2019-2020学年辽宁省沈阳市铁西区八年级(上)期末数学试卷 及答案解析

2019-2020学年辽宁省沈阳市铁西区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分） 1. 下列根式中是最简二次根式的是( )

A. √23

B. √2 C. √9 D. √12

2. 下列选项中，哪个不能得到𝑙1//𝑙2？( )

A. ∠1=∠2 C. ∠1+∠4=180°

B. ∠2=∠3 D. ∠3=∠5

3. 满足下列条件的△𝐴𝐵𝐶不是直角三角形的是( )

A. 𝐵𝐶=1，𝐴𝐶=2，𝐴𝐵=√3 C. BC：AC：𝐴𝐵=3：4：5

4. 如图，在数轴上，点P表示的数是( )

B. 𝐵𝐶=1，𝐴𝐶=2，𝐴𝐵=√5 D. ∠𝐴：∠𝐵：∠𝐶=3：4：5

A. −1.5 B. −0.5 C. 1.5 D. 0.5

5. 估计√5+√2×√10的值应在 ( )

A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间

6. 2018年4月12日我军在南海举行了建国以来海上最大的军事演习，位

于点O处的军演指挥部观测到军舰A位于点O的北偏东70图)，同时观测到军舰B位于点O处的南偏西15大小是( )

∘

∘

方向(如

方向，那么∠𝐴𝑂𝐵的

A. 85

∘

B. 105

∘

C. 115

∘

D. 125

∘

7. 学校举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生．在这次义卖活动中，某班级售书情

况如表： 售价 数目 3元 14本 4元 11本 5元 10本 6元 15本 下列说法正确的是( )

A. 该班级所售图书的总收入是226元

B. 在该班级所售图书价格组成的一组数据中，中位数是4 C. 在该班级所售图书价格组成的一纽数据中，众数是15 D. 在该班级所售图书价格组成的一组数据中，方差是2

8. 若实数a，b满足𝑎𝑏<0，且𝑎<𝑏，则函数𝑦=𝑎𝑥+𝑏的图象可能是( )

A. B.

C. D.

9. 小高从家门口骑车去离家4千米的公司上班，先花3分钟走平路1千米，再走上坡路以0.2千米/

分的速度走了5分钟，最后走下坡路花了4分钟到达公司．若设他从家开始去单位的时间为𝑡(分)，离家的路程为𝑦(千米)，则y关于𝑡(8<𝑡≤12)的函数关系式为( )

A. 𝑦=2𝑡(8<𝑡≤12) C. 𝑦=2𝑡+8(8<𝑡≤12)

1

1

B. 𝑦=2𝑡+2(8<𝑡≤12) D. 𝑦=2𝑡−2(8<𝑡≤12)

1

1

3𝑎+2𝑏=27,10. 已知a、b满足方程组{则𝑎+𝑏=( )

2𝑎−3𝑏=−8,

A. 11 B. 12 C. 13 D. 14

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 11. 化简：√18𝑥2(𝑥>0)= ______ ．

12. 若一个正比例函数的图象经过𝐴(3,−6)，𝐵(𝑚,−4)两点，则m的值为______． 13. 如图，已知CD平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐷𝐸//𝐴𝐶.若∠1=30°，则∠2的度数为

___________．

14. 等边△𝐴𝐵𝑂的边长为3，在平面直角坐标系中的位置如图所示，则A点的

坐标是______

15. 已知一组数据5，8，10，x，9的众数是8，那么这组数据的方差是______． 𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶的角平分线交BC边于点D，𝐴𝐵=5，16. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，

𝐵𝐶=6，则𝐴𝐷=________．

三、计算题（本大题共2小题，共14.0分） 17. 计算：3√−27+(−2)2+|√2−3|

18. 某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用

同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元，问：

(1)这批游客的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？

(2)若租用同一种车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？

四、解答题（本大题共7小题，共68.0分） 2𝑥+3𝑦=−5

19. 解方程组：{

4𝑥+𝑦=5

20. 已知：在𝛥𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐴=𝐵𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于D，BE平分∠𝐴𝐵𝐶交AD于E，𝐸𝐹//𝐴𝐶交BC于F，

