2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(新课标卷)

文科数学(新课标卷)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合M0,1,2,3,4,N1,3,5,PPMMN,N则P的子集共有

，

（A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个 （2）复数

5i 12i（A）2i （B）12i （C）2i （D）12i （3）下列函数中，既是偶函数又在0,单调递增的函数是 （A）yx3 (B) yx1 （C）yx21 (D)

y2x

x2y21的离心率为 （4）椭圆1683211（A） (B) （C） (D)

3232（5）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是

（A）120 （B）720 （C）1440 （D）5040

（6）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

1123（A） （B） （C） （D）

3234（7）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos2=

4334（A） （B） （C） （D）

5555（8）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的侧视图可以为

（9）已知直线L过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直。L与C交于A,B两点，AB=12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为

（A）18 （B）24 （C）36 （D）48 （10）在下列区间中，函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为

（11）设函数

ππ（A）y= f (x)在（0，）单调递增，其图像关于直线x = 对称

24ππ（B）y= f (x)在（0，）单调递增，其图像关于直线x = 对称

22ππ（C）y= f (x) 在（0，）单调递减，其图像关于直线x = 对称

24ππ（D）y= f (x) 在（0，）单调递减，其图像关于直线x = 对称

221时 f (x) =x2,那么函数y = f (12) 已知函数y= f (x) 的周期为2，当x1，(x) 的

图像与函数y =lgx的图像的交点共有

（A）10个 （B）9个 （C）8个 （D）1个

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须回答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k= 。

32xy9,（14）若变量x,y满足约束条件则zx2y的最小值为 。

6xy9,（15）△ABC中,B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为 。

（16）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的的高与体积较大者的高的比值为 。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分） 已知等比数列{n}中，

1，公比q

31an 23 ，则这两个圆锥中，体积较小者16（I）Sn为{n}的前n项和，证明：Sn（II）设bnlog3a1log3a2log3an，求数列bn的通项公式.

（18）（本小题满分12分）

如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行

四边形。

DAB60,AB2AD,PD底面ABCD .

（I）证明：PABD

（II）设PDAD1，求棱锥DPBC的高

（19）（本小题12分）

某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

A配方的频数分布表

指标值分组 频数 8 20 42 22 8 ［90，94） ［94,98） ［98,102） ［102,106） ［106,110］ B配方的频数分布表

指标值分组 频数 4 12 42 32 10 ［90,94） ［94,98） ［98,102） ［102,106） ［106,110］ （Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；

（Ⅱ）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为

估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润。

（20）（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上.

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）若圆C与直线xya0交与A，B两点，且OAOB，求a的值.

（21）（本小题满分12分）

已知函数f(x)x2y30.

alnxb，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x1x（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）证明：当x0，且x1时，f(x)

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合。已知AE的长为m，AC的长为n，AD,AB的长是关于x的

lnx. x1方程x214xmn0的两个根.

（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；

（Ⅱ）若A90，且m4,n6，求C，B，D，E所在圆的半径.

(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为

x2cos（为参数） y22sinM是C1上的动点，P点满足(向量)OP=2(向量)OM ,P点的轨迹为曲线C2 (Ⅰ)求C2的方程;

(Ⅱ)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.

(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)xa3x,其中a0.

（Ⅰ）当a1时，求不等式f(x)3x2的解集 （Ⅱ）若不等式f(x)0的解集为x|x1

2011年普通高等学校招生全国统一考试

3与C1的异于

 ，求a的值.

文科数学试卷参

一、选择题

（1）B （2）C （3）B （4）D （5）B （6）A （7）B （8）D （9）C （10）C （11）D （12）A 二、填空题

（13）1 （14）-6 （15）三、解答题 （17）解：

1531 （16） 43111（Ⅰ）因为an()n1n.

333111(1n)1n33, Sn31213所以Sn1an, 2（Ⅱ）bnlog3a1log3a2log3an

(12n)

n(n1) 2n(n1). 2所以{bn}的通项公式为bn(18)解：

（Ⅰ）因为DAB60,AB2AD， 由余弦定理得BD3AD 从而BD2+AD2= AB2，故BDAD 又PD底面ABCD，可得BDPD 所以BD平面PAD. 故 PABD

（Ⅱ）如图，作DEPB，垂足为E．已知PD底面ABCD，则PDBC．由（Ⅰ）知BDAD，又BC//AD，所以BCBD． 故BC平面PBD，BCDE． 则DE平面PBC．

由题设知，PD=1，则BD=3，PB=2， 根据BE·PB=PD·BD，得DE=

3. 23， 2即棱锥D—PBC的高为（19）解

（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3． 由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42

228=0.3，所10032100.42，所100（Ⅱ）由条件知用B配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96，所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96. 用B配方生产的产品平均一件的利润为

1(4(2)542424)2.68（元） 100(20）解：

（Ⅰ）曲线yx26x1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为

（322,0),(322,0).

故可设C的圆心为（3，t），则有32(t1)2(22)2t2,解得t=1. 则圆C的半径为32(t1)23. 所以圆C的方程为(x3)2(y1)29.

（Ⅱ）设A（x1,y1），B（x2,y2），其坐标满足方程组：

xya0, 22(x3)(y1)9.消去y，得到方程

2x2(2a8)xa22a10.

由已知可得，判别式5616a4a20. 因此，x1,2(82a)5616a4a24a202a12,从而

x1x24a,x1x2 ①

由于OA⊥OB，可得x1x2y1y20, 又y1x1a,y2x2a,所以

2x1x2a(x1x2)a20.

②

由①，②得a1，满足0,故a1. （21）解：

(

（Ⅰ）f'(x)x1lnx)bx 22(x1)x

f(1)1,1由于直线x2y30的斜率为，且过点(1,1)，故1即

f'(1),22b1,a1 b,22 解得a1，b1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)lnx1，所以 x1xx21lnx1f(x)(2lnx)

x11x2x考虑函数h(x)2lnxx21x(x0)，则

2222x(x1)(x1)2h(x)

xx2x2所以当x1时，h(x)0,而h(1)0,故

当x(0,1)时，h(x)0,可得1h(x)0; 1x21h(x)0; 21x当x(1,)时，h(x)0,可得从而当x0,且x1,f(x)（22）解：

lnxlnx0,即f(x). x1x1（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，

AD×AB=mn=AE×AC， 即

ADAE.又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB ACAB 因此∠ADE=∠ACB 所以C，B，D，E四点共圆．

（Ⅱ）m=4， n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12. 故 AD=2，AB=12.

取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.

由于∠A=900，故GH∥AB， HF∥AC. HF=AG=5，DF= 故C，B，D，E四点所在圆的半径为52

1(12-2)=5. 2（23）解：

（I）设P(x，y)，则由条件知M(

XY,).由于M点在C1上，所以 22

x2cos,x4cos2 即 

yy44sin22sin2

从而C2的参数方程为

x4cos（为参数） y44sin （Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为4sin，曲线C2的极坐标方程为

8sin．

射线

射线3与C1的交点A的极径为14sin与C2的交点B的极径为28sin3， ．

33所以|AB||21|23. （24）解：

（Ⅰ）当a1时，f(x)3x2可化为

|x1|2．

由此可得 x3或x1． 故不等式f(x)3x2的解集为

{x|x3或x1}．

(Ⅱ) 由f(x)0 得

xa3x0

此不等式化为不等式组

xaxa 或 xa3x0ax3x0xaxaa 或a 即 xa42

因为a0，所以不等式组的解集为x|xa2

a由题设可得= 1，故a2

2