用构造法求数列通项公式

用构造法求数列通项公式

已知数列的递推公式，求其通项公式是数列中重要的题型之一，在近年的高考试卷中也经常出现此类题型，解决这个问题除验算—猜想—证明的方法外；利用公式的变形构造一个新数列来求解也是重要的手段，下面通过例题分析阐述常用的变形方法，供参考。

一、配凑构造

n2例1 数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=nSn(n=1,2,3……)，求an.

n2解析：∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=nSn∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn)，整理得nSn+1=2(n+1)Sn,SnSnSn1S1即n1=2·n，故数列{n}是以1=a1=1为首项，2为公比的等比数列，即Snn=2n-1,Sn=n·2n-1，当n≥2时，an=Sn-S n-1=n·2n-1-(n-1)2n-2=(n+1)2n-2,当n=1时也适

合，故an=(n+1)·2n-2n∈N*.

二、相除构造

1例2 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2);a1=2,求通项an.

1111解析:当n≥2时, an=Sn-Sn-1=-2 SnSn-1,两边同除以SnSn-1得Sn- Sn1=2,又S1=a1=2,

1111∴数列{Sn}是以2为首项,2为公差的等差数列,则Sn=2+2(n-1)=2n, Sn=2n,由a1=2,

111n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2(n1)=- 2n(n1),二式不能合并.

三、平方构造

2x4(x≤-2).(1)求f-1(x),(2)若a1=1,an=-f-1(an-1),求数列{an}的例3 已知函数f(x)=

通项公式.

解析:(1)f-1(x)=- x24 (x≥0),(2)由an=-f-1(an-1),∴an=

2an14,两边平方得

an2-an-12=4,∴数列{an2}是以a12=1为首项,公差为4的等差数列,∴an2=1+(n-1)4=4n-3,又an>0,∴an=4n3.

四、开方构造

例4 已知函数f(x)=(x+2)2(x>0),设正项数列{an}的首项a1=2,前n项和Sn满足Sn=f(Sn-1)(n≥2且n∈N*),求通项an.

解析:∵an>0,∴Sn>0,由Sn=f(Sn-1)=({

SnSn1SS+2)2两边开方得n=n1+2,∴数列

S}是以S1=a1=2为首项,公差d=2的等差数列,即n=2+(n-1)2=2n,则

Sn=2n2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-2,当n=1时,a1=2也适合上式,故an=4n-2(n∈N*).

五、待定系数法

例5 已知数列{an}中,a1=1,且an+1=3an-1(n∈N*),求an.

1解析:设an+1+x=3(an+x),则an+1=3an+2x,又an+1=3an-1,则2x=-1,即x=-2,故而1111111an+1-2=3(an-2),则数列{an-2}是以首项a1-2=2,公比为3的等比数列,∴an-2=2·3n-1,即11an=2·3n-1+2.

六、公式变形

11例6 已知正项数列{an}的前项和Sn满足Sn=2(an+an)，求通项an.

1111解析：由S1=a1=2(a1+a1)得a1=1，又an=Sn-Sn-1(n≥2)∴Sn=2(an+an)=

1112(Sn-Sn-1+SnSn1)可得Sn+Sn-1=SnSn1，即Sn2-Sn-12=1,∴数列{Sn2}是首项为

S12=a12=1,公差为1的等差数列.∴Sn2=1+(n-1)·1=n，又Sn>0，∴Sn=n,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n-n1,当n=1时，a1=1也适合，故通项an=n-n1.

七、取倒数

2an1an12例7 已知数列{an}中，a1=2,an=(n≥2)，求通项an.

解析：由题意知an≠0，在an=

2an1an12an12111两边同时取倒数得，an=2an1=an1+2,即

111111111n2an-an1=2,∴数列{an}是首项为a1，公差为2的等差数列，∴an=2+(n-1)2=2, 则an=n.