若∠𝐴𝐵𝐶=56

∘

；求：

(1)∠𝐴𝐸𝐵的度数； (2)∠𝐷𝐸𝐹的度数．

21. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是𝐴(4,7)，𝐵(1,5).𝐶(3,2)，𝐷(5,4)

(1)请在网格中作出四边形ABCD关于y轴对称的四边形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′(其中A、B、C、D的对应点分别为𝐴′、𝐵′、𝐶′、𝐷′)，并写出𝐵′、𝐶′的坐标；

(2)求四边形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′的面积(已知图中网格的每个小正方形的边长为1个单位长度)．

22. 九年级二班50名同学在“爱心捐款”活动中，捐款情况统计如表，

捐款金额(元) 捐款人数(人) 5 a 10 18 15 10 20 12 50 3 (1)表中𝑎= ______ ；

(2)二班同学捐款数组成的数据中，中位数是______ 、众数是______ ； (3)九年级二班50名同学平均捐款多少元？

(4)根据样本数据，估计该校九年级300名学生在本次活动中捐款多于15元的人数．

23. 学校准备购置一批教师办公桌椅，已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，1套A型桌

椅和3套B型桌椅共需3000元．

(1)求一套A型桌椅和一套B型桌椅的售价各是多少元；

(2)学校准备购进这两种型号的办公桌椅200套，平均每套桌椅需要运费10元，并且A型桌椅的套数不多于B型桌椅的套数的3倍．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

24. 如图，在四边形ABCD中，𝐴𝐵=𝐴𝐷，∠𝐴=90°，∠𝐶𝐵𝐷=30°，

∠𝐶=45°，如果𝐴𝐵=√2，求CD的长．

𝐶(0,𝑛)平面直角坐标系中，已知直线𝑦=𝑥上一点𝑃(2,𝑚)，25. 如图，

为y轴上一点，以P为直角顶点作等腰𝑅𝑡△𝑃𝐶𝐷，过点D作直线𝐴𝐵⊥𝑥轴，垂足为B，直线AB与直线𝑦=𝑥交于点A． (1)求m的值，并求出直线PC的函数表达式(用含n的式子表示)；

(2)判断线段OB和OC的数量关系，并证明你的结论； (3)当△𝑂𝑃𝐶≌△𝐴𝐷𝑃时，求点A的坐标．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：B

解析：

本题主要考查了最简二次根式，关键是熟练掌握最简二次根式的定义，利用最简二次根式的定义进行判断即可．

解：A． √3=3，故不符合题意； B.√2是最简二次根式，故符合题意； C.√9=3，故不符合题意； D.√12=2√3，故不符合题意； 故选B．

2√62.答案：D

解析：

本题考查平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． 分别根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 解：𝐴.∵∠1=∠2，∴𝑙1//𝑙2，故本选项错误； B.∵∠2=∠3，∴𝑙1//𝑙2，故本选项错误；

C.∵∠1+∠4=180°，∴∠3+∠4=180°，∴𝑙1//𝑙2，故本选项错误； D.∠3=∠5不能判定𝑙1//𝑙2，故本选项正确． 故选D．

3.答案：D

解析：解：A、∵12+(√3)2=22，

∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵12+22=(√5)2，

∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵32+42=52，

∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，故本选项不符合题意；

D、∵∠𝐴+∠𝐵+∠𝐶=180°，∠𝐴：∠𝐵：∠𝐶=3：4：5， ∴∠𝐴=45°，∠5=60°，∠𝐶=75°，

∴△𝐴𝐵𝐶不是直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D．

先求出两小边的平方和和最长边的平方，看看是否相等即可．

本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．

4.答案：B

解析：

本题考查了实数和数轴，实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大． 根据数轴得：点P表示的数大于−1且小于0，据此解答即可． 解：根据数轴得：点P表示的数大于−1且小于0， 故选：B．

