数学学科初高中教材衔接知识点讲义

数学学科初高中教材衔接知识点讲义

目 录

第一讲 因式分解 第一页 第五页 第七页 第十页 第十二页 第十四页 第二讲 第三讲 第四讲 第五讲 第六讲 韦达定理 二次根式 二次函数 根的分布 平面几何 立体几何初步

1

2008-7-11

数学学科初高中教材衔接知识点讲义

从新课程初中新教材看，它们对知识的展现是“问题情境——抽象出数学问题——建立模型——解释与应用”的过程，这有利于学生经历探究知识的发生、发展过程，理解数学知识的来龙去脉，建构自己的认知结构。但是，教材对许多概念采用描述性定义，对不少数学定理没有论证；教材坡度较缓、直观性强。

高中教材知识内容较初中剧增；知识的呈现注重逻辑性、抽象性。如高一教材开始就是集合、映射、函数及逻辑关系等，概念多而抽象，符号多，定义、定理严格，教材叙述比较严谨、规范，抽象思维明显提高，知识难度加大，且习题类型多，解题技巧灵活多变，计算繁冗复杂，体现了“起点高、难度大、容量多”的特点。

目前初高中衔接表现出的主要问题：

1．初中内容的不适当删减、降低要求，导致学生“双基”无法达到高中教学要求； 2．初中不适当地“抢戏”，导致“夹生饭”、“注入式”教学（学生思维能力达不到要求）；

3．高中不顾学生的基础，任意拔高教学要求，繁琐的、高难度的运算（技巧）充斥课堂。 因此，我们有必要为学生做好初、高中的知识衔接，为他们能够更好的学好高中数学助一臂之力。

第一讲 因式分解

在初中学习阶段因式分解只要求提取公因式法、公式法（平方差、完全平方）、分组分解法，直接用公式法不超过两次；而在高中阶段，无论是求解方程，求不等式的解集，还是一些式子的化简对这方面的知识要求都相对比较高。

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式： (ab)(ab)ab （2）完全平方公式: (ab)a2abb222 22

（3）立方和公式: (ab)(a2abb2)a3b3 （4）立方差公式: (ab)(a2abb2)a3b3

运用上面的公式对我们因式分解有一些局限性，在此再介绍因式分解中一些常用的重要方法“十字相乘法、求根法”。

一、十字相乘法

例1：分解因式： （1）x5x6 （2）x4x21

分析：用十字相乘法分解因式时，首先要找准各项的系数和常数项，然后利用

2

22来

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分系数，使得左边两数乘积为二次项系数，右边两项乘积为常数项，交叉相乘后结果作和，应与一次项系数同，这样就分解出来了。 解：（1） x -2

x -3

x25x6=(x-2)(x-3).

(2)

x -7

x 3

x24x21=(x-7)(x+3).

例2：分解因式

（1）(x22x2)7(x22x)8 （2）x2x15ax5a

分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有时可能会多次使用十字相乘法. 解：（1）原式(x22x1)(x22x8)

x

1

x

-2

2(x1)2(x2)(x4)

（2）原式(x2x15)(ax5a)

2x 1 x

x 4

-3

(x3)(x5)a(x5)(x5)(x3a)

（配合使用公因式法）

注：不是所有的二次三项式都能进行因式分解。

x

5

二、求根法

关于x的二次三项式ax+bx+c(a≠0)的因式分解：

若关于x的方程axbxc0(a0)的两个实数根是x1、x2，则二次三项式

22

ax2bxc(a0)就可分解为a(xx1)(xx2).

