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勾股定理的实际应用题

来源：百家汽车网

18．如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？

19．（2007•义乌市）在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．

（1）如图1，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处；

（2）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处；

（3）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA1=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．

20．（2013•贵阳模拟）请阅读下列材料：

问题：如图1，圆柱的底面半径为1dm，BC是底面直径，圆柱高AB为5dm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：

路线1：高线AB+底面直径BC，如图1所示．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图2所示．（结果保留π）

（1）设路线1的长度为L1，则

= _________ ．设路线2的长度为L2，则

= _________ ．所以选择路

线 _________ （填1或2）较短．

（2）小明把条件改成：“圆柱的底面半径为5dm，高AB为1dm”继续按前面的路线进行计算．此时，路线1：_________ ．路线2：

= _________ ．所以选择路线 _________ （填1或2）较短．

（3）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2dm，高为hdm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短．

21．如图，正方体边长为30cm，B点距离C点10cm，有一只蚂蚁沿着正方体表面从A点爬到B点，其爬行速度为每秒2cm，则这只蚂蚁最快多长时间可爬到B点？

22．（2013•盐城模拟）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B（B为棱的中点），那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？

23．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．若AB=4，BC=4，CC1=5，

（1）请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）求蚂蚁爬过的最短路径的长．

一．选择题（共5小题）二．解答题（共22小题） 6．（2013•徐州模拟）如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．（1）求港口A到海岛B的距离；

（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？

7．（2012•古冶区二模）有一艘渔轮在海上C处作业时，发生故障，立即向搜救中心发出救援信号，此时搜救中心的两艘救助轮救助一号和救助二号分别位于海上A处和B处，B在A的正东方向，且相距100里，测得地点C在A的南偏东60°，在B的南偏东30°方向上，如图所示，若救助一号和救助二号的速度分别为40里/小时和30里/小时，问搜救中心应派那艘救助轮才能尽早赶到C处救援？（

≈1.7）

8．如图，要在高AC为2米，斜坡AB长8米的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米？

9．如图，一块三角形铁皮，其中∠B=30°，∠C=45°，AC=12

cm．求△ABC的面积．

10．如图，一架长2.5米的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙AC的距离为0.7米．（1）若梯子的顶端A沿墙AC下滑0.9米至A1处，求点B向外移动的距离BB1的长；（2）若梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是点B向外移动的距离的一半，试求梯子沿墙AC下滑的距离是多少米？

11．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，他们同时发现C处有一筐水果，一只猴子从D处往上爬到树顶A处，又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高AB．

1．（2010•）如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（）

A． 3 m

B． 5m

C． 7m

D． 9m

2．（2007•茂名）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）

12≤a≤15 5≤a≤12 5≤a≤13 A． 1 2≤a≤13 B． C． D．

3．（2012•乐山模拟）一船向东航行，上午8时到达B处，看到有一灯塔在它的南偏东60°，距离为72海里的A处，上午10时到达C处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（） A． 1 8海里/小时 B． C． 36海里/小时 D．海里/小时海里/小时 4．（2010•罗湖区模拟）在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，截图如图所示，如果油面宽AB=8m，那么油的最大深度是（）

A． 1 m B． 2m C． 3m D． 4m

5．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（）

3≤h≤4 2≤h≤4 A． 3 ＜h＜4 B． C． D． h=4

12．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？

13．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？

（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？

14．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD=100km．

（1）台风中心经过多长时间从B移动到D点？

（2）已知在距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上6：00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？

15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．一辆“小汽车”在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C处，过了6秒后，测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由．

16．某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形，上方是半径为1米的半圆形．货车司机小王开着一辆高为3.0米，宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由．

17．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：△ABC中，∠BAC=90°）．请解答：

（1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是 _________ ．（2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是 _________ ，请说明理由．

（3）如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠BCD=90°，BC=2AD，分别以AB、CD、AD为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的数量关系式为 _________ ，请说明理由．

24．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？

25．如图所示，圆柱形的玻璃容器，高18cm，底面周长为24cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径．

26．如图，一正方形的棱长为2，一只蚂蚁在顶点A处，在顶点G处有一米粒．（1）问蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是多少？（2）在蚂蚁刚要出发时，突然一阵大风将米粒吹到了GF的中点M处，问蚂蚁要吃到这粒米的最短距离又是多少？

