（解析版）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．已知⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，则OP的长可能是（ ） A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．6cm
2．将抛物线y＝x2向右平移2个单位后，抛物线的解析式为（ ） A．y＝（x+2）2
B．y＝x2+2
C．y＝（x﹣2）2
D．y＝x2﹣2
3．如图所示的齿轮有16个齿，每两齿之间间隔相等，相邻两齿间的圆心角α的度数为（ ）
A．20°
B．22.5°
C．25°
D．30°
4．如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C，直线DF分别交a，b，c于点D，E，F．若DE＝2EF，AC＝6，则AB的长为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为直径，BD平分∠ABC，若∠ABC＝40°，则∠A的度数为（ ）
A．105°
B．110°
C．115°
D．120°
，若小五
6．如图，两个五边形是位似图形，位似中心为点O，点A与A′对应，边形的周长为4，则大五边形的周长为（ ）
A．6
B．9
C．10
D．25
7．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y＝
+5的一部分，则杯口的口径AC为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
8．如图，点P是△ABC的重心，过点P作DE∥AC交BC，AB于D，E，EF∥BC交AC于点F，若AC＝8，BC＝11，则四边形CDEF的周长为（ ）
A．9
B．18
C．19
D．20
9．已知两点A（2，y1），B（6，y2）均在抛物线y＝x2﹣2bx+c上，若y1＞y2，则b的取值范围为（ ） A．b＞4
B．b＜4
C．b≥4
D．b≤4
10．如图，点C为线段AB的中点，在AC上取点D，分别以AD，CD，BC，BD为边向上作正方形ADGH，CDKL，BCIJ，DBEF，将其面积依次记为S1，S2，S3，S4，在《几何原本》有这样一个结论；S1+S4＝2（S2+S3）．当AB＝2时，若A，K，J共线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共30分） 11．二次函数y＝（x﹣1）2+2的最小值是 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝50°，点D在斜边AB上，如果△ABC绕点B旋转后与△EBD重合，连结AE，那么∠EAB的度数为 ．
14．如图1，哥特式尖拱是由两段不同圆心的圆弧组成的轴对称图形，叫做两心尖拱．如图2，已知P，Q分别是
和
所在圆的圆心，且均在AB上，若PQ＝2m，AB＝6m，则
拱高CD的长为 m．
15．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A，B两点，点C在对称轴上，且位于x轴的上方，将△ABC沿直线AC翻折得到△AB′C，若点B′恰好落在抛物线的对称轴上，则点C的坐标为 ．
16．如图，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，D是线段BC上的一点，以C为圆心，CD为半径的半圆交AC边于点E，交BC的延长线于点F，射线BE交点G，则BE•EG的最大值为 ．
于
三、解答题（共8小题，满分68分）
17．（8分）（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项． （2）已知x：y＝4：3，求
的值．
18．（8分）已知抛物线y＝x2﹣6x+5．
（1）求该抛物线的顶点坐标．
（2）该抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，求△ABC的面积．
19．（8分）铁路道口的栏杆如图，其A，B两端到旋转支点C的距离分别为AC＝1.2m，BC＝15m．栏杆在水平状态下到地面的距离CD为1.3m，栏杆绕点C转动，当A端下降至离地距离AE为0.9m时，求此时B端到地面的距离（BF）为多少米？
20．（8分）我们把顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形．在如下9×9的方格中已给出格点三角形ABC和格点D，请根据下列要求在方格中画图．
（1）在图1中，作与△ABC相似的格点△DEF，且满足S△DEF＝2S△ABC． （2）在图2中，作与△ABC相似的格点△PEF，使点D为斜边EF的三等分点．
21．（10分）如图，抛物线y＝﹣（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）将该抛物线上的点M（m，p）向右平移至点N（n，q），当点N落在该抛物线上且位于第一象限时，求m的取值范围．