5.答案：B

解析：解：√5+√2×√10=√5+2√5=3√5， ∵3√5=√45， 6<√45<7， 故选：B．

化简原式等于3√5，因为3√5=√45，所以√36<√45<√49，即可求解；

本题考查无理数的大小；能够将给定的无理数锁定在相邻的两个整数之间是解题的关键．

6.答案：D

解析：

本题主要考查了方向角，解题的关键是正确理解方向角．利用方向角的定义求解即可． 解：∠𝐴𝑂𝐵=90°−70°+90°+15°=125°． 故选D．

7.答案：A

解析：解：A、该班级所售图书的总收入为3×14+4×11+5×10+6×15=226，所以A选项正确；

B、第25个数为4，第26个数为5，所以这组数据的中位数为4.5，所以B选项错误； C、这组数据的众数为4，所以C选项错误； D、这组数据的平均数为𝑥=

−

22650

=4.52，所以这组数据的方差𝑆2=

150

[14(3−4.52)2+11(4−

4.52)2+10(5−4.52)2+15(6−4.52)2]≈1.4，所以D选项错误． 故选：A．

把所有数据相加可对A进行判断；利用中位数和众数的定义对B、C进行判断；利用方差的计算公式计算出这组数据的方差，从而可对D进行判断(当然前面三个判断了可直接对D进行判断)． 𝑥1，𝑥2，…𝑥𝑛的平均数为𝑥，本题考查方差的定义：一般地设n个数据，则方差𝑆2=𝑛[(𝑥1−𝑥)2+(𝑥2−𝑥)2+⋯+(𝑥𝑛−𝑥)2].也考查了中位数和众数．

−

−

−

1

−

8.答案：A

解析：解：∵𝑎𝑏<0，且𝑎<𝑏， ∴𝑎<0，𝑏>0，

∴函数𝑦=𝑎𝑥+𝑏的图象经过第二、四象限，且与y轴的交点在x轴上方． 故选：A．

利用𝑎𝑏<0，且𝑎<𝑏得到𝑎<0，𝑏>0，然后根据一次函数图象与系数的关系进行判断． 本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘、b为常数，𝑘≠0)是一条直线，当𝑘>0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当𝑘<0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为(0,𝑏)．

9.答案：D

解析：

本题考查了由实际问题抽象一次函数关系式的知识，解答本题的关键是求出走下坡路时的平均速度，当8<𝑡≤12时，小高正在走下坡路，求出走下坡路的平均速度，然后根据𝑦=平路长度+上坡路长度+(𝑡−8)×下坡路平均速度，即可得出答案．

解：下坡路的长度=4−1−0.2×5=2千米， 下坡路的平均速度=2÷4=2千米/分钟，

则𝑦=平路长度+上坡路长度+(𝑡−8)×下坡路平均速度 =1+0.2×5+2×(𝑡−8)=2𝑡−2， 即可得𝑦=2𝑡−2(8<𝑡≤12)． 故选D．

1

1

11

10.答案：A

解析：

本题考查加减法消元法解二元一次方程组，代数式的求值，原方程组利用加减消元法求解得出a、b的值，再代入计算可得． 解：{

3𝑎+2𝑏=27    ①   

,

2𝑎−3𝑏=−8     ②

①×3+②×2，得：13𝑎=65， 解得：𝑎=5，

将𝑎=5代入①，得：15+2𝑏=27， 解得：𝑏=6， 则𝑎+𝑏=5+6=11， 故选：A．

11.答案：3√2𝑥

解析：解：√18𝑥2(𝑥>0)=3√2𝑥， 故答案为：3√2𝑥.

根据二次根式的性质，即可解答．

本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是熟记二次根式的性质．

12.答案：2

解析：解：设正比例函数的解析式为𝑦=𝑘𝑥(𝑘≠0)， ∵该正比例函数图象经过点𝐴(3,−6)， ∴−6=3𝑘，解得：𝑘=−2， ∴正比例函数的解析式为𝑦=−2𝑥．

∵点𝐵(𝑚,−4)在正比例函数𝑦=−2𝑥的图象上， ∴−4=−2𝑚， 解得：𝑚=2． 故答案为：2．

由点A的坐标即可求出正比例函数的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m的值，此题得解．

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式𝑦=𝑘𝑥+𝑏是解题的关键．

13.答案：60°

解析：

此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 已知CD平分∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴𝐶𝐵=2∠1；𝐷𝐸//𝐴𝐶，可推出∠𝐴𝐶𝐵=∠2，易得：∠2=2∠1，由此求得∠2=60°.