27．如图所示，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是多少米？（结果不取近似值）

2014年3月352449109的初中数学组卷

参与试题解析

一．选择题（共5小题） 1．（2010•）如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（）

A． 3 m B． 5m C． 7m D． 9m

考点：勾股定理的应用．专题：应用题；压轴题．

分析：为了不让羊吃到菜，必须＜等于点A到圆的最小距离．要确定最小距离，连接OA交半圆于点E，即AE

是最短距离．在直角三角形AOB中，因为OB=6，AB=8，所以根据勾股定理得OA=10．那么AE的长即可解答．

解答：解：连接OA，交半圆O于E点，

在Rt△OAB中，OB=6，AB=8，

所以OA==10；

又OE=OB=6，

所以AE=OA﹣OE=4．

因此选用的绳子应该不大于4m，故选A．

点评：此题确定点到半圆的最短距离是难点．熟练运用勾股定理． 2．（2007•茂名）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）

A． 1 2≤a≤13

12≤a≤15 B．

5≤a≤12 C．

5≤a≤13 D．

考点：勾股定理的应用．专题：压轴题．

分析：最短距离就是饮料罐的高度，最大距离可根据勾股定理解答．解答：

解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：

=13．

即a的取值范围是12≤a≤13．故选A．

点评：主要是运用勾股定理求得a的最大值，此题比较常见，有一定的难度． 3．（2012•乐山模拟）一船向东航行，上午8时到达B处，看到有一灯塔在它的南偏东60°，距离为72海里的A处，上午10时到达C处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（） A． 1 8海里/小时 B． C． 36海里/小时 D．海里/小时海里/小时

考点：勾股定理的应用；方向角．专题：应用题．

分析：首先画图，构造直角三角形，利用勾股定理求出船8时到10时航行的距离，再求速度即可解答．解答：解：如图在Rt△ABC中，∠ABC=90°﹣60°=30°，AB=72海里，

故AC=36海里，BC=

=36

海里，

艘船航行的速度为36÷2=18海里/时．故选B．

点评：本题考查方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三

角形的问题，解决的方法就是作高线．

4．（2010•罗湖区模拟）在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，截图如图所示，如果油面宽AB=8m，那么油的最大深度是（）

A． 1 m B． 2m C． 3m D． 4m

考点：勾股定理的应用；垂径定理的应用．分析：本题是已知圆的直径，弦长求油的最大深度其实就是弧AB的中点到弦AB的距离，可以转化为求弦心距的

问题，利用垂径定理来解决．

解答：解：过点O作OM⊥AB交AB与M，交弧AB于点E．连接OA．

在Rt△OAM中：OA=5m，AM=AB=4m．

根据勾股定理可得OM=3m，则油的最大深度ME为5﹣3=2m．

故选B．

点评：考查了勾股定理的应用和垂径定理的应用，圆中的有关半径，弦长，弦心距之间的计算一般是通过垂径定

理转化为解直角三角形的问题．

5．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（）

3≤h≤4 2≤h≤4 A． 3 ＜h＜4 B． C． D． h=4

考点：勾股定理的应用．

分析：根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长为16﹣12=4cm；最短时

与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答进而求出露在杯口外的长度最短．

解答：解：①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16﹣12=4（cm）；

②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，底面对角线直径为5cm，高为12cm，

由勾股定理可得杯里面管长为=13cm，则露在杯口外的长度最长为16﹣13=3cm；

则可得露在杯口外的长度在3cm和4cm范围变化．故选B．

点评：本题考查了矩形中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出管最长和最短时在杯中所处的位置，然后计

算求解．

二．解答题（共22小题） 6．（2013•徐州模拟）如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．（1）求港口A到海岛B的距离；

（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？

考点：勾股定理的应用．专题：应用题．

分析：（1）作BD⊥AE于D，构造两个直角三角形并用解直角三角形用BD表示出CD和AD，利用DA和DC

之间的关系列出方程求解．

（2）分别求得两船看见灯塔的时间，然后比较即可．

解答：解：（1）过点B作BD⊥AE于D

在Rt△BCD中，∠BCD=60°，设CD=x，则BD=，BC=2x 在Rt△ABD中，∠BAD=45° 则AD=BD=，AB=BD= 由AC+CD=AD得20+x=x 解得：x=10+10 故AB=30+10