例3 把下列关于x的二次多项式分解因式：

222（1）x2x1； （2）x4xy4y．

2解： （1）令x2x1=0，则解得x112，x212，

3

2008-7-11 ∴x22x1=x(12)x(12)

 =(x12)(x12)．

（2）令x24xy4y2=0，则解得x1(222)y，x1(222)y， ∴x24xy4y2=[x2(12)y][x2(12)y]．

习 题 一

1．选择题：

（1）多项式2x2xy15y2的一个因式为 （ （A）2x5y （B）x3y （C）x3y （D）x5y

（2）若x212mxk是一个完全平方式，则k等于 （ （A）m2 （B）1212124m （C）3m （D）16m

2．分解因式：

（1）5（x－y）3

+10（y－x）

2

（2）c2ab2ab2·c2

（3）2xxy4x2xy2xyyx2 （4）8a3－b3；

（5）x2＋6x＋8； （6）3x2

＋10x＋8；

（7）4x413x29； (8) 20a4

-33a2b2

+7b

4

(9)(x2-5x)2+10(x2-5x)-96 (10) x2＋x－(a2

－a)

3．在实数范围内因式分解：

（1）x25x3 ； （2）x222x3；

（3）3x24xyy2； （4）(x22x)27(x22x)12．

4

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第二讲 一元二次方程 韦达定理

根与系数的关系（韦达定理）是中学学习阶段的一个重要内容，但在初中新教材中对这

一知识有所弱化。然而在高中学习阶段对这一知识点的运用却是比较重要的，比如在三角函数中相关函数值的求解，平面解析几何（圆锥曲线）相关计算、探求问题中的值的计算。

x1、xaxbxc0 (a0)例1：已知， 2是关于x的一元二次方程

2两根。

x1x2x1x2求证： 。

2分析：由求根公xbb4ac式计算一下x1x2，x1x2可以找到一元二

2a次方程根与系数的关系，这条性质也称作韦达定理。

baca证明：由求根公式有：

bb24acbb24acx1x22a2a，

∴

bb24acbb24ac2bbx1x22a2a2aa bb24acbb24acx1x22a2a

(b)2(b24ac)b2b24acc22a 4a4a2xpxq0时注：韦达定理当一元二次方程二次项系数为1时，即关于x的方程

x1x2p，x1x2q也很常用

2例2：已知：x1、x2是方程x5x20两个实数根。

求：①x1x2 ②x1x2 ③

xx2 ④1

22xx2 ⑤13311x1x2

⑥

21x1x22⑦(x11)(x21)

分析：题目所求的式子都可以称为对称式，即交换x1与x2的位置代数式的形式不变，这些对称式均可以变形为用两根和与两根积表示的形式，利用韦达定理代入后，可求值，请记住这些常规变形，在今后的学习中是很常见的。

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2解：∵x5x20两根为x1、x2∴①x1x25 ②x1x22

11x1x255x1x222 ③x1x222xx(xx)2xx52(2)29 121212④

22⑤x1x2(x1x2)(x1x2x1x2)5[29(2)]155

33221⑥x121x22x1x2x1x2222229294 (2)2⑦(x11)(x21)x1x2(x1x2)12516

22例3：已知：α、β是方程x7mx4m0的两根，且（α-1）（β-1）=3，求m的值

分析：解这种求字母值的问题时，需考虑题目对字母的几点，①是二次项系数不为0；②是方程有实根的条件，即判别式；③是由已知带来的信息。综合①②③找到公共解集，才能确定字母的值。 解：由题意可得：

07m24m(1)(1)3

(7m)244m20()13

mR24m7m13mR1m2或m124

1∴m的值为2或 . 4

x(m1)x(2m3)0例4：m为何值时，

2的两根均为正.

分析：两根均为正，即x1x20，x1x20由此可以得到m的取值范围，但注意检验，看是否满足判别式。

解：由题意可列：

(m1)4(2m3)0m10x1x202m30xx012 得:

2mR0m13m2 m326

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3m∴ 时，原方程两根均为正。

2注：此类问题还会有两根均为负，一正一负根，有一根为0，两根互为相反数，两根互为倒数，有两根均大于1等多种形式，望同学多积累解题经验。

习 题 二

21．已知：x1、x2是方程2x3x10的两个实数根，分别求出下列各式的值。

11xxxx1212①. ②. ③

x1x2④x1x2. ⑤x1x2. ⑥

22331x121x22 ⑦ (x11)(x21)⑧|x1x2|

22．已知方程5xkx60的一个根是2，求它的另一根及k的值。

3．已知两个数的和等于8，积等于-9，求这两个数

24．求作一个方程，使它的根是方程x7x80的两根的平方的负倒数

第三讲 二次根式

在初中教材中，二次根式的知识内容涉及较少，深度也比较底，这对刚进入高中的学生

而言，在以后的学习过程中将存在很大的障碍，主要是体现在一些解题计算过程当中。

在本讲中重点是根式的最简根式、分母有理化。

一．根式的化简

满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数的因数是整数，因式是整式，例如：

12不是最简二次根式； ,2a②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例如：8,a2b（a≥0，b≥0）也不是最简二次根式。