+bx+c过点A（1，0）和点B（0，2）．
22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，OA＝4点，AE与CD相交于点F，且AC＝CE．
，弦CD⊥AB于点G，点E是
上的一
（1）求证：∠ACF＝∠CAF． （2）点P在长．
上，连接PC交AE于Q，当∠ACG＝30°，且DP＝3FQ时，求CP的
23．某餐饮店每天限量供应某一爆款菜品大份袋，小份袋合计100份，且当天全部销售完毕，其成本和售价如下表所示．
份量 成本（元/份） 售价（元/份）
小份装 40 60
大份装 60 100
从该店店长处获悉：该餐饮店平均每天实出的小份装比大份装多40份． （1）求该店每天销售这款爆品菜品获得的总利润．
（2）店长为了增加利润，准备提高小份装的售价，同时降低大份装的售价，售卖时发现：小份装售价每升1元，每天会少销售4份；大份装售价每降1元，每天可多销售2份．设小份装的售价提高了m元（m为整数）．每售出一份小份装可获利 元，此时大份装每天可售出 份．
（3）当m取何值时，每天获利最多？最大利润为多少元？
24．（14分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．点E是线段BD上一点，过点A，E，D的⊙O交CD延长线于点F，连结AE，AF，EF． （1）求证：△AEF∼△BAD．
（2）连接OE，OD，当∠AEB与△OED的一个内角相等时，求所有满足条件的BE的长． （3）将△ABD绕点D旋转，记旋转后A和B的对应点分别为P，Q，当P，Q同时落在⊙O上时，求点P到弦AD的距离．
参与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．已知⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，则OP的长可能是（ ） A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．6cm
【分析】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d＞r．
【解答】解：当点P是⊙O外一点时，OP＞5cm，A、B、C均不符． 故选：D．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．
2．将抛物线y＝x2向右平移2个单位后，抛物线的解析式为（ ） A．y＝（x+2）2
B．y＝x2+2
C．y＝（x﹣2）2
D．y＝x2﹣2
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
【解答】解：根据题意y＝x2的图象向右平移2个单位得y＝（x﹣2）2． 故选：C．
【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 3．如图所示的齿轮有16个齿，每两齿之间间隔相等，相邻两齿间的圆心角α的度数为（ ）
A．20°
B．22.5°
C．25° ，计算即可．
＝22.5°，
D．30°
【分析】根据正多边形的中心角＝
【解答】解：由题意这是正十六边形，中心角α＝故选：B．
【点评】本题考查正多边形的有关性质，解题的关键是记住中心角＝．
4．如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C，直线DF分别交a，b，c于点D，E，F．若DE＝2EF，AC＝6，则AB的长为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【解答】解：∵a∥b∥c， ∴
＝
，
∵DE＝2EF，AC＝6， ∴
＝2，
解得：AB＝4， 故选：C．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为直径，BD平分∠ABC，若∠ABC＝40°，则∠A的度数为（ ）
A．105°
B．110°
C．115°
D．120°
【分析】首先根据角平分线的定义及∠ABC的度数求得∠DBC，再根据圆周角定理推论得∠BDC＝90°，然后求得∠C的度数，利用圆内接四边形的性质求得答案即可． 【解答】解：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝40°， ∴∠DBC＝20°，
∵BC是直径， ∴∠BDC＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠DBC＝90°﹣20°＝70°， ∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝180°﹣∠C＝180°﹣70°＝110°， 故选：B．
【点评】本题考查了圆内接四边形及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补，难度不大．
6．如图，两个五边形是位似图形，位似中心为点O，点A与A′对应，边形的周长为4，则大五边形的周长为（ ）
，若小五
A．6
B．9
C．10
