观山湖区高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学

观山湖区高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，﹣），则满足f（x）=27的x的值是（ ） A．

B．﹣ C．3

D．﹣3

2． 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如．．．．．．．．下： 性别 是否需要志愿者 需要 不需要 22男 40 160 女 30 270 n(adbc)500(4027030160)229.967 由K算得K(ab)(cd)(ac)(bd)20030070430附表：

P(K2k) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828参照附表，则下列结论正确的是（ ）

①有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”； ．

②有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”； ．③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； ④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

3． Sn是等差数列{an}的前n项和，若3a8－2a7＝4，则下列结论正确的是（ ） A．S18＝72 C．S20＝80 4． 设集合Ax|（ ）

A．a1 B．1a2 C.a2 D．1a2

B．S19＝76 D．S21＝84

x30,集合Bx|x2a2x2a0,若 AB,则的取值范围 x1第 1 页，共 15 页

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5． 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） A．3

B．

C．

D．

6． 若动点A，B分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（ ） A．3

B．2

C．3

D．4

7． 一个几何体的三个视图如下，每个小格表示一个单位, 则该几何体的侧面积为（ ）

A.4 能力．

8． 在ABC中，sinAsinBsinCsinBsinC，则A的取值范围是（ ）1111] A．(0,

222B.25 C. 5 D. 225

【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的侧面积等基础知识，意在考查学生空间想象能力和计算

] B．[,) C. (0,] D．[,) 66339． 某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见，从中抽取1个容量为50的样本，采用系统抽样法，则分段间隔为（ ）1111]

A．10 B．15 C．20 D．30

10．已知正方体的不在同一表面的两个顶点A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3），则正方体的棱长等于（ ）

A．4 B．2 C． D．2 11．如图在圆O中，AB，CD是圆O互相垂直的两条直径，现分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个 圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）

A

D

O B

C

A．

111111 B． C． D．

2242

【命题意图】本题考查几何概型概率的求法，借助圆这个载体，突出了几何概型的基本运算能力，因用到圆的

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几何性质及面积的割补思想，属于中等难度． 12．函数y=sin（2x+A．x=﹣

B．x=﹣

）图象的一条对称轴方程为（ ） C．x=

D．x=

二、填空题

13．已知z，ω为复数，i为虚数单位，（1+3i）z为纯虚数，ω=

，且|ω|=5

，则复数ω= ．

14．函数yfx图象上不同两点Ax1,y1,Bx2,y2处的切线的斜率分别是kA，kB，规定

A,BkAkBAB32（AB为线段AB的长度）叫做曲线yfx在点A与点B之间的“弯曲度”，给

出以下命题：

①函数yxx1图象上两点A与B的横坐标分别为1和2，则A,B3； ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B是抛物线yx1上不同的两点，则A,B2；

2④设曲线ye（e是自然对数的底数）上不同两点Ax1,y1,Bx2,y2,且x1x21，若tA,B1x恒成立，则实数t的取值范围是,1.

其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）

15．函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣2，则f（1）+f′（1）= ．

16．圆心在原点且与直线xy2相切的圆的方程为_____ .

【命题意图】本题考查点到直线的距离公式，圆的方程，直线与圆的位置关系等基础知识，属送分题. 17．观察下列等式 1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49 …

照此规律，第n个等式为 ．

x2x,x0,18．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】若函数fx{x在其定义域上恰有两

lnx,x0a个零点，则正实数a的值为______．

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三、解答题

19．已知f（x）=x2﹣3ax+2a2．

（1）若实数a=1时，求不等式f（x）≤0的解集； （2）求不等式f（x）＜0的解集．

20．（本小题满分10分） 已知函数f(x)|xa||x2|.

（1）当a3时，求不等式f(x)3的解集； （2）若f(x)|x4|的解集包含[1,2]，求的取值范围.

21．已知a＞0，b＞0，a+b=1，求证： （Ⅰ）++

≥8；

（Ⅱ）（1+）（1+）≥9．

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22．已知等比数列（1）求数列（2）设等差数列

中，。

的通项公式;

中，

，求数列

的前项和

.