解：∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝐴𝐶𝐵=2∠1， ∵𝐷𝐸//𝐴𝐶， ∴∠𝐴𝐶𝐵=∠2， 又∵∠1=30°， ∴∠2=60°． 故答案为60°．

14.答案：(−1.5,1.5√3)

解析：解：过A作𝐴𝐸⊥𝑥轴于E，

∵△𝐴𝐵𝑂是等边三角形，边长为3， ∴𝑂𝐴=3，𝑂𝐸=𝐵𝐸=1.5，

在𝑅𝑡△𝐴𝐸𝑂中，由勾股定理得：𝐴𝐸=√𝐴𝑂2−𝑂𝐸2=√32−1．52=1.5√3， 即点A的坐标为(−1.5,1.5√3)， 故答案为：(−1.5,1.5√3).

过A作𝐴𝐸⊥𝑥轴于E，根据等边三角形性质求出OE，根据勾股定理求出AE，即可得出答案． 本题考查了等边三角形的性质和勾股定理，能够正确作出辅助线是解此题的关键．

15.答案：2.8

解析：试题分析：根据众数的定义求出x的值，再根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可． ∵一组数据5，8，10，x，9的众数是8， ∴𝑥是8，

∴这组数据的平均数是(5+8+10+8+9)÷5=8， ∴这组数据的方差是：

15

[(5−8)2+(8−8)2+(10−8)2+(8−8)2+(9−8)2]=2.8．

故答案为：2.8．

16.答案：4

解析：

此题主要考查了等腰三角形的性质与勾股定理的应用，做题的关键是根据等腰三角形的性质证出△𝐴𝐷𝐵是直角三角形．

首先根据等腰三角形的性质：等腰三角形的三线合一，求出𝐷𝐵=𝐷𝐶=2𝐶𝐵，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，再利用勾股定理求出AD的长．

解：∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，AD是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线， ∴𝐷𝐵=𝐷𝐶=𝐶𝐵=3，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，

21

1

在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷中， ∵𝐴𝐷2+𝐵𝐷2=𝐴𝐵2， ∴𝐴𝐷=√52−32=4， 故答案为：4．

17.答案：解：原式=−3+4+3−√2=4−√2．

解析：原式利用立方根定义，乘方的意义，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18.答案：解：(1)设这批游客的人数是x人，原计划租用45座客车y辆．

45𝑦+15=𝑥

根据题意，得{，

60(𝑦−1)=𝑥𝑥=240

解这个方程组，得{．

𝑦=5

答：这批游客的人数240人，原计划租45座客车5辆；

(2)租45座客车：240÷45≈5.3(辆)，所以需租6辆，租金为220×6=1320(元)， 租60座客车：240÷60=4(辆)，所以需租4辆，租金为300×4=1200(元)． 答：租用4辆60座客车更合算．

解析：(1)本题中的等量关系为：45×45座客车辆数+15=游客总数，60×(45座客车辆数−1)=游客总数，据此可列方程组求出第一小题的解；

(2)需要分别计算45座客车和60座客车各自的租金，比较后再取舍．

此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．

19.答案：解：{

2𝑥+3𝑦=−5 ①

4𝑥+𝑦=5 ②

①×2−②得：5𝑦=−15， 解得：𝑦=−3，

把𝑦=−3代入②得：4𝑥−3=5， 解得：𝑥=2，

𝑥=2

所以原方程组的解是：{．

𝑦=−3

解析：①×2−②得出5𝑦=−15，求出y，把𝑦=−3代入②求出x即可．

本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．

20.答案：解：(1)∵𝐵𝐴=𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶=56°，

∴∠𝐶=∠𝐵𝐴𝐶=62°， ∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，

∴∠𝐷𝐵𝐸=2∠𝐴𝐵𝐶=28°， ∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐵𝐷𝐸=90°，

∴∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐷𝐵𝐸+∠𝐵𝐷𝐸=28°+90°=118°； (2)∵𝐸𝐹//𝐴𝐶， ∴∠𝐸𝐹𝐷=∠𝐶=62°，

∴∠𝐷𝐸𝐹=90°−∠𝐸𝐹𝐷=90°−62°=28°．

1

解析：本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．

(1)根据等腰三角形的性质得到∠𝐶=∠𝐵𝐴𝐶=62°，根据角平分线的定义得到∠𝐷𝐵𝐸=2∠𝐴𝐵𝐶=28°，由三角形外角的性质即可得到结论；

(2)根据平行线的性质得到∠𝐸𝐹𝐷=∠𝐶=62°，由三角形的内角和即可得到结论．

1

21.答案：解：(1)如图所示，四边形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′即为所求；𝐵′(−1,5)、𝐶′(−3,2)；