D．25
【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比，进而得出答案．
【解答】解：∵两个五边形是位似图形，位似中心为点O，点A与A′对应，∴∴
＝，
＝，
，
∵小五边形的周长为4，设大正方形的周长为x， ∴＝， 解得：x＝10． 故选：C．
【点评】此题主要考查了位似图形，正确得出相似比是解题关键．
7．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y＝
+5的一部分，则杯口的口径AC为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【分析】利用待定系数法求出A、C的坐标，可求答案． 【解答】解：OD为14，14＝x2+5，解得x＝±， ∴A（﹣，14），C（，14）， ∴AC＝﹣（﹣）＝9， 故选：C．
【点评】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，熟练掌握用待定系数法求点的坐标是解题的关键．
8．如图，点P是△ABC的重心，过点P作DE∥AC交BC，AB于D，E，EF∥BC交AC于点F，若AC＝8，BC＝11，则四边形CDEF的周长为（ ）
A．9
B．18
C．19
D．20
【分析】连接BP并延长交AC于点G，由△ABC的重心点P可知BP：BG＝2：3，然后得到BD：BC＝ED：AC＝2：3，从而求得ED和FC的长，然后得到CD：BC＝1：3，再结合EF∥BC求得四边形CDEF是平行四边形，最后求得四边形CDEF的周长． 【解答】解：连接BP并延长交AC于点G， ∵△ABC的重心点P， ∴BP：BG＝2：3，
∵ED∥AC，
∴△BDP∽△BCG，△BEP∽△BAG， ∴∴
，
，，
，
∵AC＝8，BC＝11， ∴ED＝
，CD＝
，
∵EF∥BC，ED∥AC， ∴四边形CDEF是平行四边形， ∴四边形CDEF的周长为2×（故选：B．
+
）＝18．
【点评】本题考查了三角形重心的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解题的关键是由△ABC的重心得到相关线段长度的比值．
9．已知两点A（2，y1），B（6，y2）均在抛物线y＝x2﹣2bx+c上，若y1＞y2，则b的取值范围为（ ） A．b＞4
B．b＜4
C．b≥4
D．b≤4
【分析】根据题意和二次函数的性质和对称性可判断b的范围． 【解答】解：当抛物线y＝x2﹣2bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣向上，
两点A（2，y1），B（6，y2）均在抛物线上y1＞y2， 则b﹣2＞6﹣b，解得b＞4， 故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的对称性，熟练掌握利用对称性解决抛物线比较大小的问题是解题的关键．
＝b，a＝1开口
10．如图，点C为线段AB的中点，在AC上取点D，分别以AD，CD，BC，BD为边向上作正方形ADGH，CDKL，BCIJ，DBEF，将其面积依次记为S1，S2，S3，S4，在《几何原本》有这样一个结论；S1+S4＝2（S2+S3）．当AB＝2时，若A，K，J共线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据正方形的性质证明△ADK∽△ABJ，设CD＝x，则AD＝1﹣x，KD＝CD＝x，所以＝
阴影部分
，解得x＝，再根据图形可得S阴影部分+S2+S3＝S1+S4＝2（S2+S3），所以S
＝S2+S3＝CD2+BC2，进而可得结果．
【解答】解：根据题意可知：DK∥BJ， ∴△ADK∽△ABJ， ＝
，
∵点C为线段AB的中点，AB＝2， ∴AC＝BC＝BJ＝1， 设CD＝x，
则AD＝1﹣x，KD＝CD＝x， ∴＝
，
解得x＝，
∴AD＝1﹣x＝，CD＝DK＝， ∵S阴影部分+S2+S3＝S1+S4＝2（S2+S3）， ∴S阴影部分＝S2+S3 ＝CD2+BC2 ＝（）2+12
＝+1 ＝
．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共30分） 11．二次函数y＝（x﹣1）2+2的最小值是 2 ． 【分析】本题考查二次函数最大（小）值的求法．
【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2开口向上，其顶点坐标为（1，2）， 所以最小值是2．
【点评】本题考查二次函数的基本性质，题目给出的是顶点式，若是一般式则需进行配方化为顶点式或者直接运用顶点公式．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是 （2，1） ．
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是（2，1）． 故答案为：（2，1）．
【点评】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的