23．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M． （1）求M；

（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．

24．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点． （I）求证：EF⊥平面PAD；

（II）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小．

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观山湖区高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】A

α

【解析】解：设幂函数为y=x，因为图象过点（﹣2，﹣），所以有33

所以幂函数解析式为y=x﹣，由f（x）=27，得：x﹣=27，所以x=．

=（﹣2）α，解得：α=﹣3

故选A．

2． 【答案】D

【解析】解析：本题考查性检验与统计抽样调查方法．

由于9.9676.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，②正确；该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好，④正确，选D． 3． 【答案】

【解析】选B.∵3a8－2a7＝4， ∴3（a1＋7d）－2（a1＋6d）＝4，

18×17d17即a1＋9d＝4，S18＝18a1＋＝18（a1＋d）不恒为常数．

2219×18d

S19＝19a1＋＝19（a1＋9d）＝76，

2同理S20，S21均不恒为常数，故选B. 4． 【答案】A 【解析】

考

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点：集合的包含关系的判断与应用.

【方法点晴】本题主要考查了集合的包含关系的判定与应用，其中解答中涉及到分式不等式的求解，一元二次不等式的解法，集合的子集的相关的运算等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想、分类讨论思想的应用，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中正确求解每个不等式的解集是解答的关键. 5． 【答案】B 则F（，0），

【解析】解：依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，

．

=3

，

依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|， 则点P到点M（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和， d=|PF|+|PM|≥|MF|=

=

．

即有当M，P，F三点共线时，取得最小值，为故选：B． 想．

6． 【答案】A

【点评】本题主要考查抛物线的定题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思

【解析】解：∵l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0是平行直线， ∵直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0， ∴两直线的距离为

=

，

+

∴可判断：过原点且与直线垂直时，中的M到原点的距离的最小值

∴AB的中点M到原点的距离的最小值为故选：A

【点评】本题考查了两点距离公式，直线的方程，属于中档题．

7． 【答案】B

8． 【答案】C 【

解

析

】

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考点：三角形中正余弦定理的运用. 9． 【答案】D 【解析】

试题分析：分段间隔为考点：系统抽样 10．【答案】A

，

【解析】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3）， ∴AB是正方体的体对角线，AB=设正方体的棱长为x， 则故选：A．

，解得x=4．

∴正方体的棱长为4，

150050，故选D. 30【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式，以及正方体的体积的有关知识，属于基础题．

11．【答案】C

向OA，OC作垂线，则此时构成一个以1为边长的正方形，则这个正方形内的阴影部分面积为

【解析】设圆O的半径为2，根据图形的对称性，可以选择在扇形OAC中研究问题，过两个半圆的交点分别

1，扇形2OAC的面积为，所求概率为P212．【答案】A

【解析】解：对于函数y=sin（2x+

111． 2），令2x+=kπ+，k∈z，

求得x=π，可得它的图象的对称轴方程为x=π，k∈z， 故选：A．

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【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．

二、填空题

13．【答案】 ±（7﹣i） ．

．

【解析】解：设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴ 又ω=

=．

=

，|ω|=

，∴

2

把a=3b代入化为b=25，解得b=±5，∴a=±15．

∴ω=±

故答案为±（7﹣i）．

=±（7﹣i）．

【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．

14．【答案】②③ 【解析】

试题分析：①错：A(1,1),B(2,5),|AB|17,|kAkB|7,(A,B)②对：如y1；③对；(A,B)④错；(A,B)|2xA2xB|(xAxB)(xx)x2222A22B273；17

21(xAxB)2；

|ex1ex2|(x1x2)(ee)2x1|ex1ex2|1(ee)x1x22，

1(ex1ex2)211111,t因为恒成立，故t1.故答案为②③.111] x1x2x1x22(A,B)|ee|(ee)(A,B)考点：1、利用导数求曲线的切线斜率；2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题. 15．【答案】 4 ．

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【解析】解：由题意得f′（1）=3，且f（1）=3×1﹣2=1 所以f（1）+f′（1）=3+1=4． 故答案为4．

【点评】本题主要考查导数的几何意义，要注意分清f（a）与f′（a）．

2216．【答案】xy2

【解析】由题意，圆的半径等于原点到直线xy2的距离，所以rd

|002|2，故圆的方程为2x2y22.