答：港口A到海岛B的距离为海里．

（2）甲船看见灯塔所用时间：乙船看见灯塔所用时间：所以乙船先看见灯塔．

小时小时

点评：此题考查的知识点是勾股定理的应用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，利用解直角三角形的相

关知识解答．

考点：勾股定理的应用．

分析：作CD⊥AB交AB延长线于D，根据勾股定理分别计算出AB和BC的长度，利用速度、时间、路程之间

的关系求出各自的时间比较大小即可．

解答：解：作CD⊥AB交AB延长线于D，

由已知得：∠EAC=60°，∠FBC=30°， ∴∠1=30°，∠2=90°﹣60°=30°， ∵∠1+∠3=∠2， ∴∠3=30°，

∴∠1=∠3， ∴AB=BC=100，

在Rt△BDC中，BD=BC=50， ∴DC=

∵AD=AB+BD=150， ∴在Rt△ACD中，AC=∴t1号=t2号=∵

==，

≈4.25，

=100

，

=50

，

＜4.25，

∴搜救中心应派2号艘救助轮才能尽早赶到C处救援．

点评：本题考查了勾股定理的运用、等腰三角形的判定和性质以及速度、时间、路程之间的关系．

8．如图，要在高AC为2米，斜坡AB长8米的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米？

考点：勾股定理的应用．

分析：根据题意，知还需要求出BC的长，根据勾股定理即可．解答：解：由勾股定理AB2=BC2+AC2，

得BC===2，

AC+BC=2+2（米）．答：所需地毯的长度为（2+2）米．

点评：能够运用数学知识解决生活中的实际问题．熟练运用勾股定理．

9．如图，一块三角形铁皮，其中∠B=30°，∠C=45°，AC=12

cm．求△ABC的面积．

考点：勾股定理的应用；三角形的面积；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．

分析：首先过A作AD⊥CB，根据∠C=45°，可以求出AD=DC，再利用勾股定理求出AD的长，再根据直角三角

形的性质求出AB的长，利用勾股定理求出BD的长，最后根据三角形的面积公式可求出△ABC的面积．

解答：解：过A作AD⊥CB，

∵∠C=45°， ∴∠DAC=45°， ∴AD=DC，设AD=DC=x，

则x2+x2=（12）2，解得：x=12， ∵∠B=30°， ∴AB=2AD=24，

∴BD=∴CB=12+12

，

+72．

=12

，

∴△ABC的面积=CB•AD=72

点评：此题主要考查了勾股定理的应用，以及直角三角形的性质，关键是熟练利用直角三角形的性质求出BD、

AD的长．

考点：勾股定理的应用．

分析：（1）根据题意可知∠C=90°，AB=2.5m，BC=0.7m，根据勾股定理可求出AC的长度，根据梯子顶端B沿

墙下滑0.9m，可求出A1C的长度，梯子的长度不变，根据勾股定理可求出B1C的长度，进而求出BB1的长度．

（2）可设点B向外移动的距离的一半为2x，则梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是x，根据勾股定理建立方程，解方程即可．

解答：解：（1）∵AB=2.5m，BC=O.7m，

∴AC==2.4m

∴A1C=AC﹣AA1=2.4﹣0.9=1.5m， ∴B1C=

∴BB1=B1C﹣BC=0.5m；

=2m，

（2）梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是x，则点B向外移动的距离的一半为2x，由勾股定理得：（2.4﹣x）2+（0.7+2x）2=2.52，解得：x=，

答：梯子沿墙AC下滑的距离是米．

点评：本题考查勾股定理的应用，在直角三角形里根据勾股定理，知道其中两边就可求出第三边，从而可求解．

考点：勾股定理的应用．

分析：在Rt△ABC中，∠B=90°，则满足AB2+BC2=AC2，BC=a（米），AC=b（米），AD=x（米），根据两只猴子

经过的路程一样可得10+a=x+b=15解方程组可以求x的值，即可计算树高=10+x．

解答：解：Rt△ABC中，∠B=90°，

设BC=a（米），AC=b（米），AD=x（米）则10+a=x+b=15（米）． ∴a=5（米），b=15﹣x（米）

又在Rt△ABC中，由勾股定理得：（10+x）2+a2=b2， ∴（10+x）2+52=（15﹣x）2，解得，x=2，即AD=2（米） ∴AB=AD+DB=2+10=12（米）答：树高AB为12米．