直径平分弦”．
13．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝50°，点D在斜边AB上，如果△ABC绕点B旋转后与△EBD重合，连结AE，那么∠EAB的度数为 70° ．
【分析】先根∠CAB＝50°，求出∠ABC，再结合图形，根据旋转的性质确定出△ABC旋转后与△EBD重合的过程，然后得出答案即可． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠CAB＝50°， ∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣50°＝40°． ∵△ABC经过旋转后与△EBD重合，
∴这一旋转的旋转中心是点B，旋转角是40°．BE＝BA， ∴∠BAE＝（180°﹣40°）＝70°， 故答案为：70°．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，准确识图是解题的关键． 14．如图1，哥特式尖拱是由两段不同圆心的圆弧组成的轴对称图形，叫做两心尖拱．如图2，已知P，Q分别是拱高CD的长为
和
所在圆的圆心，且均在AB上，若PQ＝2m，AB＝6m，则
m．
【分析】如图，连接CQ．求出PD，PC，利用勾股定理求解． 【解答】解：如图，连接CQ．
由题意CQ＝CP，CD⊥PQ，
∴DQ＝DP＝PQ＝1（m）， ∵PA＝QB，
∴AQ＝PB＝（AB﹣PQ）＝2（m）， ∴PC＝PA＝2+2＝4（m）， ∴CD＝故答案为：
．
＝
＝
（m），
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
15．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A，B两点，点C在对称轴上，且位于x轴的上方，将△ABC沿直线AC翻折得到△AB′C，若点B′恰好落在抛物线的对称轴上，则点C的坐标为 （1，
） ．
【分析】先求出点A，B的坐标，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），AH＝2，由翻折得AB′＝AB＝4，然后解直角三角形即可． 【解答】解：令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1， 如图：
设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），AH＝2， 由翻折得AB′＝AB＝4，∠CAH＝∠CAB′＝∠HAB′， 在Rt△AB′H中， cos∠B′AH＝
＝＝，
∴∠B′AH＝60°， ∴∠CAH＝30°， 在Rt△CAH中， CH＝tan30°•AH＝∴C（1，
），
）． ×2＝
，
故答案为：（1，
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、解直角三角形以及翻折变换的性质，关键是对翻折变换的应用．
16．如图，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，D是线段BC上的一点，以C为圆心，CD为半径的半圆交AC边于点E，交BC的延长线于点F，射线BE交点G，则BE•EG的最大值为 32 ．
于
【分析】如图，过点C作CH⊥EG于点H．利用相似三角形的性质证明EB•EG＝2AE•EC，设EC＝x，在Rt△ABC中，AC＝
＝
＝8，推出EB•EG＝2x•（8﹣
x）＝﹣2（x﹣4）2+32，利用二次函数的性质求解即可． 【解答】解：如图，过点C作CH⊥EG于点H．
∵CH⊥EG， ∴EH＝GH，
∵∠A＝∠CHE＝90°，∠AEB＝∠CEH， ∴△ABE∽△HCE， ∴
＝
，
∴BE•EH＝AE•EC， ∴BE•2EH＝2•AE•EC， ∴EB•EG＝2AE•EC， 设EC＝x，
在Rt△ABC中，AC＝
＝
＝8，
∴EB•EG＝2x•（8﹣x）＝﹣2（x﹣4）2+32， ∵﹣2＜0，
∴x＝4时，BE•EG的值最大，最大值为32， 故答案为：32．
【点评】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（共8小题，满分68分）
17．（8分）（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项． （2）已知x：y＝4：3，求
的值．
【分析】（1）设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．
（2）设x＝4k，y＝3k，代入计算，于是得到结论． 【解答】解：（1）设线段x是线段a，b的比例中项， ∵a＝3，b＝6， x2＝3×6＝18， x＝
（负值舍去）．
∴线段a，b的比例中项是3（2）设x＝4k，y＝3k， ∴
＝
＝﹣．
．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 18．（8分）已知抛物线y＝x2﹣6x+5． （1）求该抛物线的顶点坐标．