(2)四边形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′的面积为：

5×4−×1×3−×2×2−×2×3−×2×3=10.5．

2

2

2

2

1

1

1

1

解析：本题主要考查了轴对称变换作图，几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，是先从确定一些特殊的对称点开始的．

(1)先作出四边形ABCD各顶点关于y轴对称的点，再顺次连接即可； (2)根据割补法即可得到四边形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′的面积．

22.答案：解：(1)7；

(2)12.5；10；

(3)观察表格，可知这组样本数据的平均数是=∴这组样本数据的平均数是15.1；

(4)在50名学生中，捐款多于15元的学生有15名，有300×50=90(名)．

∴根据样本数据，可以估计该校九年级300名学生在本次活动中捐款多于15元的约有90名．

15

5×7+10×18+15×10+20×12+50×3

50

=15.1，

解析：本题考查了平均数、众数和中位数的定义，用样本估计总体的思想，解题的关键是牢记概念及公式．

(1)用总人数减去其他各组的人数即可求得a的值；

(2)在这组样本数据中，10出现的次数最多，所以求出了众数，将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数是10，15，从而求出中位数是12.5；

(3)先根据表格提示的数据求出50名学生的捐款总金额，然后除以50即可求出平均数；

(4)从表格中得知在50名学生中，捐款多于15元的学生有15名，所以可以估计该校九年级300名学生在本次活动中捐款多于15元的人数为300×50=90． 解：(1)𝑎=50−18−10−12−3=7； 故答案为7；

(2)在这组样本数据中，10出现了18次，出现的次数最多， ∴这组样本数据的众数为10；

∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数分别是10，15， ∴这组数据的中位数为12.5. 故答案为12.5；10； (3)见答案； (4)见答案．

15

23.答案：解：(1)设一套A型桌椅的售价是x元，一套B型桌椅的售价是y元，

2𝑥+𝑦=2000依题意，得：{，

𝑥+3𝑦=3000𝑥=600

解得：{．

𝑦=800

答：一套A型桌椅的售价是600元，一套B型桌椅的售价是800元． (2)设购进A型桌椅m套，则购进B型桌椅(200−𝑚)套， 依题意，得：𝑚≤3(200−𝑚)， 解得：𝑚≤150．

再设购买费及运费的总和为w元，

依题意，得：𝑤=600𝑚+800(200−𝑚)+10×200=−200𝑚+162000． ∵−200<0，

∴𝑤值随着m值的增大而减小，

∴当购进A型桌椅150套、B型桌椅50套时，总费用最少，最少费用为132000元．

解析：(1)设一套A型桌椅的售价是x元，一套B型桌椅的售价是y元，根据“购进2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元；购进1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)设购进A型桌椅m套，则购进B型桌椅(200−𝑚)套，由购进A型桌椅的套数不多于B型桌椅的套数的3倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再设购买费及运费

的总和为w元，根据总费用=购买单价×购买数量+每套的运费×套数，即可得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质即可找出最省钱的购买方案．

(1)本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：(2)根据各数量之间的关系，找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找出w关于m的函数关系式．

24.答案：解：如图，过点D作𝐷𝐸⊥𝐵𝐶于E，

∵𝐴𝐵=𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐷=90°， ∴𝐴𝐷=𝐴𝐵=√2，

∴由勾股定理可得𝐵𝐷=√𝐴𝐵2+𝐴𝐷2=2， ∵∠𝐶𝐵𝐷=30°，

∴𝐷𝐸=2𝐵𝐷=2×2=1，

又∵𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐸中，∠𝐷𝐸𝐶=90°，∠𝐶=45°，则𝐶𝐸=𝐷𝐸， ∴由勾股定理可得𝐶𝐷=√𝐷𝐸2+𝐶𝐸2=√2．

1

1

解析：本题考查了勾股定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及等腰直角三角形的性质，通过作辅助线，把△𝐵𝐶𝐷分成两个直角三角形是解题的关键，也是本题的难点． 过点D作𝐷𝐸⊥𝐵𝐶于E，根据等腰直角三角形的性质求出AD、BD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE，利用△𝐶𝐷𝐸是等腰直角三角形，即可求出CD的长．