17．【答案】 n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2 ．

【解析】解：观察下列等式 1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49 …

等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2 左边的式子的项数与右边的底数一致， 每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，

照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2， 故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2

【点评】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．

18．【答案】e

x2xx0【解析】考查函数fx{，其余条件均不变，则： axlnx当x⩽0时,f（x）=x+2x，单调递增， f（−1）=−1+2−1<0,f（0）=1>0，

由零点存在定理,可得f（x）在（−1,0）有且只有一个零点； 则由题意可得x>0时,f（x）=ax−lnx有且只有一个零点，

lnx有且只有一个实根。 xlnx1lnx令gx， ,g'x2xx即有a第 11 页，共 15 页

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当x>e时,g′（x）<0,g（x）递减; 当00,g（x）递增。 即有x=e处取得极大值,也为最大值,且为

1， e如图g（x）的图象,当直线y=a（a>0）与g（x）的图象

1. e回归原问题，则原问题中ae.

只有一个交点时,则a

点睛： （1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值．

（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）当a=1时，依题意得x﹣3x+2≤0

2

因式分解为：（x﹣2）（x﹣1）≤0， 解得：x≥1或x≤2． ∴1≤x≤2．

不等式的解集为{x|1≤x≤2}．

22

（2）依题意得x﹣3ax+2a＜0

∴（x﹣a）（x﹣2a）＜0… 对应方程（x﹣a）（x﹣2a）=0 得x1=a，x2=2a 当a=0时，x∈∅．

当a＞0时，a＜2a，∴a＜x＜2a； 当a＜0时，a＞2a，∴2a＜x＜a；

综上所述，当a=0时，原不等式的解集为∅； 当a＞0时，原不等式的解集为{x|a＜x＜2a}； 当a＜0时，原不等式的解集为{x|2a＜x＜a}；

20．【答案】（1）{x|x1或x8}；（2）[3,0].

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【解析】

试

2x5,x22x3，当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1； 题解析：（1）当a3时，f(x)1,2x5,x3当2x3时，f(x)3，无解；当x3时，由f(x)3得2x53，解得x8，∴f(x)3的解集为{x|x1或x8}.

（2）f(x)|x4||x4||x2||xa|，当x[1,2]时，|xa||x4|4xx22， ∴2ax2a，有条件得2a1且2a2，即3a0，故满足条件的的取值范围为[3,0]. 考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式恒成立问题. 21．【答案】

【解析】证明：（Ⅰ）∵a+b=1，a＞0，b＞0， ∴++=2（∴++

=

=2（

）=2（

）

）+4≥4+4=8，（当且仅当a=b时，取等号）， ≥8；

，

（Ⅱ）∵（1+）（1+）=1+++由（Ⅰ）知， ++∴1+++

≥9，

≥8，

∴（1+）（1+）≥9．

22．【答案】

【解析】

解：（1）设等比数列由已知，得

的公比为

，解得

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（2）由（1）得设等差数列

23．【答案】

【解析】（Ⅰ）解：f（x）=|x+1|+|x﹣1|=当x＜﹣1时，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1； 当﹣1≤x≤1时，f（x）=2＜4； 当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2． 所以M=（﹣2，2）．…

（Ⅱ）证明：当a，b∈M，即﹣2＜a，b＜2，

的公差为

，则

，解得

22222222

∵4（a+b）﹣（4+ab）=4（a+2ab+b）﹣（16+8ab+ab）=（a﹣4）（4﹣b）＜0， 22

∴4（a+b）＜（4+ab），

∴2|a+b|＜|4+ab|．…

【点评】本题考查绝对值函数，考查解不等式，考查不等式的证明，解题的关键是将不等式写成分段函数，利用作差法证明不等式．

24．【答案】

【解析】解：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD， ∴AB⊥平面PAD， ∵E、F为PA、PB的中点， ∴EF∥AB，

∴EF⊥平面PAD； （II）解：过P作AD的垂线，垂足为O， ∵平面PAD⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD． 取AO中点M，连OG，EO，EM， ∵EF∥AB∥OG，

∴OG即为面EFG与面ABCD的交线

又EM∥OP，则EM⊥平面ABCD．且OG⊥AO， 故OG⊥EO

∴∠EOM 即为所求

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在RT△EOM中，EM=∴tan∠EOM=

OM=1

，故∠EOM=60°

∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是60°．

【点评】本题主要考察直线与平面垂直的判定以及二面角的求法．解决第二问的难点在于找到两半平面的交线，进而求出二面角的平面角．

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