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例1、化简：

25x44x38x2a15（1）1； （2）； （3） 2249y49ay49解：（1）原式=

8=； 4949725x49y2（2）原式=

5x2=； 3y4x2(x2a)2xx2a4x2(x2a) （3）原式=== 22449a2y47ay49ay

例2、把下列各式化为最简二次根式： （1）8xy；（2）x322yaa2b4ab24b3；（3） xa2ba2

解：（1）原式=4xy2(xy)=2（x+y）2(xy)

（2）原式=

x2yxx2yxx2xy=xxy

xxxab(a2b)2a(a2b)b （3）原式=ab

a2baa2ba

二．分母有理化

分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。分母有理化的目的是把分母化为有理式（或有理数）。分母有理化的关键是找出分母的有理化因子。如：a的分母有理化因子就是a。因而要使

ba分母有理化就要在它的分子与分母同时乘以a。

例3、把下列各式分母有理化：

33（1）

2x38；（2）2x3

解：（1）如果将题中的分子、分母同时乘以8，可以使分母变为有理数，但这并不是最简的方法。因为8=22，所以只需要把分子、分母同时乘以2，就可化去分母的根号，从而使运算过程也较简便。

8

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332原式=

8236163

（2）如果将题中分子、分母同乘以2x3，就可以把分母中的根号化去：

(2x3)2x3(2x3)2x3原式=

2x32x32x32x3

但如果将分子化为（2x3）2

，也可将原式分母有理化：

2x32原式=2x32x3

习 题 三

1、选择题： （1）等式

a3a3a1a1成立的条件是（ ） A、a≠1 B、a≥3且a≠－1 C、a>1

D、a≥3

（2）在下列各式中，是最简二次根式的式子是（ ）

A、16a B、

mn5 C、

a D、6x4y318

（3）在式子18,1a3,0.5m,x24,2a,bab中，是最简二次根式的式子有（ 个。 A、2

B、3

C、1

D、0

2、化简：

1）23481； （2）a2b4c2； （3）3a16ab216b324x3（4b9a2 （4）（a+b）ab

3、把下列各式分母有理化

（1）

331 （2）

14332

（3）mnmn(mn) （4）

11x1x2x1x2

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第四讲 二次函数

在本讲中对二次函数的讲解分两部分：一部分是二次函数的基础知识；另一部分是补充区间上的二次函数的相关知识。

一．二次函数基础知识复习

1．二次函数的一般形式： yax2bxc(a0) 大致图象：

a>0 a<0

y y

o 0 x

开口向上 开口向下

2yaxbxc(a0)经配方得： 2．二次函数

y b2b24acya(x)2a4a

通过二次函数顶点式方程可以得出该抛物线的对称轴，顶点（函数最值）。

3．二次函数的平移：

右

在这个内容可结合具体例子讲解： 例 1

分析：首先应将式子都化成顶点式（可以师生共

同探讨）

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二．区间上二次函数的最值

2yaxbxc(a0)经配方得： 在初中阶段，同学们会通过对

b2b24acya(x)2a4a

求出函数y的最值。

而在高中数学学习中，会涉及到在函数的定义域上某个区间内求函数的最值，所以在这一讲中，区间上二次函数的最值问题是一个很重要的内容。

例2. 已知f(x)x26x1

（1）当2x2时，求f(x)的最值； （2）当4x6时，求f(x)的最值； （3）当2x5时，求f(x)的最值。 解：配方得f(x)(x3)28

（1）最小值为f(2)7，最大值为f(2)17 （2）最小值为f(4)7，最大值为f(6)1 （3）最小值为f(3)8，最大值为f(5)4

x

y 对称轴x=3

★课堂探究：

2已知函数yxax1(aR)，若x[2,4]，求：该函数的最大值、最小值。