（2）该抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，求△ABC的面积． 【分析】（1）通过配方法把二次函数解析化为顶点式即可； （2）求出点A，B，C的坐标，再用三角形面积公式求面积即可． 【解答】解：（1）y＝x2﹣6x+5＝（x2﹣6x+9﹣9）+5＝（x﹣3）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣4）； （2）令y＝0，则x2﹣6x+5＝0， 即（x﹣1）（x﹣5）＝0， 解得：x1＝1，x2＝5， ∴A（1，0），B（5，0）， ∴AB＝4， 令x＝0，则y＝5， ∴C（5，0）， ∴OC＝5，
∴S△ABC＝AB•OC＝×4×5＝10． ∴△ABC的面积为10．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点以及三角形的面积，关键是求出抛物线与坐标轴的交点．
19．（8分）铁路道口的栏杆如图，其A，B两端到旋转支点C的距离分别为AC＝1.2m，BC＝15m．栏杆在水平状态下到地面的距离CD为1.3m，栏杆绕点C转动，当A端下降至离地距离AE为0.9m时，求此时B端到地面的距离（BF）为多少米？
【分析】通过证明△A'AC∽△B'BC，可得
，可求解．
【解答】解：如图，由题意可得：AC＝1.2m，BC＝15m，AA'＝1.3﹣0.9＝0.4m，
∵AA'⊥A'B'，BB'⊥A'B'， ∴AA'∥BB'， ∴△A'AC∽△B'BC， ∴∴
∴BB'＝5，
∴BF＝5+1.3＝6.3（米）．
【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
20．（8分）我们把顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形．在如下9×9的方格中已给出格点三角形ABC和格点D，请根据下列要求在方格中画图．
（1）在图1中，作与△ABC相似的格点△DEF，且满足S△DEF＝2S△ABC． （2）在图2中，作与△ABC相似的格点△PEF，使点D为斜边EF的三等分点．
， ，
【分析】（1）利用数形结合的思想，根据相似比是即可；
（2）利用数形结合思想，构造三边分别为3，6，3【解答】解：（1）如图1中，△DEF即为所求；
的三角形即可．
，求出△DEF的各边，画出图形
（2）如图2中，△PEF即为所求．
【点评】本题考查作图﹣相似变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 21．（10分）如图，抛物线y＝﹣（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）将该抛物线上的点M（m，p）向右平移至点N（n，q），当点N落在该抛物线上且
+bx+c过点A（1，0）和点B（0，2）．
位于第一象限时，求m的取值范围．
【分析】（1）代入点A（1，0）和点B（0，2）可求答案； （2）求出A、B与N点重合时m的值，可得答案． 【解答】解：（1）抛物线过点A（1，0）和点B（0，2）， 代入得：
，
解得：b＝﹣，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）点M（m，p）向右平移至点N（n，q），当点N落在该抛物线上且位于第一象限， 若N为点A时，对称轴为直线x＝﹣同理若N为点B时，m＝﹣3， ∴m的取值范围为﹣4＜m＜﹣3．
【点评】本题考查了二次函数的待定系数法以及图象特征，关键是利用对称性和数形结合解决问题．
22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，OA＝4点，AE与CD相交于点F，且AC＝CE． （1）求证：∠ACF＝∠CAF． （2）点P在长．
上，连接PC交AE于Q，当∠ACG＝30°，且DP＝3FQ时，求CP的
，弦CD⊥AB于点G，点E是
上的一
＝﹣＝
，m＝﹣4，
【分析】（1）利用垂径定理，圆周角定理证明即可． （2）证明△CFQ∽△CPD，可得
＝
＝，只要求出CF，可得结论．
【解答】（1）证明：∵AB是直径，AB⊥CD， ∴
＝
，
∵AC＝CE， ∴
＝
＝
，
∴∠ACF＝∠CAF；
（2）解：连接CO，OD．
∵AB⊥CD， ∴∠AGC＝90°， ∵∠ACG＝30°，
∴∠CAG＝90°﹣30°＝60°， ∵OC＝OA，
∴△ACO是等边三角形， ∴AC＝OA＝4∴AG＝AC＝2
， ．CG＝
AG＝6，
∵∠CAF＝∠ACF， ∴AF＝CF＝2FG， ∴CF＝CG＝4， ∵
＝
，
∴∠AOC＝∠AOD＝60°， ∴∠COD＝120°， ∴∠P＝∠COD＝60°， ∵∠CFQ＝∠FAC+∠FCA＝60°， ∴∠CFQ＝∠P，
∵∠FCQ＝∠PCD， ∴△CFQ∽△CPD， ∴
＝
＝，
∴CP＝12．
【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
23．某餐饮店每天限量供应某一爆款菜品大份袋，小份袋合计100份，且当天全部销售完毕，其成本和售价如下表所示．