点评：本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到两只猴子行走路程相等的等量关系，并且正确地运

用勾股定理求AD的值是解题的关键．

考点：勾股定理的应用．

分析：地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AC与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求

得BC的长，地毯的长与宽的积就是面积．

解答：

解：由勾股定理，AC===12（m）．

则地毯总长为12+5=17（m），

则地毯的总面积为17×2=34（平方米），所以铺完这个楼道至少需要34×18=612元．

点评：正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．

（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？

考点：勾股定理的应用．专题：应用题．

分析：（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为C，若AC＞200则A城不受影响，

否则受影响；（2）点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AC⊥BF，则C是DG的中点，

在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．

解答：解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，

在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，则AC=160km，因为160＜200，所以A城要受台风影响；

（2）设BF上点D，DA=200千米，则还有一点G，有 AG=200千米．

因为DA=AG，所以△ADG是等腰三角形，

因为AC⊥BF，所以AC是BF的垂直平分线，CD=GC，在Rt△ADC中，DA=200千米，AC=160千米，由勾股定理得，CD=

=120千米，

则DG=2DC=240千米，

遭受台风影响的时间是：t=240÷40=6（小时）．

点评：此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂．

14．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD=100km．

（1）台风中心经过多长时间从B移动到D点？

考点：勾股定理的应用．

分析：（1）首先根据勾股定理计算BD的长，再根据时间=路程÷速度进行计算；

（2）根据在30千米范围内都要受到影响，先求出从点B到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间=路程÷速度计算，然后求出时间段即可．

解答：

解：（1）在Rt△ABD中，根据勾股定理，得BD===240km，

所以，台风中心经过240÷15=16小时从B移动到D点，答：台风中心经过16小时时间从B移动到D点；

（2）如图，∵距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响， ∴BE=BD﹣DE=240﹣30=210km，BC=BD+CD=240+30=270km， ∵台风速度为15km/h，

∴210÷15=14时，270÷15=18， ∵早上6：00接到台风警报， ∴6+14=20时，6+18=24时，

∴他们要在20时到24时时间段内做预防工作．

点评：本题考查了勾股定理的运用，此题的难点在于第二问，需要正确理解题意，根据各自的速度计算时间，然

后进行正确分析．

考点：勾股定理的应用．专题：计算题．

分析：由题意知，△ABC为直角三角形，且AB是斜边，已知AB，AC根据勾股定理可以求BC，根据BC的长

度和时间可以求小汽车在BC路程中的速度，若速度大于70千米/时，则小汽车超速；若速度小于70千米/时，则小汽车没有超速．

解答：解：由题意知，AB=130米，AC=50米，

且在Rt△ABC中，AB是斜边，根据勾股定理AB2=BC2+AC2，可以求得：BC=120米=0.12千米，

且6秒=所以速度为

时，

=72千米/时，

故该小汽车超速．

答：该小汽车超速了，平均速度大于70千米/时．

点评：本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中准确的求出BC的长度，并计算小汽车的行驶速度是解题

的关键．

考点：勾股定理的应用．专题：应用题．

分析：根据题中的已知条件可将BB′的长求出，和卡车的高进行比较，若门高低于卡车的高则不能通过否则能通过．解答：解：设BB′与矩形的宽的交点为C，

∵AB=1米，AC=0.8米，∠ACB=90°，

∴BC===0.6米，

∵BB′=BC+CB′=2.3+0.6=2.9＜3.0， ∴不能通过．

点评：考查了勾股定理的应用，本题的关键是建立数学模型，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

（1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是 S1+S2=S3 ．（2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是 S1+S2=S3 ，请说明理由．

（3）如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠BCD=90°，BC=2AD，分别以AB、CD、AD为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的数量关系式为 S1+S2=S3 ，请说明理由．

