平面几何基础知识

平面几何基础知识（基本定理、基本性质）

中线定理三线定理垂线定理角平分线定理线的交点重心：三角形的三条中线的交点垂心：三角形的三条高三角形四心线的交点内接圆 内心：三角形的角平分外心：三角形的三条中线的交点外接圆正弦定理三角定理余弦定理1.中线定理：设△ABC的边BC的中点为P,则有 ：

AB2AC22APBP，中线长：

222b2ca222222

22.垂线定理：AB⊥CD

AC2ADBCBD,

bc高线长：sinAcsinBbsinC

a3.角平分线定理：三角形的一个角的平分线对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

4.重心性质：设G为△ABC的重心，

（1）连结AG，并延长交BC于D,则AG:GB=2：1

1SSSS△ABC （2）△ABG△BCGACG3（3）BC23GB2CA23GB2AB23GC2

GA2GBGC2213ABBC22CA2

PA2PB2PC2GA2GB2GC23PG2（P为△ABC内任意一点） （4）三角形内到三顶点距离的平方和最小的点是重心，即

GA2GBGC22最小

（5）三角形内到三边距离之积最大的点是重心。 5.垂心性质：

（1）三角形任一顶点的距离等于外心到对边距离的两倍 （2）垂心关于△ABC的三边的对称点均在△ABC的外接圆上。 （3）△ABC的垂心为H,则△ABC,△ABH,△BCH,△ACH的外接圆是等圆。

6.内心的性质：设I为△ABC的内心，则： （1）I到△ABC三边的距离相等

（2）∠BIC=90°+∠A,∠AIC=90°+∠B,∠AIB=90°+∠C （3）∠A平分线交BC于D,交△ABC外接圆于点K,则

AIAKIKbc IDKIKDa1212127.外心性质：

（1）外心到三角形各顶点距离相等

（2）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外切圆半径之和。 8.梅涅劳斯定理

定理：一条直线与ABC的三边AB、BC、CA所在直线分别交于点D、E、F，且D、E、F均不是ABC的顶点，则有

ADBECF1．

DBECFA梅涅劳斯定理的逆定理

定理：在ABC的边AB、BC上各有一点D、E，在边AC的延长线

ADBECF1， 上有一点F，若

DBECFA 那么，D、E、F三点共线．

9.塞瓦定理

定理：在ABC内一点P，该点与ABC的三个顶点相连所在的三条直线分别交ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F，且D、E、F三点均不是ABC的顶点，则有

D B F P C A ADBECF1．

DBECFA

塞瓦定理的逆定理

E 定理：在ABC三边AB、BC、CA上各有一点D、E、F，且D、E、

ADBECF1，那么直线CD、AE、BFF均不是ABC的顶点，若

DBECFA

A 三线共点． 10.托勒密定理

定理：凸四边形ABCD是某圆的内接四边形，则有

AB·CD + BC·AD = AC·BD． 托勒密定理的逆定理

定理：如果凸四边形ABCD满足AB×CD + BC×AD = AC×BD，那么A、B、C、D四点共圆． 托勒密定理的推广

定理：如果凸四边形ABCD的四个顶点不在同一个圆上，那么就有

AB×CD + BC×AD > AC×BD

11.西姆松定理

定理：从ABC外接圆上任意一点P向BC、CA、AB或其延长线引垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线． 12.欧拉定理

定理：设ΔABC的重心、外心、垂心分别用字母G、O、H表示．则有G、O、H三点共线（欧拉线），且满足OH3OG．

D E D/ D B F P C A M E B C

13.蝴蝶定理

定理：如图，过圆中弦AB的中点M任引两弦CD和EF，连接CF和ED，分别交AB于P、Q，则PM = MQ．

C/E C / A QQ M P B

D / FF 解题方法：作辅助线、辅助圆、线段、角度间的转化、面积法、三

角法、解析法、向量法等。