习 题 四

21. 已知f(x)x2x，试根据以下条件求f(x)的最大、小值。

（1）x取任意实数 （2）1x0 （3）2x3 （4）0x4

2．试说明函数y=3x+6x+9怎样移动可以变成函数y=3x-6x-9. 3.探究题：

2y2x4x1，若x[t,t1](tR)求：该函数的最大值、最小值。 已知：函数

2

2

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第五讲 根的分布

我们知道对于一元二次方程方程ax+bx+c=0 (a≠0)，△=b-4ac称为该方程的根的判别式．

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即

2

2

当△=0时，方程有两个相等的实数根，即

当△＜0时，方程无实数根．

以上通过根的判别式,我们可以准确判断出根的存在与否,或求出方程的准确根.但在以后高中学习数学的时候,我们也会遇到探讨根的分布问题,在学完二次函数的知识后,我们可以借据这个工具来探讨根的分布.

2

例1.已知一元二次方程mx+x+1=0有一根在0到1之间,求m 的取值范围.

2

解:令函数f(x)= mx+x+1=0.依题意得:

m≠0

△ 》0

解得:m<-2. f(0)f(1)<0 例2.一元二次方程x4xa0有两个实根，一个比3大，一个比3小，求a的取值范围。

解一：由20 解得：a3

(x13)(x23)02解二：设f(x)x4xa，则如图所示，只须f(3)0，解得a3 yx=203x 例3. 已知一元二次方程x(a9)xa5a60一个根小于0，另一根大于2，求a的取值范围。

12 222 2008-7-11 y02x 解：如图，设f(x)x2(a29)xa25a6 2a3f(0)082a则只须，解之得 ∴ 83f(2)01a3 习 题 五

1. 解不等式

（1）xx120 （2）x2x80 （3）xx20 （4）xx200

22（5）(2x1)(x3) （6）x10

22222（7）x40 （8）x2x10

22. 求证：方程(x1)(x2)k（k0）有两个实根，一个比1大，一个比1小。

22

3. 一元二次方程7x(m13)xmm20两根x1、x2满足0x11x22 求m取值范围。

22 13

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第六讲 平面几何 立体几何初步

立体几何初步、平面解析几何作为高中必修内容是放在必修内容第二册，在这部分内容中将会涉及到一些相关知识点：

如立体几何中求异面直线夹角、二面角的平面角都会涉及到余弦定理；在一些计算中还会涉及到正弦定理，钝角、直角的三角函数值，三角形面积公式S1absinC等（这些内2容在必修4中将会讲到）。

在平面解析几何中，也会涉及到直线与圆的位置关系，求相交弦长（垂径定理及逆定理），两点间的距离公式，轨迹问题等。

而这些内容在初中阶段是被删除或被弱化的内容，相反这些内容在高中学习新课时又是比较重要的。

一．立体几何

显然，在学习立体几何中也会涉及到全等、相似等，这些内容在立体几何中运用都比较简单直接，初中学习的内容是可以对接高中立体几何学习的，在此就不在叙述了。

立体几何计算中三角函数基本知识重、难点： (1). 钝角、直角的三角函数值

1absinC 2abc2R (3). 正弦定理

sinAsinBsinC(2). 三角形面积公式S(4). 余弦定理abc2bccosA

例1 .计算：

222sin120tan135cos150

sin2135cos120cot150331sin60tan45cos3022 13 解：原式sin245cos60cot303213()2322例2. ABC中ABBC2，面积为3，求B大小。

解：由S12S3acsinB，得sinB，故B60或120 2ac2例3 .ABC中，B45，AC4，A75，则ABC外接圆半径为 ；

AB 。

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2008-7-11 ABC 解：由正弦定理，ACAB4AB2R，即2R sinBsinCsin45sin60∴ R22 AB26 222例4. ABC中，ABc，BCa，ACb，若a、b、c满足ababc，求C大小。