考点：勾股定理的应用．专题：探究型．

分析：（1）利用直角△ABC的边长就可以表示出等边三角形S1、S2、S3的大小，满足勾股定理．

（2）利用直角△ABC的边长就可以表示出半圆S1、S2、S3的大小，满足勾股定理．

解答：解：设直角三角形ABC的三边AB、CA、BC的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2

（1）S1+S2=S3，证明如下：

∵S3=

，S1=，S2=

∴S1+S2=

（2）S1+S2=S3．证明如下： ∵S3=∴S1+S2=

，S1=+

，S2==

=S3； =S3；

（3）过D点作DE∥AB，交BC于E，设梯形的边AB、DC、AD的长分别为a、b、c，可证EC=AD=c，DE=AB=a，

∠EDC=180°﹣（∠DEC+∠BCD）=180°﹣（∠ABC+∠BCD）=90°，则c2=a2+b2

∵S1=a2、S2=b2、S3=c2，表示，则S1+S2=S3．故答案为：S1+S2=S3；S1+S2=S3；S1+S2=S3．

点评：考查了三角形、正方形、圆的面积的计算以及勾股定理的应用．

考点：勾股定理的应用．专题：计算题．

分析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m，也就是两树树梢之间的距离是13m，两

再利用时间关系式求解．

解答：解：如图所示：

根据题意，得

AC=AD﹣BE=13﹣8=5m，BC=12m．根据勾股定理，得

AB==13m．

则小鸟所用的时间是13÷2=6.5（s）．

答：这只小鸟至少6.5秒才可能到达小树和伙伴在一起．

点评：此题主要考查勾股定理的运用．关键是构造直角三角形，同时注意：时间=路程÷速度． 19．（2007•义乌市）在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．

（1）如图1，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处；

（2）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处；

（3）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA1=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．

考点：平面展开-最短路径问题．专题：压轴题．

分析：将各图展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理解答．解答：解：

（1）

（2）画图分两种情况： ①当横向剪开时：②当竖向剪开时：

∵，∴最短路程为cm．

（3）如图所示：

连接AA1，过点O作OD⊥AA1于点D，

；

，，

在Rt△ADO和Rt△A1DO中， ∵OA=OA1，

∴AD=A1D，∠AOD=∠AOA1=60°， ∴AD=OAsin60°=4×

，

∴AA1=2AD=4，

∴所求的最短的路程为AA1=

．

点评：此题考查了同学们的空间想象能力，同时要求同学们能将立体图形侧面展开，有一定难度． 20．（2013•贵阳模拟）请阅读下列材料：

问题：如图1，圆柱的底面半径为1dm，BC是底面直径，圆柱高AB为5dm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：

路线1：高线AB+底面直径BC，如图1所示．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图2所示．（结果保留π）

（1）设路线1的长度为L1，则1或2）较短．

（2）小明把条件改成：“圆柱的底面半径为5dm，高AB为1dm”继续按前面的路线进行计算．此时，路线1：121 ．路线2：

= 1+25π2 ．所以选择路线 1 （填1或2）较短．

= 49 ．设路线2的长度为L2，则

= 25+π2 ．所以选择路线 2 （填

（3）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2dm，高为hdm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短．

考点：平面展开-最短路径问题．

分析：（1）根据勾股定理易得路线l22=AC2=高2+底面周长一半2；路线1：l12=（高+底面直径）2；让两个平方比

较，平方大的，底数就大．

（2）根据勾股定理易得路线l22=AC2=高2+底面周长一半2；路线1：l12=（高+底面直径）2；让两个平方比较，平方大的，底数就大．

（3）根据（1）得到的结论让两个代数式分三种情况进行比较即可．

解答：解：（1）∵l12=72=49，

=AC2=AB2+BC2=52+（5π）2=25+25π2， 49＞25+25π2，

所以选择路线2较短；

（2）∵L12=（AB+BC）2=（1+10）2=121，

=1+25π2

∵l12﹣l22＞0，

∴l12＞l22，∴l1＞l2，所以要选择路线1较短．

（3）当圆柱的底面半径为2dm，高为hdm时， l22=AC2=AB2+

=h2+4π2，

l12=（AB+BC）2=（h+4）2，

l12﹣l22=（h+4）2﹣h2+（2π）2=4π2﹣8h﹣16=4[（π2﹣4）﹣2h]；当（π2﹣4）﹣2h=0时，即h=

时，l12=l22；

当h＞

时，l12＜l22；

当h＜

时，l12＞l22．

故答案为：49，25+π2，2；121，1+25π2，1．

点评：此题主要考查了平面展开最短路径问题，比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便，比较两个