份量 成本（元/份） 售价（元/份）
小份装 40 60
大份装 60 100
从该店店长处获悉：该餐饮店平均每天实出的小份装比大份装多40份． （1）求该店每天销售这款爆品菜品获得的总利润．
（2）店长为了增加利润，准备提高小份装的售价，同时降低大份装的售价，售卖时发现：小份装售价每升1元，每天会少销售4份；大份装售价每降1元，每天可多销售2份．设小份装的售价提高了m元（m为整数）．每售出一份小份装可获利 （20+m） 元，此时大份装每天可售出 （30+4m） 份．
（3）当m取何值时，每天获利最多？最大利润为多少元？
【分析】（1）设该店每天大份菜品卖x份，小份菜品卖（x+40）份，根据题意列出方程，解方程即可；
（2）小份装售价每升1元，每天会少销售4份；大份装售价每降1元，每天可多销售2份列出代数式即可；
（3）根据总利润＝小份装利润+大份装利润写出函数解析式，再根据函数的性质求函数最值．
【解答】解：（1）设该店每天大份菜品卖x份，小份菜品卖（x+40）份， 由题意得：x+x+40＝100， 解得：x＝30， 则x+40＝70，
∴该店总利润为＝30×（100﹣60）+70（60﹣40）＝1200+1400＝2600（元），
∴该店每天销售这款爆品菜品获得的总利润为2600元； （2）①小份菜售价提高m元之后，售价为（60+m）元， 利润为60+m﹣40＝（20+m）元
小份菜售价增加m元后，销量减少了4m份， 则目前每天销售小份菜（70﹣4m）份，
因为该菜品每天限量100份，小份菜减少了4m份，则大份菜会增加4m份， 则大份菜销量为100﹣（70﹣4m）＝（30+4m）份．
∴每售出一份小份菜可获利（20+m）元，大份菜可售出（30+4m）份， 故答案为：（20+m），（30+4m）；
（3）由（2）可知，大份装多售出4m份， ∴大份装降价
＝2m元，
假设利润为W，则
W＝（20+m）×（70﹣4m）+（40﹣2m）×（30+4m）＝﹣12m2+90m+2600， 该二次函数开口向下，对称轴为m＝﹣∵m是整数，
∴当m＝4时，W有最大值，最大值为﹣12×42+90×4+2600＝2768（元）， ∴当m＝4元时，每天获利最多，最大利润为2768元．
【点评】本题考查了二次函数的应用和列代数式，关键是找出等量关系列出函数解析式． 24．（14分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．点E是线段BD上一点，过点A，E，D的⊙O交CD延长线于点F，连结AE，AF，EF． （1）求证：△AEF∼△BAD．
（2）连接OE，OD，当∠AEB与△OED的一个内角相等时，求所有满足条件的BE的长． （3）将△ABD绕点D旋转，记旋转后A和B的对应点分别为P，Q，当P，Q同时落在⊙O上时，求点P到弦AD的距离．
＝3.75，
【分析】（1）证明∠AEF＝∠ADF＝90°，且∠ADE＝∠AFE，即可得出结论‘ （2）分两种情形，当∠AEB＝∠OED或∠AEB＝∠EOD时，分别根据图形，从而求出答案；
（3）连接AQ，AP，首先证明△AQD≌△PQD（SSS），由对称得AP⊥QD，则AM•QD＝AQ•AD，可求出AM的长，利用勾股定理求出MD的长，再根据等积法求出点P到AD的距离即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADF＝90°， ∴AF为直径， ∴∠AEF＝90°， ∴∠AEF＝∠BAD， ∵∠ADE＝∠AFE， ∴△AEF∽△BAD；
（2）解：①当∠AEB＝∠OED时，
∵OE＝OD， ∴∠OED＝∠ODE， ∴∠AEB＝∠ODE， ∴AE∥OD， ∴∠DOE＝∠OEA，
∵OA＝OE， ∴∠OEA＝∠OAE， ∴∠OAE＝∠DOE， 由（1）知△AEF∽△BAD， ∴∠OAE＝∠ABD， ∴∠BAE＝∠ODE＝∠BEA， ∴BE＝BA＝6，
②当∠AEB＝∠EOD时， ∵∠EOD＝2∠EAD， ∴∠AEB＝2∠EAD， ∵∠AEB＝∠EAD+∠EDA， ∴∠EAD＝∠EDA， ∴AE＝DE， ∵∠BAD＝90°， ∴AE＝BE， ∴E为BD的中点， ∴BE＝5， 综上，BE＝6或5；
（3）解：如图，连接AQ，AP，
∵∠QPD＝∠BAD＝90°， ∴QD为直径，
∴∠QAD＝∠BAD＝90°， ∴B、A、Q三点共线， ∵QD＝BD，AD⊥BQ，
∴AB＝AQ， ∴AQ＝PQ，
又∵QD＝QD，AD＝PD， ∴△AQD≌△PQD（SSS）， 由对称得AP⊥QD， ∴AM•QD＝AQ•AD， ∴AM＝∴MD＝
， ＝6.4，
设点P到弦AD的距离为h， 在△APD中， AP•MD＝AD•h， ∴h＝
＝7.68，
∴点P到弦AD的距离为7.68．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆的相关性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，综合性较强，明确运用等积法是求垂线段的常用手段是解题的关键．
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