25.答案：解：(1)将点𝑃(2,𝑚)代入𝑦=𝑥，得𝑚=2，

设直线PC的函数解析式为：𝑦=𝑘𝑥+𝑏，则 2=2𝑘+𝑏

{， 𝑛=𝑏解得{

𝑘=1−𝑛𝑏=𝑛

21

，

1

∴直线PC的解析式为𝑦=(1−2𝑛)𝑥+𝑛；

(2)线段OB和OC的数量关系为：𝑂𝐵=𝑂𝐶．

理由如下：如图，过点P作𝑀𝑁⊥𝑂𝐶交OC于M，交AB于N，

∵∠𝐶𝑀𝑃=∠𝐷𝑁𝑃=∠𝐶𝑃𝐷=90°， ∴∠𝑀𝐶𝑃+∠𝐶𝑃𝑀=∠𝑀𝑃𝐶+∠𝐷𝑃𝑁=90°， ∴∠𝑀𝐶𝑃=∠𝐷𝑃𝑁， ∵𝑚=2， ∴𝑃(2,2)，

∴𝑂𝑀=𝐵𝑁=2，𝑃𝑀=2， ∵等腰𝑅𝑡△𝐶𝐷𝑃中，𝑃𝐶=𝑃𝐷， ∴△𝑀𝐶𝑃≌△𝑁𝑃𝐷， ∴𝐷𝑁=𝑃𝑀，𝑃𝑁=𝐶𝑀， 又∵点P在直线𝑦=𝑥上， ∴𝑂𝑀=𝑃𝑀，

∴𝑂𝑀+𝐶𝑀=𝑃𝑀+𝑃𝑁， ∴𝑂𝐶=𝑀𝑁， 又∵𝑀𝑁=𝑂𝐵， ∴𝑂𝐵=𝑂𝐶；

(3)∵𝐶(0,𝑛)，𝑂𝐵=𝑂𝐶， ∴𝐵(𝑛,0)，𝐴(𝑛,𝑛)， ∵𝐷𝑁=𝑃𝑀=𝑂𝑀=2， ∴𝐵𝐷=4，𝐷(𝑛,4)， ∴𝐴𝐷=|𝑛−4|，

当△𝑂𝑃𝐶≌△𝐴𝐷𝑃时，|𝐴𝐷|=|𝑂𝑃|=2√2， ∴|𝑛−4|=2√2，

∴𝑛=4+2√2或4−2√2，

∴𝐴(4+2√2,4+2√2)或(4−2√2,4−2√2).

解析：(1)点𝑃(2,𝑚)代入𝑦=𝑥，即可得到𝑚=2，运用待定系数法即可得出直线PC的函数表达式； (2)过点P作𝑀𝑁⊥𝑂𝐶交OC于M，𝑃𝑁=𝐶𝑀，交AB于N，判定△𝑀𝐶𝑃≌△𝑁𝑃𝐷，即可得出𝐷𝑁=𝑃𝑀，𝑀𝑁=再根据点P在直线𝑦=𝑥上，可得𝑂𝑀=𝑃𝑀，进而得到𝑂𝑀+𝐶𝑀=𝑃𝑀+𝑃𝑁，依据𝑂𝐶=𝑀𝑁，𝑂𝐵，即可得出𝑂𝐵=𝑂𝐶；

(3)依据𝐶(0,𝑛)，𝑂𝐵=𝑂𝐶，𝐴(𝑛,𝑛)，𝐷(𝑛,4)，可得𝐵(𝑛,0)，依据𝐷𝑁=𝑃𝑀=𝑂𝑀=2，可得𝐵𝐷=4，进而得到𝐴𝐷=|𝑛−4|，当△𝑂𝑃𝐶≌△𝐴𝐷𝑃时，|𝐴𝐷|=|𝑂𝑃|=2√2，再依据|𝑛−4|=2√2，即可得到𝑛=4+2√2或4−2√2，进而得出点A的坐标．

本题是一次函数的综合题，综合考查了全等三角形的性质及判定，等腰直角三角形的性质以及待定系数法求一次函数解析式的综合运用；解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形的对应边相等得到结论．