数的平方，通常让这两个数的平方相减．注意运用类比的方法做类型题．

21．如图，正方体边长为30cm，B点距离C点10cm，有一只蚂蚁沿着正方体表面从A点爬到B点，其爬行速度为每秒2cm，则这只蚂蚁最快多长时间可爬到B点？

考点：平面展开-最短路径问题．

分析：将正方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．解答：解：∵ED=CB=10，

∴AD=AE+ED=40， ∵BD=10，

∴AB==50，

所需时间为50÷2=25s．

答：这只蚂蚁最快25s可爬到B点．

点评：立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．

考点：平面展开-最短路径问题．专题：计算题．

分析：要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解答：解：将长方体展开，连接A、B，

根据两点之间线段最短，AB==cm；

如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，相当于直角三角形的两条直角边分别是8n和6，根据勾股定理可知所用细线最短需要=

．

cm，

故用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B（B为棱的中点），那么所用细线最短需要如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要

．

点评：本题考查了平面展开﹣最短路径问题，是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股

定理解答即可．

23．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．若AB=4，BC=4，CC1=5，

（1）请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）求蚂蚁爬过的最短路径的长．

考点：平面展开-最短路径问题．

分析：（1）将长方体的木柜展开，求出对角线的长即可；

（2）利用勾股定理求出蚂蚁沿着木柜表面爬过的路径线段AC′1，以及蚂蚁沿着木柜表面爬过的路径的长是AC1的距离，再进行比较即可．

解答：解（1）如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC′1D和AA1C1C．蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径

有如图的AC′1和AC1．

（2）①蚂蚁沿着木柜表面爬过的路径的长是AC′1=②爬过的路径的长是AC1=∵＜，

∴最短路径的长是AC1=

．

点评：此题主要考查了长方体展开图的对角线长度求法，这种题型经常在中考中出现，也是易错题型，希望能引

起同学们的注意，注意分类讨论．

24．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？

考点：平面展开-最短路径问题．

分析：要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短

解答．

解答：解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：

∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，

在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：

∴AB===25；

只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，

在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：

∴AB=

；

只要把长方体的右侧表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴AC=CD+AD=20+10=30，

在直角三角形ABC中，根据勾股定理得： ∴AB=

；

∵25＜5，

∴蚂蚁爬行的最短距离是25．

点评：本题主要考查两点之间线段最短．

考点：平面展开-最短路径问题；勾股定理．

分析：展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD于E，求出SE、

EF，根据勾股定理求出SF即可．

解答：解：

如图展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，

过S作SE⊥CD于E，则BC=SE=×24cm=12cm， EF=18cm﹣1cm﹣1cm=16cm，在Rt△FES中，由勾股定理得：SF=

=20（cm），

答：捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是20cm．

点评：本题考查了勾股定理、平面展开﹣最大路线问题，关键是构造直角三角形，题目比较典型，难度适中．

考点：平面展开-最短路径问题．

分析：（1）根据图形是立方体得出最短路径只有一种情况，利用勾股定理求出即可．

（2）把此正方体的点M所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和点M间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于2长，另一条直角边长等于3，利用勾股定理可求得．

解答：解：（1）如图所示：

∵正方形的棱长为2，

∴AC=2AB=4，CG=2， AG=

，

；

∴蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是2

（2）如图所示：

由题意可知：AN=AB+BN=3，MN=2， ∴AM=

，

∴蚂蚁要吃到这粒米的最短距离是．

点评：此题主要考查了平面展开图最短路径问题以及勾股定理的应用，得出正确的展开图是解决问题的关键．

考点：平面展开-最短路径问题；圆锥的计算．

分析：根据底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得出圆心角进而得出B′P的长．解答：解：∵△ABC为正三角形，

∴BC=6，

∴l=2π×3=6π，

根据底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得：

=6π，

故n=180°，则∠B′AC=90°， ∴B′P==3（m），答：小猫所经过的最短路程是3

米．

点评：此题主要考查了圆锥的计算以及平面展开图最短路径问题，根据已知得出圆心角度数是解题关键．

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