三角恒等变换知识点总结

三角恒等变换专题

一、知识点总结

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin； ⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin； ⑸tantantan  （tantantan1tantan）；

1tantan

⑹tantantan  （tantantan1tantan）．

1tantan2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin22sincos．1sin2sincos2sincos(sincos) ⑵cos2cos2222sin22cos2112sin2

,1cos2sin2升幂公式1cos2cos222cos211cos22，sin． 降幂公式cos222 ⑶tan2

2tan．

1tan2万能公式:αα1tan22;cosα 2sinα αα1tan21tan2222tan3、 半角公式:α1cosαα1cosαcos;sin 2222

tanα1cosαsinα1cosα21cosα1cosαsinα

（后两个不用判断符号，更加好用）

4、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 yAsin(x)B形式。sincos5．（1）积化和差公式 sin·cos=

22sin，其中tan． 11[sin(+)+sin(-)] cos·sin=[sin(+)-sin(-)] 22第 1 页 共 5 页

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cos·cos=

11[cos(+)+cos(-)] sin·sin= -[cos(+)-cos(-)] 22（2）和差化积公式 sin+sin=

22 22cos+cos=2coscos-cos= -2sincossin22 22 12tan+ cot= tan- cot= -2cot2 sincossin21+cos=2cos1±sin=(sin22sincossin-sin=2cossin

2 1-cos=2sin22

2cos2)

2

6。（1）升幂公式 1+cos=2cos1±sin=(sinsin=2sin22 1-cos=2sin22

2cos2) 1=sin2+ cos22

2cos2

（2）降幂公式

1cos2

21sin2+ cos2=1 sin·cos=sin2

2sin21cos222

cos

7、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：

（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，

倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①2是的二倍；4是2的二倍；是

的二倍；是的二倍； 22430o ；cos ； ②1545306045；问：sin21212ooooo③()；④

42(4)；

⑤2()()(4)(4)；等等

（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常

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化切为弦，变异名为同名。

（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的

代换变形有： 1sin2cos2tancotsin90otan45o

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用

降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式

1cos常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；

（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。 如：

1tan1tan_______________； ______________；

1tan1tantantan____________；1tantan___________； tantan____________；1tantan___________；

2tan ；1tan2 ；

tan20otan40o3tan20otan40o ；

sincos = ；

（其中asinbcos = ；） tan ；

1cos ；1cos ；

（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；

基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值

与特殊角的三角函数互化。

oo如：sin50(13tan10) ；

tancot 。

24coscoscos ；

99935coscoscos ；推广：

777246coscoscos ；推广：

777二、基础训练

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1．下列各式中，值为

1的是 2 A、sin15cos15 B、cos2

12sin212 C、

tan22.51cos30 D、

1tan222.522．已知sin()coscos()sin3，那么cos2的值为____ 53．

13的值是______

sin10sin80001a2a34．已知tan110a，求tan50的值（用a表示）甲求得的结果是，乙求得的结果是，对

2a13a甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______

21，tan()，那么tan()的值是_____ 5444126．已知0，且cos()，sin()，求cos()的值 229235．已知tan()7．求值sin50(13tan10) 8．已知

sincos21,tan()，求tan(2)的值

1cos239．已知A、B为锐角，且满足tanAtanBtanAtanB1，则cos(AB)＝_____

10．若(,)，化简321111cos2为_____ 222253(xR)的单调递增区间为___________ 2211．函数f(x)5sinxcosx53cosx12 12．化简：

2tan(x)sin2(x)442cos4x2cos2x13．若方程sinx3cosxc有实数解，则c的取值范围是___________. 14．当函数y2cosx3sinx取得最大值时，tanx的值是______ 15．如果fxsinx2cos(x)是奇函数，则tan= 16．求值：

31sin220________ 22sin20cos2017．若02且sinsinsin0，coscoscos0，求的值

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三、规范解题 1.. 已知α(

2.．化简sin2·sin2+cos2cos2-

1cos2·cos2. 23353，)，β(0，),cos(α－)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值．

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