••• =a2••• = =a2， 故选C 15．若x，y∈R，且2x=18y=6xy
，则x+y为（ ） A ． 0 B．1 C． 1或2 D． 0或2 解：因为2x=18y=6xy， （1）当x=y=0时，等式成立，则x+y=0； （2）当x、y≠0时，由2x=18y=6xy得， xlg2=ylg18=xylg6， 由xlg2=xylg6，得y=lg2/lg6， 由ylg18=xylg6，得x=lg18/lg6， 则x+y=lg18/lg6+lg2/lg6=（lg18+lg2）/lg6 =lg36/lg6=2lg6/lg6=2． 综上所述，x+y=0，或x+y=2． 故选D． 16．若32x
+9=10•3x
，那么x2
+1的值为（ D ） A ． 1 B． 2 C． 5 D． 1或5 解：令3x=t，（t＞0）， 原方程转化为：t2﹣10t+9=0， 所以t=1或t=9，即3x=1或3x=9 所以x=0或x=2，所以x2+1=1或5 故选D
17．已知函数f（x）=4x
﹣a•2x
+a2
﹣3，则函数f（x）有两个相异零点的充要条件是（D A ． ﹣2＜a＜2 B． C． D． 解；令t=2x，则t＞0 若二次函数f（t）=t2﹣at+a2﹣3在（0，+∞）上有2个不同的零点， 即0=t2﹣at+a2﹣3在（0，+∞）上有2个不同的根 ∴ .
） .
解可得，即 故选D
18．若关于x的方程 A ． 解：∵1﹣≤1，函数y=2在R上是增函数，∴0＜x=3﹣2a有解，则a的范围是（ A ） B． a≥ C． ＜a＜ D． a＞ ≤a＜ ≤2=2， 1故 0＜3﹣2a≤2，解得 ≤a＜， 故选A． 二．填空题 19． 解：由已知，a=log2，b=log5． ∴+=logm2+logm5=logm10=1 ∴m=10 故答案为：10．
mm，则m= 10 ．
20．已知x+y=12，xy=9，且x＜y，则= ．
解：由题设0＜x＜y ∵xy=9，∴ ∴x+y﹣2==12﹣6=6 x+y+2∴==，=12+6=18 = .
∴= 故答案为： 21．化简：= 解： = = = =． 故答案为：（或或）．
22．= 1 ． 解： = = =1． 故答案为：1．
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（或或） ．
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23．函数 在区间[﹣1，2]上的值域是 [，8] ．
解：令g（x）=x﹣2x=（x﹣1）﹣1，对称轴为x=1， ∴g（x）在[﹣1，1]上单调减，在[1，8]上单调递增， 又f（x）=2为符合函数， g（x）∴f（x）=2在[﹣1，1]上单调减，在[1，，2]上单调递增， ∴f（x）min=f（1）=又f（﹣1）=∴数故答案为：[，8]． 3g（x）22=； =2=8，f（2）==1， 在区间[﹣1，2]上的值域是[，8]． 24．函数 解：令t=x+2|x|﹣3=结合二次函数的性质可得，t≥﹣3 ∴故答案为：（0，8]． 25．函数2，+∞） ．．
解： 2﹣9
的值域为 （0，8] ．
2= ，且y＞0 （﹣3≤x≤1）的值域是 [3，3] ，单调递增区间是 （﹣9
可以看做是由y=和t=﹣2x﹣8x+1，两个函数符合而成， 第一个函数是一个单调递减函数， 2要求原函数的值域，只要求出t=﹣2x﹣8x+1，在[1，3]上的值域就可以， t∈[﹣9，9] 此时y∈[3，3] 函数的递增区间是（﹣∞，﹣2]， 故答案为：[3，3]；（﹣2，+∞） .
﹣9﹣999.