解：由abcab可知cosC ∴ C120

例5. ABC三边a、b、c与面积S满足Sc2(ab)2，求C的余弦值。

解：依题意，

222a2b2c22abab1 2ab21absinCc2a2b22ab2ab2abcosC 222∴ sinC4(1cosC) 代入sinCcosC1，得：16(1cosC)2cos2C1

15 1715又 ∵ 0C180 ∴ cosC1 ∴ cosC

172∴ 17cosC32cosC150 ∴ cosC1或

二．平面解析几何

1. 轨迹定义

平面解析几何中求椭圆,双曲线,抛物线方程首先就会涉及到求轨迹问题,这对于刚进入这部分内容的高一新生而言,对轨迹的了解是很欠缺的.

轨迹:满足一定约束条件点的全体(集合).

例6.回答满足下列条件点的轨迹:

(1).到角两边的距离相等点的轨迹. 角平分线

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(2).到线段两端点距离相等的点的轨迹.

垂直平分线

(3).到定点距离相等的点的轨迹. 圆

2.两点间的距离公式

已知A、B两点的坐标分别是(x1,y1), (x2,y2), 求A, B两点间的距离.

Y B

C A

X

∣AC∣=∣x1- x2∣ ∣BC∣=∣y1- y2∣ 有勾股定理:

22

∣AB∣= ∣ x1- x2∣+∣y1- y2∣

√例7. 函数y=3x+6,y=-2x+4,y=0的图象分别相交于A,B,C三点,求该三角形的周长.

y

A C x

B

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解:联立方程分别解出A,B,C三点的坐标.然后运用上面的公式求解. 过程略.

3. 直线与圆

(1). 直线与圆的位置关系复习:

d 圆心到直线的距离为d.

d>R 直线与圆相离

dd=R 直线与圆相切

（2）. 垂径定理及逆定理

垂径定理：过圆心与弦中点的直线垂直于弦；

逆定理 ：过圆心且垂直于弦的直线平分弦长。

R A d B 我们可以根据该定理求出直线与圆相交的相交弦长：

22 ∣AB∣= 2 R-d

(3)一次函数图象（直线）与二次函数图象（抛物线、曲线）的交点问题。

事实上，判断直线与曲线的交点问题，其核心知识点就是一元二次方程的判别式。

2

已知一次函数y=a1x+b1 (a≠0)与二次函数y=a2x+b2x+c (a≠0)的图象交点： 联立方程： y=a1x+b1

22

消去y得：Ax+Bx+C=0 则△=B-4AC

2

y=a2x+b2x+c

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即一次函数y=a1x+b1 (a≠0)与二次函数

2

y=a2x+b2x+c (a≠0)的图象有两个交点；

当△=0时，方程有两个相等的实数根，即一次函数y=a1x+b1 (a≠0)与二次函数

2

y=a2x+b2x+c (a≠0)的图象有一个交点；

2

当△＜0时，方程无实数根．即一次函数y=a1x+b1 (a≠0)与二次函数y=a2x+b2x+c (a

≠0)的图象无交点。

√ 17

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课堂探究

2

已知一次函数y=mx+1,二次函数y=x+3x+2.当它们的图象满足下列条件时，求m的取值范围：

（1）.一个交点; (2). 两个交点; (3).无交点. 本讲说明 : 由于初中数学几何与高中数学几何主要是在相关的解题方法,计算公式方面衔接不是 很紧密,所以在本讲中重点补充了几何计算中三角函数基本知识,和将在平面解析几何中要 了解的基本知识点(如轨迹定义, 两点间的距离公式, 直线与圆, 直线与曲线的交点问 题). 本讲的目的主要是让学生对相关公式,方法的记忆,所以本讲没有补充相关习题.

参考资料:

<<中学数学课程标准>>

初中数学教材(北师大版) 高中数学新教材(人教版) 人民教育出版社网站相关素材.

由于我本人目前对新课标理解还不够深入,加之时间仓促,在<<数学学科初高中教材衔接知识点讲义>>编写中难免存在一些不足和欠缺之处,请同仁指正.谢谢!

陈永宏

2008年7月13日

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