三．解答题 26．计算： （1）
；
（2） 解：（1） ．
==（2）== =2+2﹣lg3+lg2+lg3﹣lg2+2 =6
27．（1）若，求的值；
（2）化简（a＞0，b＞0）．
解：（1）∵∴x+x=9﹣2=7， 2﹣2x+x=49﹣2=47， ∴==3×6=18， ﹣1， .
.
∴==． （2）∵a＞0，b＞0， ∴ = = = =．
28．已知函数f（x）=4﹣2+3． （1）当f（x）=11时，求x的值；
（2）当x∈[﹣2，1]时，求f（x）的最大值和最小值． 解：（1）当f（x）=11，即4﹣2+3=11时，（2）﹣2•2﹣8=0 xx∴（2﹣4）（2+2）=0 xx∵2＞02+2＞2， xx∴2﹣4=0，2=4，故x=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分） x2x（2）f（x）=（2）﹣2•2+3 （﹣2≤x≤1） x2令∴f（x）=（2﹣1）+2 x当2=1，即x=0时，函数的最小值fmin（x）=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） x当2=2，即x=1时，函数的最大值fmax（x）=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分） xx+1x2xx
x+1
29．已知函数
f(x)2x1. |x|2（1）若f(x)2，求x的值；
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（2）若2f(2t)mf(t)0对于t[1,2]恒成立，求实数m的取值范围。 （1）当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)2x由条件可知 2xt1. x212xx，即 22210， 2x2解得 2x12. 2x0，xlog212.
11（2）当t[1,2]时，2t22t2tm2tt0，
22即 m22t124t1.
22t10， m22t1. t[1,2],122t[17,5]， 故m的取值范围是[5,).
30．如果函数yax2x2ax1(a0,a1)在区间[—1，1]上的最大值是14，求a的值。
当a1时,设at,因为x[1,1],所以t[,a],
1a1则yt22t1(t1)22,在t[,a]上是单调递增函数,a则ymax(a1)2214,故a3.1当0a1时,设axt,因为x[1,1],所以t[a,],a 122则yt2t1(t1)2,在t[a,]上是单调递增函数,a11则ymax(1)2214,故a.a31综上知a3或a.331．已知关于x的方程9+m•3+6=0（其中m∈R）． （1）若m=﹣5，求方程的解；
（2）若方程没有实数根，求实数m的取值范围． 解：（1）当m=﹣5时，方程即为9﹣5•3+6=0， x2令3=t（t＞0），方程可转化为t﹣5t+6=0， 解得t=2或t=3， xx由3=2得x=log32，由3=3得x=1， 故原方程的解为1，log32． x（2）令3=t（t＞0）． 2方程可转化为t+mt+6=0① 要使原方程没有实数根，应使方程①没有实数根，或者没有正实数根． 2当方程①没有实数根时，需△=m﹣24＜0， 解得﹣2＜m＜2； xxx
x
.
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当方程①没有正实数根时，方程有两个相等或不相等的负实数根， 这时应有，解得m≥2． ． 综上，实数m的取值范围为m＞﹣232．已知函数
1f(x)()x,x[1,1]，函数g(x)f2(x)2af(x)3的最小值为h(a).
3（Ⅰ）求h(a);
（Ⅱ）是否存在实数m，n同时满足下列条件：
①m>n>3； ②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]？ 若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由. （Ⅰ）∵x[1,1],()[,3].
13x131x123311282a当a时，yminh(a)()； 339312当a3时，yminh(a)(a)3a； 3当a3时，yminh(a)(3)126a.
设t(),t[,3]，则(t)t2at3(ta)3a
22282a93∴h(a)3a2126a1(a)31(a3) 3(a3)（Ⅱ）∵m>n>3， ∴h(a)126a在(,3)上是减函数. ∵h(a)的定义域为[n，m]；值域为[n2，m2]，
2126mn ①∴ 2126nm ②②－①得：6(mn)(mn)(mn), ∵m>n>3， ∴m+n=6，但这与“m>n>3”矛盾. ∴满足题意的m，n不存在
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